Solucionador de Economía

Analysis

Este es un problema de elección del consumidor con función de utilidad tipo Cobb–Douglas y restricción presupuestaria.
En particular, con

• Exponente de 𝑋: $α=\frac{1}{U}=\frac{1}{7}$

• Exponente de 𝑌: $1−α=(U - 1)/U=\frac{6}{7}$

Abordaremos:

• Demanda Marshalliana (maximización de utilidad con restricción presupuestaria).

• Curva de Engel (relación entre ingreso 𝐼 y demanda).

• Demanda Hicksiana (minimización de gasto para un nivel de utilidad dado).

• Demanda compensada según Slutsky (ajuste de ingreso para mantener el poder adquisitivo).

Solution

1. Demanda Marshalliana

Maximizamos $u = X^{\frac{1}{7}}Y^{\frac{6}{7}}$ sujeto a $p_xX + p_yY=I$.

• Plantear Lagrangiano:
  $ℒ=X^{\frac{1}{7}}Y^{\frac{6}{7}}+λ(I - p_xX−p_yY)$

• Primeras condiciones de orden óptimo:
  $\frac{∂ℒ}{∂X}=\tfrac{1}{7}X^{-\frac{6}{7}}Y^{\frac{6}{7}}−λp_x = 0$
  $\frac{∂ℒ}{∂Y}=\tfrac{6}{7}X^{\frac{1}{7}}Y^{-\frac{1}{7}}−λp_y = 0$

• Dividiendo ambas condiciones:
  $\frac{\tfrac{6}{7}X^{\frac{1}{7}}Y^{-\frac{1}{7}}}{\tfrac{1}{7}X^{-\frac{6}{7}}Y^{\frac{6}{7}}}=\frac{p_y}{p_x}$
  ⟹ $6\frac{X^{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}{Y^{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}=\frac{p_y}{p_x}$ ⟹ $6\frac{X}{Y}=\frac{p_y}{p_x}$
  ⟹ $Y = 6,\frac{p_x}{p_y},X$

• Sustituir en la restricción presupuestaria:
  $p_xX + p_y\Bigl(6\frac{p_x}{p_y}X\Bigr)=I$ ⟹ $7p_xX = I$ ⟹
  Demanda de X: <<|X^(p_x,p_y,I)=\frac{I}{7,p_x}|>>
  Demanda de Y: usando <<|Y=6(p_x/p_y)X|>>:
  <<|Y^(p_x,p_y,I)=\frac{6I}{7,p_y}|>>

2. Curva de Engel

Relación entre ingreso 𝐼 y consumo en equilibrio:

• $X(I)=\frac{1}{7p_x}I$ (línea recta que pasa por el origen con pendiente $\tfrac{1}{7p_x}$).

• $Y(I)=\frac{6}{7p_y}I$ (pendiente $\tfrac{6}{7p_y}$).

3. Demanda Hicksiana (criterio de Hicks)

Minimizamos gasto $E = p_xX+p_yY$ sujeto a $X^{\frac{1}{7}}Y^{\frac{6}{7}}=u_0$.
Por la propiedad de Cobb–Douglas, la participación del gasto en 𝑋 es α y en 𝑌 es 1−α.

• Función gasto:
  $E(p_x,p_y,u)=\frac{u}{α^{α}(1−α)^{1−α}};p_x^{α},p_y^{1−α}$
  donde $α=\tfrac{1}{7}$ y $1−α=\tfrac{6}{7}$.

• Demanda Hicksiana de X:
  $h_x(p_x,p_y,u)=\alpha\frac{E(p_x,p_y,u)}{p_x}$
  ⟹ $h_x=\frac{1}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{-\frac{6}{7}}p_y^{\frac{6}{7}}$

• Demanda Hicksiana de Y:
  $h_y(p_x,p_y,u)=(1−α)\frac{E}{p_y}$
  ⟹ $h_y=\frac{6}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{\frac{1}{7}}p_y^{-\frac{1}{7}}$

4. Demanda compensada (criterio de Slutsky)

La demanda compensada de Slutsky coincide en forma con la Hicksiana, ya que se ajusta el ingreso para mantener el poder adquisitivo inicial.

