Penyelesai Matematik

[Problem]
Soalan 4
Selesaikan persamaan kuadratik berikut:
$\frac{2x - 7}{3} = \frac{5}{x}$

Soalan 5
Umur Asyraf ialah 3 tahun lebih muda daripada umur kakaknya, Aina. Umur ibu mereka, Puan Farah, ialah kuasa dua umur Aina. Diberi f(x) ialah hasil tambah umur Asyraf, Aina dan Puan Farah dengan keadaan x mewakili umur Aina.
(a) Bentukkan satu ungkapan kuadratik bagi f(x).
(b) Bentukkan satu persamaan kuadratik jika jumlah umur mereka ialah 45 dan seterusnya, cari umur Aina.

[Image]
User uploaded an image for reference

[Analysis]

• Soalan 4 merupakan persamaan pecahan yang ditukarkan kepada bentuk kuadratik dengan mendarab penjahan bersama.
• Soalan 5(a) membabitkan pembentukan ungkapan kuadratik berdasarkan definisi umur.
• Soalan 5(b) memerlukan pembentukan persamaan kuadratik daripada jumlah umur dan menyelesaikannya.

[Solution]
Langkah penyelesaian Soalan 4
Langkah 1 darab kedua belah dengan $3x$ untuk hilangkan penyebut:
$x(2x - 7) = 3 \cdot 5$
Langkah 2 susun bentuk kuadratik:
$2x^2 - 7x = 15$
Langkah 3 tolak 15 pada kedua belah:
$2x^2 - 7x - 15 = 0$
Langkah 4 faktorkan:
$(2x + 3)(x - 5) = 0$
Maka penyelesaian:
$x = -\tfrac{3}{2} ,\quad x = 5$

Langkah penyelesaian Soalan 5(a)
Nyatakan umur:
Asyraf = $x - 3$
Aina = $x$
Puan Farah = $x^2$
Jumlah f(x):
$f(x) = (x - 3) + x + x^2 = x^2 + 2x - 3$

Langkah penyelesaian Soalan 5(b)
Jumlah umur sama dengan 45:
$x^2 + 2x - 3 = 45$
Tukarkan kepada persamaan kuadratik:
$x^2 + 2x - 48 = 0$
Faktorkan:
$(x + 8)(x - 6) = 0$
Maka:
$x = -8 ,\quad x = 6$
Penafian umur negatif, pilih:
$x = 6$

[Answer]
Soalan 4: $x = -\tfrac{3}{2},\ 5$
Soalan 5(a): $f(x) = x^2 + 2x - 3$
Soalan 5(b): Umur Aina ialah $6$ tahun.

[Problem]
6(a) Gabungkan dua pernyataan berikut menggunakan perkataan ‘dan’ atau ‘atau’ untuk membentuk satu pernyataan benar.
Pernyataan I : 21 ialah nombor genap.
Pernyataan II : 7^2 = 49.

(b) Tulis akas bagi implikasi berikut:
“Jika sudut m di antara 90° dengan 180°, maka sudut m ialah sudut cakih.”

(c) Tentukan sama ada setiap pernyataan berikut benar atau palsu.
(i) 30° dan 150° ialah sudut penggenap.
(ii) Jika ∠PQR = 165°, maka ∠PQR ialah sudut tirus.

Jawapan

[Image]
[User uploaded an image for reference]

[Analysis]
Masalah ini melibatkan:

• (a) logik pernyataan untuk menggabung dengan ‘dan’ atau ‘atau’.
• (b) menulis akas (converse) dengan menukar hipotesis dan konklusi.
• (c) menentukan jenis sudut dan sifat sudut berdasarkan ukuran darjah.

[Solution]
(a)
Langkah 1: Semak kebenaran pernyataan I
$21 \bmod 2 = 1$ → 21 bukan nombor genap → pernyataan I palsu.
Langkah 2: Semak kebenaran pernyataan II
$7^2 = 49$ → benar.
Langkah 3: Penggabungan
Untuk pernyataan benar dengan satu palsu, gunakan ‘atau’.

(b)
Implikasi asal:
Hipotesis: $90^\circ < m < 180^\circ$
Konklusi: $m \text{ ialah sudut cakih}$
Akas (converse) diperoleh dengan menukar:
Hipotesis baru ← konklusi asal, Konklusi baru ← hipotesis asal.

(c)(i)
Definisi sudut penggenap: jumlah dua sudut = $90^\circ$.
$30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$ → ≠ $90^\circ$ → palsu.

(c)(ii)
Sudut tirus bermakna < $90^\circ$.
$165^\circ > 90^\circ$ → bukan tirus → palsu.

[Answer]
(a) $21 \text{ ialah nombor genap atau }7^2 = 49$
(b) $\text{Jika sudut }m\text{ ialah sudut cakih, maka }90^\circ < m < 180^\circ$
(c)(i) Palsu
(c)(ii) Palsu

[Problem]
59491.45 - 4059 - 6793.20

[Analysis]
Masalah ini adalah operasi aritmetik asas yang melibatkan penolakan berturut-turut bagi nombor perpuluhan dan nombor bulat. Pendekatan yang paling berkesan adalah dengan melakukan penolakan secara berperingkat, iaitu menolak nombor kedua daripada nombor pertama, dan kemudian menolak nombor ketiga daripada baki tersebut.

[Solution]
Langkah 1: Tolak nombor kedua (4059) daripada nombor pertama (59491.45). Pastikan titik perpuluhan diselaraskan (4059 boleh ditulis sebagai 4059.00).
$59491.45 - 4059.00 = 55432.45$

Langkah 2: Tolak nombor ketiga (6793.20) daripada hasil yang diperoleh dalam Langkah 1.
$55432.45 - 6793.20 = 48639.25$

[Answer]
$48639.25$

[Problem]
7082/10

[Analysis]
Masalah ini merupakan operasi pembahagian asas yang melibatkan nombor bulat dan nombor 10. Kaedah yang paling efisien untuk menyelesaikan pembahagian dengan 10 adalah dengan mengalihkan titik perpuluhan satu tempat ke kiri, memandangkan 10 mempunyai satu sifar.

[Solution]
Langkah 1: Kenal pasti nombor bulat yang diberikan dan kedudukan titik perpuluhannya. Bagi nombor bulat 7082, titik perpuluhan berada di hujung nombor tersebut.
$7082.0$

Langkah 2: Tuliskan operasi pembahagian tersebut.
$\frac{7082}{10}$

Langkah 3: Oleh kerana kita membahagi dengan 10 (yang mempunyai satu sifar), kita perlu mengalihkan titik perpuluhan satu tempat ke arah kiri untuk mendapatkan hasilnya.
$7082.0 \rightarrow 708.2$

Langkah 4: Maka, hasil bahagi bagi 7082 dengan 10 adalah:
$708.2$

[Answer]
$708.2$