Solucionador de Economía

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  • ENTRADA

    Resuelvelo y ten en cuenta que U=7 y A=4

    SALIDA

    Analysis

    Este es un problema de elección del consumidor con función de utilidad tipo Cobb–Douglas y restricción presupuestaria.
    En particular, con

    • Exponente de 𝑋: α=1U=17α=\frac{1}{U}=\frac{1}{7}

    • Exponente de 𝑌: 1α=(U1)/U=671−α=(U - 1)/U=\frac{6}{7}

    Abordaremos:

    • Demanda Marshalliana (maximización de utilidad con restricción presupuestaria).

    • Curva de Engel (relación entre ingreso 𝐼 y demanda).

    • Demanda Hicksiana (minimización de gasto para un nivel de utilidad dado).

    • Demanda compensada según Slutsky (ajuste de ingreso para mantener el poder adquisitivo).


    Solution

    1. Demanda Marshalliana

    Maximizamos u=X17Y67u = X^{\frac{1}{7}}Y^{\frac{6}{7}} sujeto a pxX+pyY=Ip_xX + p_yY=I.

    • Plantear Lagrangiano:
      L=X17Y67+λ(IpxXpyY)ℒ=X^{\frac{1}{7}}Y^{\frac{6}{7}}+λ(I - p_xX−p_yY)

    • Primeras condiciones de orden óptimo:
      LX=17X67Y67λpx=0\frac{∂ℒ}{∂X}=\tfrac{1}{7}X^{-\frac{6}{7}}Y^{\frac{6}{7}}−λp_x = 0
      LY=67X17Y17λpy=0\frac{∂ℒ}{∂Y}=\tfrac{6}{7}X^{\frac{1}{7}}Y^{-\frac{1}{7}}−λp_y = 0

    • Dividiendo ambas condiciones:
      67X17Y1717X67Y67=pypx\frac{\tfrac{6}{7}X^{\frac{1}{7}}Y^{-\frac{1}{7}}}{\tfrac{1}{7}X^{-\frac{6}{7}}Y^{\frac{6}{7}}}=\frac{p_y}{p_x}
      6X17+67Y17+67=pypx6\frac{X^{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}{Y^{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}=\frac{p_y}{p_x}6XY=pypx6\frac{X}{Y}=\frac{p_y}{p_x}
      Y=6,pxpy,XY = 6,\frac{p_x}{p_y},X

    • Sustituir en la restricción presupuestaria:
      pxX+py(6pxpyX)=Ip_xX + p_y\Bigl(6\frac{p_x}{p_y}X\Bigr)=I7pxX=I7p_xX = I
      Demanda de X: <<|X^(p_x,p_y,I)=\frac{I}{7,p_x}|>>
      Demanda de Y: usando <<|Y=6(p_x/p_y)X|>>:
      <<|Y^
      (p_x,p_y,I)=\frac{6I}{7,p_y}|>>

    2. Curva de Engel

    Relación entre ingreso 𝐼 y consumo en equilibrio:

    • X(I)=17pxIX(I)=\frac{1}{7p_x}I (línea recta que pasa por el origen con pendiente 17px\tfrac{1}{7p_x}).

    • Y(I)=67pyIY(I)=\frac{6}{7p_y}I (pendiente 67py\tfrac{6}{7p_y}).

    3. Demanda Hicksiana (criterio de Hicks)

    Minimizamos gasto E=pxX+pyYE = p_xX+p_yY sujeto a X17Y67=u0X^{\frac{1}{7}}Y^{\frac{6}{7}}=u_0.
    Por la propiedad de Cobb–Douglas, la participación del gasto en 𝑋 es α y en 𝑌 es 1−α.

    • Función gasto:
      E(px,py,u)=uαα(1α)1α;pxα,py1αE(p_x,p_y,u)=\frac{u}{α^{α}(1−α)^{1−α}};p_x^{α},p_y^{1−α}
      donde α=17α=\tfrac{1}{7} y 1α=671−α=\tfrac{6}{7}.