• $x^S(p_x,p_y,u)=h_x(p_x,p_y,u)$

• $y^S(p_x,p_y,u)=h_y(p_x,p_y,u)$

Answer

Demanda Marshalliana:
<<|X^(p_x,p_y,I)=\frac{I}{7,p_x},\quad Y^(p_x,p_y,I)=\frac{6,I}{7,p_y}|>>

Curvas de Engel:
$X(I)=\frac{1}{7p_x}I,\quad Y(I)=\frac{6}{7p_y}I$

Demanda Hicksiana:
$h_x(p_x,p_y,u)=\frac{1}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{-\frac{6}{7}}p_y^{\frac{6}{7}},$
$h_y(p_x,p_y,u)=\frac{6}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{\frac{1}{7}}p_y^{-\frac{1}{7}}$

Demanda compensada Slutsky:
$x^S(p_x,p_y,u)=h_x(p_x,p_y,u),\quad y^S(p_x,p_y,u)=h_y(p_x,p_y,u)$

Gráficamente, las curvas de indiferencia son a lo Cobb–Douglas con pendiente decreciente, y la recta presupuestaria es $p_xX + p_yY=I$. El punto óptimo es donde la tangente de la curva de indiferencia es paralela a la recta presupuestaria.

Análisis
Este es un problema de maximización de la utilidad sujeta a una restricción presupuestaria, usando curvas de indiferencia para dos bienes (jamón y pan). Aplicamos el modelo estándar de elección del consumidor:

• Plantear la restricción presupuestaria.

• Hallar la recta de presupuesto (interceptos y pendiente).

• Ubicar la canasta óptima donde la curva de indiferencia sea tangente a la recta de presupuesto (MRS = relación de precios).

Solución paso a paso

Paso 1: Restricción presupuestaria
Rubén dispone de ingreso = $20,
precio del jamón (bien horizontal) = $2 por bolsa,
precio del pan (bien vertical) = $2 por pieza.
Entonces la restricción es
$2J + 2P = 20$
donde $J$ es cantidad de jamón y $P$ cantidad de pan.

Paso 2: Ecuación simplificada y puntos intercepto
Dividimos toda la ecuación entre 2:
$J + P = 10$
– Cuando $P = 0$, $J = 10$ (intercepto horizontal).
– Cuando $J = 0$, $P = 10$ (intercepto vertical).
La pendiente de la recta de presupuesto es $-\frac{dP}{dJ} = 1$.

Paso 3: Canasta óptima
La canasta óptima dada es $J^* = 4$, $P^* = 6$.
Verificación presupuestaria:
$2\cdot 4 + 2\cdot 6 = 8 + 12 = 20$ ✓

Condición de tangencia (MRS = precio relativo)
$\mathrm{MRS}_{J,P} = \frac{MU_J}{MU_P} = \frac{P_J}{P_P} = \frac{2}{2} = 1$

Paso 4: Gráfica descriptiva
Ejes:
• Horizontal (eje X): jamón (J)
• Vertical (eje Y): pan (P)

• Dibujar la línea de presupuesto que une (0,10) con (10,0).

• Marcar el punto óptimo A = (4,6).

• Dibujar una curva de indiferencia convexa, decreciente, pasando por A y tangent e a la recta de presupuesto en ese punto.

Respuesta final
– Ecuación de la restricción presupuestaria:
$2J + 2P = 20\quad\Longleftrightarrow\quad J + P = 10$
– Canasta óptima:
<<|(J^,P^) = (4,;6)|>>
– En la gráfica, la recta de presupuesto intercepta los ejes en (10,0) y (0,10), y la curva de indiferencia es tangente en A.

Análisis
Rubén enfrenta un problema de elección de consumo con dos bienes (pan y jamón), uno inferior (pan) y otro normal (jamón). Cuando baja el precio del jamón, su restricción presupuestaria “rota” hacia afuera, cambiando la combinación óptima por efectos renta y sustitución. Usaremos la condición de óptimo (MRS igual a la pendiente de la recta de presupuesto) y trazaremos gráficamente la nueva restricción y la nueva curva de indiferencia tangente en el nuevo punto óptimo.

