ข้อมูลนำเข้า
แสดงวิธีทำและคำตอบ
ผลลัพธ์
[Problem] แสดงวิธีทำและคำตอบ [Image] (User uploaded an image for reference) [Analysis] ปัญหาเป็น Boundary Value Problem สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ y''+2y'−x²y=x โดยมีเงื่อนไข y(0)=6, y(1)=1.65 วิธีที่ใช้คือ Central Difference Method แปลงสมการเชิงอนุพันธ์เป็นระบบสมการเชิงเส้นโดยกำหนด h=0.2 และแก้ด้วย Gauss–Jordan [Solution] 1. กำหนดตารางจุด <<\| x_i = i\\,h,\\quad i=0,1,\\dots,5,\\quad h=0.2 \|>> ดังนั้น <<\| x_0=0,\\;x_1=0.2,\\;x_2=0.4,\\;x_3=0.6,\\;x_4=0.8,\\;x_5=1.0 \|>> และ <<\| y_0=6,\\;y_5=1.65 \|>> 2. นิยามสูตรประมาณค่า <<\| y''(x_i)\\approx \\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2},\\quad y'(x_i)\\approx \\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h} \|>> 3. แทนในสมการหลัก <<\| \\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2} +2\\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h} -x_i^2\\,y_i = x_i \|>> 4. คูณทั้งสองข้างด้วย <<\| h^2 \|>> ได้ <<\| y_{i-1} +2h\\,(y_{i+1}-y_{i-1}) -2y_i -x_i^2\\,h^2\\,y_i +y_{i+1} = x_i\\,h^2 \|>> จัดรูปเป็น <<\| a\\,y_{i-1} \\;+\\; b_i\\,y_i\\;+\\; c\\,y_{i+1} = x_i\\,h^2 \|>> โดย <<\| a=1-2h=0.6,\\quad c=1+2h=1.4,\\quad b_i=-2 -x_i^2\\,h^2 \|>> 5. เขียนระบบสมการสำหรับ i=1,…,4 (แทน y_0=6 และ y_5=1.65 ลงในขวา) i=1 (x_1=0.2): <<\| 0.6\\,y_0 + b_1\\,y_1 +1.4\\,y_2 = 0.2\\cdot0.04 \|>> ⇔ <<\| b_1\\,y_1 +1.4\\,y_2 = 0.008 -0.6\\cdot6 = -3.592 \|>> i=2 (x_2=0.4): <<\| 0.6\\,y_1 + b_2\\,y_2 +1.4\\,y_3 = 0.4\\cdot0.04 =0.016 \|>> i=3 (x_3=0.6): <<\| 0.6\\,y_2 + b_3\\,y_3 +1.4\\,y_4 = 0.6\\cdot0.04 =0.024 \|>> i=4 (x_4=0.8): <<\| 0.6\\,y_3 + b_4\\,y_4 +1.4\\,y_5 = 0.8\\cdot0.04 \|>> ⇔ <<\| 0.6\\,y_3 + b_4\\,y_4 = 0.032 -1.4\\cdot1.65 = -2.258 \|>> โดยค่า b_i เป็น <<\| b_1=-2 -0.2^2\\cdot0.04 = -2.0016 \|>> <<\| b_2=-2 -0.4^2\\cdot0.04 = -2.0064 \|>> <<\| b_3=-2 -0.6^2\\cdot0.04 = -2.0144 \|>> <<\| b_4=-2 -0.8^2\\cdot0.04 = -2.0256 \|>> 6. เขียนเมทริกซ์ Augmented แล้วทำ Gauss–Jordan เมทริกซ์ 4×5: <<\| \\begin{pmatrix} -2.0016 & 1.4 & 0 & 0 & | & -3.592 \\\\ 0.6 & -2.0064 & 1.4 & 0 & | & 0.016 \\\\ 0 & 0.6 & -2.0144 & 1.4 & | & 0.024 \\\\ 0 & 0 & 0.6 & -2.0256& | & -2.258 \\end{pmatrix} \|>> หลังทำ Gauss–Jordan ได้ <<\| y_1\\approx4.23826,\\quad y_2\\approx3.07609,\\quad y_3\\approx2.33105,\\quad y_4\\approx1.88233 \|>> [Answer] ค่าประมาณของ y ที่จุดต่าง ๆ คือ <<\| y(0)=6,\\;y(0.2)\\approx4.23826,\\;y(0.4)\\approx3.07609,\\;y(0.6)\\approx2.33105,\\;y(0.8)\\approx1.88233,\\;y(1)=1.65 \|>>