    • Demanda Hicksiana de X:
      hx(px,py,u)=αE(px,py,u)pxh_x(p_x,p_y,u)=\alpha\frac{E(p_x,p_y,u)}{p_x}
      hx=17u(17)17(67)67,px67py67h_x=\frac{1}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{-\frac{6}{7}}p_y^{\frac{6}{7}}

    • Demanda Hicksiana de Y:
      hy(px,py,u)=(1α)Epyh_y(p_x,p_y,u)=(1−α)\frac{E}{p_y}
      hy=67u(17)17(67)67,px17py17h_y=\frac{6}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{\frac{1}{7}}p_y^{-\frac{1}{7}}

    4. Demanda compensada (criterio de Slutsky)

    La demanda compensada de Slutsky coincide en forma con la Hicksiana, ya que se ajusta el ingreso para mantener el poder adquisitivo inicial.

    • xS(px,py,u)=hx(px,py,u)x^S(p_x,p_y,u)=h_x(p_x,p_y,u)

    • yS(px,py,u)=hy(px,py,u)y^S(p_x,p_y,u)=h_y(p_x,p_y,u)


    Answer

    Demanda Marshalliana:
    <<|X^(p_x,p_y,I)=\frac{I}{7,p_x},\quad Y^(p_x,p_y,I)=\frac{6,I}{7,p_y}|>>

    Curvas de Engel:
    X(I)=17pxI,Y(I)=67pyIX(I)=\frac{1}{7p_x}I,\quad Y(I)=\frac{6}{7p_y}I

    Demanda Hicksiana:
    hx(px,py,u)=17u(17)17(67)67,px67py67,h_x(p_x,p_y,u)=\frac{1}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{-\frac{6}{7}}p_y^{\frac{6}{7}},
    hy(px,py,u)=67u(17)17(67)67,px17py17h_y(p_x,p_y,u)=\frac{6}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{\frac{1}{7}}p_y^{-\frac{1}{7}}

    Demanda compensada Slutsky:
    xS(px,py,u)=hx(px,py,u),yS(px,py,u)=hy(px,py,u)x^S(p_x,p_y,u)=h_x(p_x,p_y,u),\quad y^S(p_x,p_y,u)=h_y(p_x,p_y,u)

    Gráficamente, las curvas de indiferencia son a lo Cobb–Douglas con pendiente decreciente, y la recta presupuestaria es pxX+pyY=Ip_xX + p_yY=I. El punto óptimo es donde la tangente de la curva de indiferencia es paralela a la recta presupuestaria.

  • ENTRADA

    Rubén es un recién egresado de la universidad y gasta una cantidad importante de sus ingresos en alimentos. Los alimentos que más consume son pan y carne.

    Las curvas de indiferencia del consumo de Rubén, respecto a estos dos productos, satisfacen las cuatro cualidades de las curvas de indiferencia de los bienes regulares.

    Supón que para Rubén el pan es un bien inferior y la carne es un bien normal. El pan cuesta $2 por pieza y el jamón empacado $2 por bolsa. Rubén dispone de $20 para gastar. Elabora una gráfica de la restricción presupuestaria, colocando el jamón en el eje horizontal y el pan en el vertical. Considera que la canasta de consumo óptima para Rubén son cuatro paquetes de jamón y seis piezas de pan. Dibuja la canasta, así como la curva de indiferencia en la que está situada.

    SALIDA

    Análisis
    Este es un problema de maximización de la utilidad sujeta a una restricción presupuestaria, usando curvas de indiferencia para dos bienes (jamón y pan). Aplicamos el modelo estándar de elección del consumidor:

    • Plantear la restricción presupuestaria.

    • Hallar la recta de presupuesto (interceptos y pendiente).

    • Ubicar la canasta óptima donde la curva de indiferencia sea tangente a la recta de presupuesto (MRS = relación de precios).

    Solución paso a paso

    Paso 1: Restricción presupuestaria
    Rubén dispone de ingreso = $20,
    precio del jamón (bien horizontal) = $2 por bolsa,
    precio del pan (bien vertical) = $2 por pieza.
    Entonces la restricción es
    2J+2P=202J + 2P = 20
    donde JJ es cantidad de jamón y PP cantidad de pan.

    Paso 2: Ecuación simplificada y puntos intercepto
    Dividimos toda la ecuación entre 2:
    J+P=10J + P = 10
    – Cuando P=0P = 0, J=10J = 10 (intercepto horizontal).
    – Cuando J=0J = 0, P=10P = 10 (intercepto vertical).
    La pendiente de la recta de presupuesto es dPdJ=1-\frac{dP}{dJ} = 1.

