多项式数论函数家庭作业

一、填空题

1. 多项式数论函数的定义是 _______________________________________
2. 数论函数 φ(n) 的定义是 _______________________________________
3. 证明：φ(n) 是一个多项式数论函数。

二、解答题

1. 证明：对于任意正整数 a 和 b，φ(ab) = φ(a)φ(b)。
2. 计算：φ(12) 的值是多少？
3. 计算：φ(24) 的值是多少？

三、思考题

1. 多项式数论函数的性质有哪些？
2. 你能否举出一个不是多项式数论函数的例子？

四、计算题

1. 计算：1 到 10 之间所有正整数的 φ 值。
2. 计算：1 到 20 之间所有正整数的 φ 值。

五、证明题

1. 证明：对于任意正整数 n，φ(n) ≤ n。
2. 证明：对于任意正整数 n，φ(n) ≥ √n。

参考答案

填空题

1. 多项式数论函数是指形如 f(n) = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_0 的函数，其中 a_i 为整数。
2. 数论函数 φ(n) 的定义是：对于任意正整数 n，φ(n) 表示小于或等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。
3. 证明：φ(n) 是一个多项式数论函数，因为 φ(n) 可以表示为 φ(n) = n * (1 - 1/p_1) * (1 - 1/p_2) * ... * (1 - 1/p_k)，其中 p_i 是 n 的质因数。

解答题

1. 证明：对于任意正整数 a 和 b，φ(ab) = φ(a)φ(b)。因为 φ(ab) 表示小于或等于 ab 且与 ab 互质的正整数的个数，而这些正整数可以一一对应到小于或等于 a 且与 a 互质的正整数和小于或等于 b 且与 b 互质的正整数的乘积。
2. 计算：φ(12) 的值是 4，因为小于或等于 12 且与 12 互质的正整数有 1、5、7 和 11。
3. 计算：φ(24) 的值是 8，因为小于或等于 24 且与 24 互质的正整数有 1、5、7、11、13、17、19 和 23。

###思考题

1. 多项式数论函数的性质包括：加法性、乘法性、对称性等。
2. 一个不是多项式数论函数的例子是：f(n) = sin(n)。

计算题

1. 计算：1 到 10 之间所有正整数的 φ 值。
   | n | φ(n) |
   | --- | --- |
   | 1 | 1 |
   | 2 | 1 |
   | 3 | 2 |
   | 4 | 2 |
   | 5 | 4 |
   | 6 | 2 |
   | 7 | 6 |
   | 8 | 4 |
   | 9 | 6 |
   | 10 | 4 |

2. 计算：1 到 20 之间所有正整数的 φ 值。
   | n | φ(n) |
   | --- | --- |
   | 1 | 1 |
   | 2 | 1 |
   | 3 | 2 |
   | 4 | 2 |
   | 5 | 4 |
   | 6 | 2 |
   | 7 | 6 |
   | 8 | 4 |
   | 9 | 6 |
   | 10 | 4 |
   | 11 | 10 |
   | 12 | 4 |
   | 13 | 12 |
   | 14 | 6 |
   | 15 | 8 |
   | 16 | 8 |
   | 17 | 16 |
   | 18 | 6 |
   | 19 | 18 |
   | 20 | 8 |

证明题

1. 证明：对于任意正整数 n，φ(n) ≤ n。因为 φ(n) 表示小于或等于 n 且与 n 互质的正整数的个数，而这些正整数的个数显然不超过 n。
2. 证明：对于任意正整数 n，φ(n) ≥ √n。因为 φ(n) 表示小于或等于 n 且与 n 互质的正整数的个数，而这些正整数的个数至少有 √n 个。