Solución paso a paso

• Definir variables y datos
  • xpan = cantidad de piezas de pan
  • xjam = cantidad de paquetes de jamón
  • Ingreso M = 20
  • Precio pan pp = 2
  • Precio jamón pj (nuevo) = 1

• Ecuación de la nueva restricción presupuestaria
  $pp·x_{pan} + pj·x_{jam} = M$
  Sustituyendo valores:
  $2·x_{pan} + 1·x_{jam} = 20$

• Cálculo de interceptos
  • Si x_{pan} = 0 ⇒ $x_{jam} = 20$
  • Si x_{jam} = 0 ⇒ $x_{pan} = 10$

• Pendiente de la recta de presupuesto
  $\text{pendiente} = -,\frac{pj}{pp} = -,\frac{1}{2}$

• Comprobación de la canasta óptima
  Rubén elige 7 unidades de pan y 6 de jamón. Verificamos que agote el presupuesto:
  $2·7 + 1·6 = 14 + 6 = 20$, cumple la restricción.

• Características de la nueva solución óptima
  – El punto óptimo es (x_{pan}, x_{jam}) = (7,6).
  – En ese punto la curva de indiferencia de nivel U_{2} es tangente a la recta presupuestaria.
  – Dicha curva es estrictamente convexa al origen y decreciente (bienes regulares).
  – Como el jamón es bien normal, x_{jam} aumentó con la mejora de poder de compra; como el pan es inferior, su aumento relativo es menor o hasta pudo caer (dependiendo de la curva inicial).

• Descripción del gráfico
  • Ejes: horizontal x_{pan}, vertical x_{jam}.
  • Recta de presupuesto: línea recta que une (10,0) con (0,20).
  • Punto óptimo: marcado en (7,6).
  • Curva de indiferencia U_{2}: superficie convexa y tangente a la recta en (7,6), situada “más arriba” que la curva inicial U_{1}.

Answer
La nueva restricción presupuestaria es
$2,x_{pan} ;+; 1,x_{jam} ;=; 20$
con interceptos $(x_{pan},x_{jam})=(10,0)$ y $(0,20)$, pendiente $-\tfrac12$.
El nuevo óptimo es la canasta $(x_{pan},x_{jam})=(7,6)$ y la curva de indiferencia tangente en ese punto se eleva sobre la original, reflejando un mayor nivel de utilidad.

[Analysis]
Este ejercicio corresponde al cálculo de la elasticidad precio de la demanda usando la fórmula de elasticidad arco (midpoint formula). Primero graficaremos la curva de demanda con los dos puntos dados y luego aplicaremos la fórmula para obtener la elasticidad en ese tramo. Finalmente interpretaremos el valor obtenido.

[Solution]
Paso 1: Identificación de datos
• Precio inicial $P_{1}$ = Q 60
• Cantidad inicial $Q_{1}$ = 600
• Precio final $P_{2}$ = Q 90
• Cantidad final $Q_{2}$ = 450

Paso 2: Cálculo de cambios en cantidad y precio
• Cambio en cantidad $\Delta Q$ = $Q_{2}-Q_{1}$ = 450 − 600 = −150
• Cambio en precio $\Delta P$ = $P_{2}-P_{1}$ = 90 − 60 = 30

Paso 3: Cálculo de promedios de cantidad y precio
• Cantidad promedio $Q_{avg}$ = $\frac{Q_{1}+Q_{2}}{2}$ = $\frac{600 + 450}{2}$ = 525
• Precio promedio $P_{avg}$ = $\frac{P_{1}+P_{2}}{2}$ = $\frac{60 + 90}{2}$ = 75

Paso 4: Fórmula de elasticidad precio de la demanda (arco)
$E_{d}$ = \frac{\Delta Q / Q_{avg}}{\Delta P / P_{avg}}

Paso 5: Sustitución y cálculo
$E_{d}$
= \frac{(-150) / 525}{30 / 75}
= \frac{-0.2857\ldots}{0.4}
\approx -0.7143

Paso 6: Interpretación del resultado
• El valor de $E_{d}$ es aproximadamente −0.71.
• Dado que el valor absoluto $,E_{d},| = 0.71$ es menor que 1, la demanda en este tramo es inelástica.
• Esto significa que un aumento de 1 % en el precio reduce la cantidad demandada en aproximadamente 0.71 %.

Gráfico de la demanda
• Eje horizontal: cantidad (Q)
• Eje vertical: precio (P)
• Punto A(600, 60) y punto B(450, 90)
• La línea recta que une A y B es la curva de demanda.
• Al subir el precio de 60 a 90, la cantidad baja de 600 a 450, ilustrando la pendiente negativa típica de la demanda.

[Answer]
El valor de la elasticidad precio de la demanda en el tramo considerado es
$E_{d} \approx -0.7143$
y como |$E_{d}$| < 1, la demanda se clasifica como inelástica.