    Paso 3: Canasta óptima
    La canasta óptima dada es J=4J^* = 4, P=6P^* = 6.
    Verificación presupuestaria:
    24+26=8+12=202\cdot 4 + 2\cdot 6 = 8 + 12 = 20

    Condición de tangencia (MRS = precio relativo)
    MRSJ,P=MUJMUP=PJPP=22=1\mathrm{MRS}_{J,P} = \frac{MU_J}{MU_P} = \frac{P_J}{P_P} = \frac{2}{2} = 1

    Paso 4: Gráfica descriptiva
    Ejes:
    • Horizontal (eje X): jamón (J)
    • Vertical (eje Y): pan (P)

    • Dibujar la línea de presupuesto que une (0,10) con (10,0).

    • Marcar el punto óptimo A = (4,6).

    • Dibujar una curva de indiferencia convexa, decreciente, pasando por A y tangent e a la recta de presupuesto en ese punto.

    Respuesta final
    – Ecuación de la restricción presupuestaria:
    2J+2P=20J+P=102J + 2P = 20\quad\Longleftrightarrow\quad J + P = 10
    – Canasta óptima:
    <<|(J^,P^) = (4,;6)|>>
    – En la gráfica, la recta de presupuesto intercepta los ejes en (10,0) y (0,10), y la curva de indiferencia es tangente en A.

  • ENTRADA

    Rubén es un recién egresado de la universidad y gasta una cantidad importante de sus ingresos en alimentos. Los alimentos que más consume son pan y carne.

    Las curvas de indiferencia del consumo de Rubén, respecto a estos dos productos, satisfacen las cuatro cualidades de las curvas de indiferencia de los bienes regulares.

    Supón que para Rubén el pan es un bien inferior y la carne es un bien normal. El pan cuesta $2 por pieza y el jamón empacado $2 por bolsa. Rubén dispone de $20 para gastar. Por los efectos de la inflación el precio del jamón cae a $1 y el precio del pan sigue siendo el mismo. Rubén compra ahora siete piezas de pan y seis paquetes de jamón. Dibuja la nueva restricción presupuestaria y la nueva canasta de consumo óptima, así como la nueva curva de indiferencia donde está situada.

    SALIDA

    Análisis
    Rubén enfrenta un problema de elección de consumo con dos bienes (pan y jamón), uno inferior (pan) y otro normal (jamón). Cuando baja el precio del jamón, su restricción presupuestaria “rota” hacia afuera, cambiando la combinación óptima por efectos renta y sustitución. Usaremos la condición de óptimo (MRS igual a la pendiente de la recta de presupuesto) y trazaremos gráficamente la nueva restricción y la nueva curva de indiferencia tangente en el nuevo punto óptimo.

    Solución paso a paso

    • Definir variables y datos
      • xpan = cantidad de piezas de pan
      • xjam = cantidad de paquetes de jamón
      • Ingreso M = 20
      • Precio pan pp = 2
      • Precio jamón pj (nuevo) = 1

    • Ecuación de la nueva restricción presupuestaria
      ppxpan+pjxjam=Mpp·x_{pan} + pj·x_{jam} = M
      Sustituyendo valores:
      2xpan+1xjam=202·x_{pan} + 1·x_{jam} = 20

    • Cálculo de interceptos
      • Si x_{pan} = 0 ⇒ xjam=20x_{jam} = 20
      • Si x_{jam} = 0 ⇒ xpan=10x_{pan} = 10

    • Pendiente de la recta de presupuesto
      pendiente=,pjpp=,12\text{pendiente} = -,\frac{pj}{pp} = -,\frac{1}{2}

    • Comprobación de la canasta óptima
      Rubén elige 7 unidades de pan y 6 de jamón. Verificamos que agote el presupuesto:
      27+16=14+6=202·7 + 1·6 = 14 + 6 = 20, cumple la restricción.

    • Características de la nueva solución óptima
      – El punto óptimo es (x_{pan}, x_{jam}) = (7,6).
      – En ese punto la curva de indiferencia de nivel U_{2} es tangente a la recta presupuestaria.
      – Dicha curva es estrictamente convexa al origen y decreciente (bienes regulares).
      – Como el jamón es bien normal, x_{jam} aumentó con la mejora de poder de compra; como el pan es inferior, su aumento relativo es menor o hasta pudo caer (dependiendo de la curva inicial).

