ข้อมูลนำเข้า
แสดงวิธีทำและคำตอบ
ผลลัพธ์
[Problem] แสดงวิธีทำและคำตอบ [Image] (User uploaded an image for reference) [Analysis] ปัญหาเป็น Boundary Value Problem สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ y''+2y'−x²y=x โดยมีเงื่อนไข y(0)=6, y(1)=1.65 วิธีที่ใช้คือ Central Difference Method แปลงสมการเชิงอนุพันธ์เป็นระบบสมการเชิงเส้นโดยกำหนด h=0.2 และแก้ด้วย Gauss–Jordan [Solution] 1. กำหนดตารางจุด <<| x_i = i\,h,\quad i=0,1,\dots,5,\quad h=0.2 |>> ดังนั้น <<| x_0=0,\;x_1=0.2,\;x_2=0.4,\;x_3=0.6,\;x_4=0.8,\;x_5=1.0 |>> และ <<| y_0=6,\;y_5=1.65 |>> 2. นิยามสูตรประมาณค่า <<| y''(x_i)\approx \frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2},\quad y'(x_i)\approx \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h} |>> 3. แทนในสมการหลัก <<| \frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2} +2\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h} -x_i^2\,y_i = x_i |>> 4. คูณทั้งสองข้างด้วย <<| h^2 |>> ได้ <<| y_{i-1} +2h\,(y_{i+1}-y_{i-1}) -2y_i -x_i^2\,h^2\,y_i +y_{i+1} = x_i\,h^2 |>> จัดรูปเป็น <<| a\,y_{i-1} \;+\; b_i\,y_i\;+\; c\,y_{i+1} = x_i\,h^2 |>> โดย <<| a=1-2h=0.6,\quad c=1+2h=1.4,\quad b_i=-2 -x_i^2\,h^2 |>> 5. เขียนระบบสมการสำหรับ i=1,…,4 (แทน y_0=6 และ y_5=1.65 ลงในขวา) i=1 (x_1=0.2): <<| 0.6\,y_0 + b_1\,y_1 +1.4\,y_2 = 0.2\cdot0.04 |>> ⇔ <<| b_1\,y_1 +1.4\,y_2 = 0.008 -0.6\cdot6 = -3.592 |>> i=2 (x_2=0.4): <<| 0.6\,y_1 + b_2\,y_2 +1.4\,y_3 = 0.4\cdot0.04 =0.016 |>> i=3 (x_3=0.6): <<| 0.6\,y_2 + b_3\,y_3 +1.4\,y_4 = 0.6\cdot0.04 =0.024 |>> i=4 (x_4=0.8): <<| 0.6\,y_3 + b_4\,y_4 +1.4\,y_5 = 0.8\cdot0.04 |>> ⇔ <<| 0.6\,y_3 + b_4\,y_4 = 0.032 -1.4\cdot1.65 = -2.258 |>> โดยค่า b_i เป็น <<| b_1=-2 -0.2^2\cdot0.04 = -2.0016 |>> <<| b_2=-2 -0.4^2\cdot0.04 = -2.0064 |>> <<| b_3=-2 -0.6^2\cdot0.04 = -2.0144 |>> <<| b_4=-2 -0.8^2\cdot0.04 = -2.0256 |>> 6. เขียนเมทริกซ์ Augmented แล้วทำ Gauss–Jordan เมทริกซ์ 4×5: <<| \begin{pmatrix} -2.0016 & 1.4 & 0 & 0 & | & -3.592 \\ 0.6 & -2.0064 & 1.4 & 0 & | & 0.016 \\ 0 & 0.6 & -2.0144 & 1.4 & | & 0.024 \\ 0 & 0 & 0.6 & -2.0256& | & -2.258 \end{pmatrix} |>> หลังทำ Gauss–Jordan ได้ <<| y_1\approx4.23826,\quad y_2\approx3.07609,\quad y_3\approx2.33105,\quad y_4\approx1.88233 |>> [Answer] ค่าประมาณของ y ที่จุดต่าง ๆ คือ <<| y(0)=6,\;y(0.2)\approx4.23826,\;y(0.4)\approx3.07609,\;y(0.6)\approx2.33105,\;y(0.8)\approx1.88233,\;y(1)=1.65 |>>
