Resuelvelo y ten en cuenta que U=7 y A=4
Analysis
Este es un problema de elección del consumidor con función de utilidad tipo Cobb–Douglas y restricción presupuestaria.
En particular, con
Exponente de 𝑋: α=U1=71
Exponente de 𝑌: 1−α=(U−1)/U=76
Abordaremos:
Demanda Marshalliana (maximización de utilidad con restricción presupuestaria).
Curva de Engel (relación entre ingreso 𝐼 y demanda).
Demanda Hicksiana (minimización de gasto para un nivel de utilidad dado).
Demanda compensada según Slutsky (ajuste de ingreso para mantener el poder adquisitivo).
Solution
1. Demanda Marshalliana
Maximizamos u=X71Y76 sujeto a pxX+pyY=I.
Plantear Lagrangiano:
L=X71Y76+λ(I−pxX−pyY)Primeras condiciones de orden óptimo:
∂X∂L=71X−76Y76−λpx=0
∂Y∂L=76X71Y−71−λpy=0Dividiendo ambas condiciones:
71X−76Y7676X71Y−71=pxpy
⟹ 6Y71+76X71+76=pxpy ⟹ 6YX=pxpy
⟹ Y=6,pypx,XSustituir en la restricción presupuestaria:
pxX+py(6pypxX)=I ⟹ 7pxX=I ⟹
Demanda de X: <<|X^(p_x,p_y,I)=\frac{I}{7,p_x}|>>
Demanda de Y: usando <<|Y=6(p_x/p_y)X|>>:
<<|Y^(p_x,p_y,I)=\frac{6I}{7,p_y}|>>
2. Curva de Engel
Relación entre ingreso 𝐼 y consumo en equilibrio:
X(I)=7px1I (línea recta que pasa por el origen con pendiente 7px1).
Y(I)=7py6I (pendiente 7py6).
3. Demanda Hicksiana (criterio de Hicks)
Minimizamos gasto E=pxX+pyY sujeto a X71Y76=u0.
Por la propiedad de Cobb–Douglas, la participación del gasto en 𝑋 es α y en 𝑌 es 1−α.
Función gasto:
E(px,py,u)=αα(1−α)1−αu;pxα,py1−α
donde α=71 y 1−α=76.Demanda Hicksiana de X:
hx(px,py,u)=αpxE(px,py,u)
⟹ hx=71(71)71(76)76u,px−76py76Demanda Hicksiana de Y:
hy(px,py,u)=(1−α)pyE
⟹ hy=76(71)71(76)76u,px71py−71
4. Demanda compensada (criterio de Slutsky)
La demanda compensada de Slutsky coincide en forma con la Hicksiana, ya que se ajusta el ingreso para mantener el poder adquisitivo inicial.
xS(px,py,u)=hx(px,py,u)
yS(px,py,u)=hy(px,py,u)
Answer
Demanda Marshalliana:
<<|X^(p_x,p_y,I)=\frac{I}{7,p_x},\quad Y^(p_x,p_y,I)=\frac{6,I}{7,p_y}|>>
Curvas de Engel:
X(I)=7px1I,Y(I)=7py6I
Demanda Hicksiana:
hx(px,py,u)=71(71)71(76)76u,px−76py76,
hy(px,py,u)=76(71)71(76)76u,px71py−71
Demanda compensada Slutsky:
xS(px,py,u)=hx(px,py,u),yS(px,py,u)=hy(px,py,u)
Gráficamente, las curvas de indiferencia son a lo Cobb–Douglas con pendiente decreciente, y la recta presupuestaria es pxX+pyY=I. El punto óptimo es donde la tangente de la curva de indiferencia es paralela a la recta presupuestaria.