Penyelesai Matematik

[Problem]
Soalan 4
Selesaikan persamaan kuadratik berikut:
$\frac{2x - 7}{3} = \frac{5}{x}$

Soalan 5
Umur Asyraf ialah 3 tahun lebih muda daripada umur kakaknya, Aina. Umur ibu mereka, Puan Farah, ialah kuasa dua umur Aina. Diberi f(x) ialah hasil tambah umur Asyraf, Aina dan Puan Farah dengan keadaan x mewakili umur Aina.
(a) Bentukkan satu ungkapan kuadratik bagi f(x).
(b) Bentukkan satu persamaan kuadratik jika jumlah umur mereka ialah 45 dan seterusnya, cari umur Aina.

[Image]
User uploaded an image for reference

[Analysis]

• Soalan 4 merupakan persamaan pecahan yang ditukarkan kepada bentuk kuadratik dengan mendarab penjahan bersama.

• Soalan 5(a) membabitkan pembentukan ungkapan kuadratik berdasarkan definisi umur.

• Soalan 5(b) memerlukan pembentukan persamaan kuadratik daripada jumlah umur dan menyelesaikannya.

[Solution]
Langkah penyelesaian Soalan 4
Langkah 1 darab kedua belah dengan $3x$ untuk hilangkan penyebut:
$x(2x - 7) = 3 \cdot 5$
Langkah 2 susun bentuk kuadratik:
$2x^2 - 7x = 15$
Langkah 3 tolak 15 pada kedua belah:
$2x^2 - 7x - 15 = 0$
Langkah 4 faktorkan:
$(2x + 3)(x - 5) = 0$
Maka penyelesaian:
$x = -\tfrac{3}{2} ,\quad x = 5$

Langkah penyelesaian Soalan 5(a)
Nyatakan umur:
Asyraf = $x - 3$
Aina = $x$
Puan Farah = $x^2$
Jumlah f(x):
$f(x) = (x - 3) + x + x^2 = x^2 + 2x - 3$

Langkah penyelesaian Soalan 5(b)
Jumlah umur sama dengan 45:
$x^2 + 2x - 3 = 45$
Tukarkan kepada persamaan kuadratik:
$x^2 + 2x - 48 = 0$
Faktorkan:
$(x + 8)(x - 6) = 0$
Maka:
$x = -8 ,\quad x = 6$
Penafian umur negatif, pilih:
$x = 6$

[Answer]
Soalan 4: $x = -\tfrac{3}{2},\ 5$
Soalan 5(a): $f(x) = x^2 + 2x - 3$
Soalan 5(b): Umur Aina ialah $6$ tahun.

[Problem]
6(a) Gabungkan dua pernyataan berikut menggunakan perkataan ‘dan’ atau ‘atau’ untuk membentuk satu pernyataan benar.
Pernyataan I : 21 ialah nombor genap.
Pernyataan II : 7^2 = 49.

(b) Tulis akas bagi implikasi berikut:
“Jika sudut m di antara 90° dengan 180°, maka sudut m ialah sudut cakih.”

(c) Tentukan sama ada setiap pernyataan berikut benar atau palsu.
(i) 30° dan 150° ialah sudut penggenap.
(ii) Jika ∠PQR = 165°, maka ∠PQR ialah sudut tirus.

Jawapan

[Image]
[User uploaded an image for reference]

[Analysis]
Masalah ini melibatkan:

• (a) logik pernyataan untuk menggabung dengan ‘dan’ atau ‘atau’.

• (b) menulis akas (converse) dengan menukar hipotesis dan konklusi.

• (c) menentukan jenis sudut dan sifat sudut berdasarkan ukuran darjah.

[Solution]
(a)
Langkah 1: Semak kebenaran pernyataan I
$21 \bmod 2 = 1$ → 21 bukan nombor genap → pernyataan I palsu.
Langkah 2: Semak kebenaran pernyataan II
$7^2 = 49$ → benar.
Langkah 3: Penggabungan
Untuk pernyataan benar dengan satu palsu, gunakan ‘atau’.

(b)
Implikasi asal:
Hipotesis: $90^\circ < m < 180^\circ$
Konklusi: $m \text{ ialah sudut cakih}$
Akas (converse) diperoleh dengan menukar:
Hipotesis baru ← konklusi asal, Konklusi baru ← hipotesis asal.

(c)(i)
Definisi sudut penggenap: jumlah dua sudut = $90^\circ$.
$30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$ → ≠ $90^\circ$ → palsu.

(c)(ii)
Sudut tirus bermakna < $90^\circ$.
$165^\circ > 90^\circ$ → bukan tirus → palsu.

[Answer]
(a) $21 \text{ ialah nombor genap atau }7^2 = 49$
(b) $\text{Jika sudut }m\text{ ialah sudut cakih, maka }90^\circ < m < 180^\circ$
(c)(i) Palsu
(c)(ii) Palsu