ตัวแก้โจทย์คณิตศาสตร์

[Problem]
ถ้าเลข 2 แทนด้วย 729
ถ้าเลข 3 แทนด้วย 141
ถ้าเลข 5 แทนด้วย 276
ถ้าเลข 6 แทนด้วย 451
ถ้าเลข 7 แทนด้วย 445
ถ้าเลข 8 แทนด้วย 486
ถ้าเลข 9 แทนด้วย 335
ถ้าเลข 0 แทนด้วย 157
จงหาเลขที่หายไป คือ 1 และ 4 ว่าควรแทนด้วยอะไร

[Analysis]
– เป็นปัญหาการแมปตัวเลขหลักเดียวไปเป็นรหัส 3 หลัก แต่จากข้อมูลที่ให้มาไม่ปรากฏกฎ (pattern) ทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่สอดคล้องกันทั้งระบบ
– ลองตั้งสมมติฐานหลายแบบ เช่น ผลรวมแต่ละหลัก ความสัมพันธ์เชิงกำลัง สัมประสิทธิ์เชิงเส้น ฟังก์ชันโพลิโนม ฯลฯ แต่ไม่สามารถหาสูตรเดียวที่อธิบายค่าทั้งหมดได้
– จึงสรุปได้ว่า “ไม่มีรูปแบบทางคณิตศาสตร์ชัดเจน” สำหรับการแมปรหัสนี้ จึงไม่อาจระบุตัวเลขแทน 1 และ 4 ได้โดยแน่นอน

[Solution]
เนื่องจากไม่พบหลักเกณฑ์หรือกฎทางคณิตศาสตร์ใดที่สอดคล้องกับข้อมูลทั้ง 8 จุด จึงไม่สามารถหา f(1) และ f(4) ได้

[Answer]
ไม่มีคำตอบที่แน่นอน (No unique solution)

[Problem]
ตุ๊กต้องการตัดผ้ารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 84 ซม. ยาว 105 ซม.
ให้เป็นผ้าเช็ดหน้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละผืนมีขนาดเท่ากัน
และมีพื้นที่มากที่สุด ผ้าเช็ดหน้าแต่ละผืนยาวด้านละกี่ ซม.

[Analysis]
โจทย์เป็นการหาด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดซึ่งสามารถตัดจากผ้าขนาด 84×105 ซม. ได้พอดีทุกผืน วิธีทั่วไปคือใช้วิธีหา ห.ร.ม. (Greatest Common Divisor) ของ 84 และ 105

[Solution]
ขั้นที่ 1 ใช้วิธีหารย่อย (Euclidean algorithm)
$105 = 84 \times 1 + 21$
$84 = 21 \times 4 + 0$

ขั้นที่ 2 เมื่อเศษเป็น 0 ตัวตั้งหารล่าสุดที่ไม่เป็น 0 คือ 21
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 84 และ 105 เท่ากับ 21

ขั้นที่ 3 ขนาดด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดจึงเท่ากับ 21 ซม.

[Answer]
ผ้าเช็ดหน้าแต่ละผืนมีด้านยาว $21$ ซม.

[Problem]
ตุ๊กต้องการตัดผ้ารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 84 ซม. ยาว 105 ซม.
ให้เป็นผ้าเช็ดหน้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละผืนมีขนาดเท่ากัน
และมีพื้นที่มากที่สุด ผ้าเช็ดหน้าแต่ละผืนยาวด้านละกี่ ซม.

[Analysis]
ปัญหานี้เป็นการหาความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่สุด ที่สามารถแบ่งจากผ้าขนาด 84×105 ซม. ได้โดยไม่มีเศษเหลือ
ใช้วิธีหา ห.ร.ม. (Greatest Common Divisor: GCD) ของ 84 และ 105 ด้วยวิธีอัลกอริธึมของยูคลิด

[Solution]

• เริ่มคำนวณด้วยวิธีอัลกอริธึมของยูคลิด
  ขั้นที่ 1:
  $105 = 84 \times 1 + 21$
  (นำ 105 หารด้วย 84 จะได้เศษ 21)

  ขั้นที่ 2:
  $84 = 21 \times 4 + 0$
  (นำ 84 หารด้วย 21 จะได้เศษ 0)

• เมื่อถึงเศษ 0 ให้หยุดขั้นตอน ค่า ห.ร.ม. เท่ากับตัวหารสุดท้ายที่ไม่ทำให้เศษเป็น 0
  ดังนั้น ห.ร.ม.(84, 105) = 21

• ผลสรุปคือ สามารถตัดผ้าเช็ดหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดด้านเท่ากับ ห.ร.ม. ของความกว้างและความยาว

[Answer]
ผ้าเช็ดหน้าแต่ละผืนยาวด้านละ $21$ ซม.

[Problem]
จากปริซึมฐานสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิว

[Image]
(ภาพอ้างอิงตามที่ผู้ใช้แนบมา)

[Analysis]
– ฐานของปริซึมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านประกอบมุมฉากยาว 9 และ 15
– ความยาวของปริซึม (ความสูงของปริซึม) เท่ากับ 20
– ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × ความยาวปริซึม
– พื้นที่ผิว = พื้นที่หน้าตัดทั้งสองด้าน + พื้นที่ด้านข้าง (เส้นรอบรูปฐาน × ความยาวปริซึม)

[Solution]

• หาพื้นที่ฐานสามเหลี่ยมมุมฉาก
  $A_{\text{base}}=\frac12\times 9\times 15$
  $A_{\text{base}}=\frac12\times 135 = 67.5$

• หาความยาวด้านเฉียง (hypotenuse) ของฐาน
  $c=\sqrt{9^2 + 15^2}=\sqrt{81 + 225}=\sqrt{306}$

• ปริมาตรของปริซึม
  $V = A_{\text{base}}\times h = 67.5\times20 = 1350$

• เส้นรอบรูปฐานสามเหลี่ยม
  $\text{Perimeter}=9 + 15+\sqrt{306}=24+\sqrt{306}$

• พื้นที่ด้านข้างของปริซึม
  $A_{\text{side}}=\text{Perimeter}\times h=(24+\sqrt{306})\times20 = 480+20\sqrt{306}$

• พื้นที่ผิวทั้งหมด
  $A_{\text{total}}=2A_{\text{base}}+A_{\text{side}}=2\times67.5+(480 + 20\sqrt{306})$
  $A_{\text{total}}=135 + 480+20\sqrt{306}=615 + 20\sqrt{306}$

[Answer]
ปริมาตรของปริซึม = $1350$
พื้นที่ผิวของปริซึม = $615 + 20\sqrt{306}$