    • Descripción del gráfico
      • Ejes: horizontal x_{pan}, vertical x_{jam}.
      • Recta de presupuesto: línea recta que une (10,0) con (0,20).
      • Punto óptimo: marcado en (7,6).
      • Curva de indiferencia U_{2}: superficie convexa y tangente a la recta en (7,6), situada “más arriba” que la curva inicial U_{1}.

    Answer
    La nueva restricción presupuestaria es
    2,xpan;+;1,xjam;=;202,x_{pan} ;+; 1,x_{jam} ;=; 20
    con interceptos (xpan,xjam)=(10,0)(x_{pan},x_{jam})=(10,0) y (0,20)(0,20), pendiente 12-\tfrac12.
    El nuevo óptimo es la canasta (xpan,xjam)=(7,6)(x_{pan},x_{jam})=(7,6) y la curva de indiferencia tangente en ese punto se eleva sobre la original, reflejando un mayor nivel de utilidad.

  • ENTRADA

    Laboratorio # 4 (Elasticidad precio - demanda)

    Problema I: A un precio de Q60 la cantidad demandada de un determinado bien es de 600 unidades. Si el precio aumenta a Q90 la cantidad demandada disminuye a 450 unidades. Realice el gráfico correspondiente al comportamiento del consumo del bien y calcule matemáticamente la elasticidad precio demanda, analice adecuadamente el resultado obtenido.

    SALIDA

    [Analysis]
    Este ejercicio corresponde al cálculo de la elasticidad precio de la demanda usando la fórmula de elasticidad arco (midpoint formula). Primero graficaremos la curva de demanda con los dos puntos dados y luego aplicaremos la fórmula para obtener la elasticidad en ese tramo. Finalmente interpretaremos el valor obtenido.

    [Solution]
    Paso 1: Identificación de datos
    • Precio inicial P1P_{1} = Q 60
    • Cantidad inicial Q1Q_{1} = 600
    • Precio final P2P_{2} = Q 90
    • Cantidad final Q2Q_{2} = 450

    Paso 2: Cálculo de cambios en cantidad y precio
    • Cambio en cantidad ΔQ\Delta Q = Q2Q1Q_{2}-Q_{1} = 450 − 600 = −150
    • Cambio en precio ΔP\Delta P = P2P1P_{2}-P_{1} = 90 − 60 = 30

    Paso 3: Cálculo de promedios de cantidad y precio
    • Cantidad promedio QavgQ_{avg} = Q1+Q22\frac{Q_{1}+Q_{2}}{2} = 600+4502\frac{600 + 450}{2} = 525
    • Precio promedio PavgP_{avg} = P1+P22\frac{P_{1}+P_{2}}{2} = 60+902\frac{60 + 90}{2} = 75

    Paso 4: Fórmula de elasticidad precio de la demanda (arco)
    EdE_{d} = \frac{\Delta Q / Q_{avg}}{\Delta P / P_{avg}}

    Paso 5: Sustitución y cálculo
    EdE_{d}
    = \frac{(-150) / 525}{30 / 75}
    = \frac{-0.2857\ldots}{0.4}
    \approx -0.7143

    Paso 6: Interpretación del resultado
    • El valor de EdE_{d} es aproximadamente −0.71.
    • Dado que el valor absoluto ,Ed,=0.71,E_{d},| = 0.71 es menor que 1, la demanda en este tramo es inelástica.
    • Esto significa que un aumento de 1 % en el precio reduce la cantidad demandada en aproximadamente 0.71 %.

    Gráfico de la demanda
    • Eje horizontal: cantidad (Q)
    • Eje vertical: precio (P)
    • Punto A(600, 60) y punto B(450, 90)
    • La línea recta que une A y B es la curva de demanda.
    • Al subir el precio de 60 a 90, la cantidad baja de 600 a 450, ilustrando la pendiente negativa típica de la demanda.

    [Answer]
    El valor de la elasticidad precio de la demanda en el tramo considerado es
    Ed0.7143E_{d} \approx -0.7143
    y como |EdE_{d}| < 1, la demanda se clasifica como inelástica.

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