Solucionador de Economía

Análisis

Se trata de un mercado competitivo con curvas de oferta y demanda lineales definidas por datos discretos de precio y cantidad. La estrategia consiste en:

• Calcular las ecuaciones lineales de oferta y demanda

• Hallar el punto de equilibrio resolviendo oferta igual demanda

• Analizar los efectos de un precio distinto al de equilibrio (escasez o excedente)

• Evaluar la imposición de precios máximos

• Estudiar desplazamientos de la oferta por aumento de costos

• Estudiar desplazamientos de la demanda por cambios en determinantes

• Analizar nueva tecnología que desplaza la oferta

Solución

a Cálculo de ecuaciones y punto de equilibrio

• Pendiente de oferta
  Pendiente = (90 menos 20) sobre (8 menos 1) = 70 sobre 7 = 10
  Intercepto b tal que Qs = 10P + b y en P = 1 se cumple Qs = 20
  se obtiene b = 10
  Entonces oferta $Q_s = 10P + 10$

• Pendiente de demanda
  Pendiente = (10 menos 80) sobre (8 menos 1) = -70 sobre 7 = -10
  Intercepto c tal que Qd = -10P + c y en P = 1 se cumple Qd = 80
  se obtiene c = 90
  Entonces demanda $Q_d = -10P + 90$

• Equilibrio resolviendo $Q_s = Q_d$
  $10P + 10 = -10P + 90$
  $20P = 80$
  $P^* = 4$
  Cantidad $Q^* = 10·4 + 10 = 50$

• Gráfico conceptual
  Curva de oferta creciente y curva de demanda decreciente
  Punto de intersección en $P^* = 4$ y $Q^* = 50$

b Precio de 3 dólares
Demanda $Q_d = -10·3 + 90 = 60$
Oferta $Q_s = 10·3 + 10 = 40$
Diferencia 60 menos 40 = 20 Escasez de veinte unidades

c Precio de 5 dólares
Demanda $Q_d = -10·5 + 90 = 40$
Oferta $Q_s = 10·5 + 10 = 60$
Diferencia 60 menos 40 = 20 Excedente de veinte unidades

d Precio máximo de 6 y de 2
Precio máximo = 6 está por encima de P* = 4 no genera efecto
Precio máximo = 2 está por debajo de P* genera escasez
A P = 2 demanda $Q_d = -10·2 + 90 = 70$ oferta $Q_s = 10·2 + 10 = 30$
Escasez de cuarenta unidades

e Aumento de costos en un dólar desplaza oferta al alza
Nueva oferta $Q_s' = 10·(P - 1) + 10 = 10P$
Equilibrio con demanda
$10P = -10P + 90$
$20P = 90$
$P^* = 4.5$
Cantidad $Q^* = 10·3.5 + 10 = 45$

f Demanda aumenta 10 unidades a cada precio
Nueva demanda $Q_d' = -10P + 100$
Equilibrio con oferta original
$10P + 10 = -10P + 100$
$20P = 90$
$P^* = 4.5$
Cantidad $Q^* = 10·4.5 + 10 = 55$

Determinantes posibles

• Incremento de ingreso disponible para un bien normal

• Aumento del precio de un bien sustituto

• Disminución del precio de un bien complementario

• Cambios en gustos y preferencias

• Expectativas de precio futuro

• Mayor número de consumidores

g Nueva tecnología desplaza oferta a la derecha
Datos oferta nueva en P = 1 Q = 30 y en P = 8 Q = 100
Pendiente 10 e intercept 20
$Q_s'' = 10P + 20$
Equilibrio con demanda original
$10P + 20 = -10P + 90$
$20P = 70$
$P^* = 3.5$
Cantidad $Q^* = 10·3.5 + 20 = 55$

Respuesta

a Precio de equilibrio $P^* = 4$ Cantidad de equilibrio $Q^* = 50$
b Escasez de veinte unidades
c Excedente de veinte unidades
d Sin efecto con precio máximo de 6 Escasez de cuarenta unidades con precio máximo de 2
e Nuevo equilibrio $P^* = 4.5$ $Q^* = 45$
f Nuevo equilibrio $P^* = 4.5$ $Q^* = 55$
Determinantes listados
g Nuevo equilibrio $P^* = 3.5$ $Q^* = 55$

Ejercicio seis Explicación
Un aumento de precio acompañado de mayor cantidad vendida indica un desplazamiento de la curva de demanda hacia la derecha
por factores tales como incremento de ingreso
o cambio en gustos
o mayor población
o expectativas favorables
lo cual puede superar el efecto precio sobre la cantidad consumida.

Analysis

Este es un problema de elección del consumidor con función de utilidad tipo Cobb–Douglas y restricción presupuestaria.
En particular, con

• Exponente de 𝑋: $α=\frac{1}{U}=\frac{1}{7}$

• Exponente de 𝑌: $1−α=(U - 1)/U=\frac{6}{7}$

Abordaremos:

• Demanda Marshalliana (maximización de utilidad con restricción presupuestaria).

• Curva de Engel (relación entre ingreso 𝐼 y demanda).

• Demanda Hicksiana (minimización de gasto para un nivel de utilidad dado).

• Demanda compensada según Slutsky (ajuste de ingreso para mantener el poder adquisitivo).

Solution

1. Demanda Marshalliana

Maximizamos $u = X^{\frac{1}{7}}Y^{\frac{6}{7}}$ sujeto a $p_xX + p_yY=I$.

• Plantear Lagrangiano:
  $ℒ=X^{\frac{1}{7}}Y^{\frac{6}{7}}+λ(I - p_xX−p_yY)$

• Primeras condiciones de orden óptimo:
  $\frac{∂ℒ}{∂X}=\tfrac{1}{7}X^{-\frac{6}{7}}Y^{\frac{6}{7}}−λp_x = 0$
  $\frac{∂ℒ}{∂Y}=\tfrac{6}{7}X^{\frac{1}{7}}Y^{-\frac{1}{7}}−λp_y = 0$

• Dividiendo ambas condiciones:
  $\frac{\tfrac{6}{7}X^{\frac{1}{7}}Y^{-\frac{1}{7}}}{\tfrac{1}{7}X^{-\frac{6}{7}}Y^{\frac{6}{7}}}=\frac{p_y}{p_x}$
  ⟹ $6\frac{X^{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}{Y^{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}=\frac{p_y}{p_x}$ ⟹ $6\frac{X}{Y}=\frac{p_y}{p_x}$
  ⟹ $Y = 6,\frac{p_x}{p_y},X$

• Sustituir en la restricción presupuestaria:
  $p_xX + p_y\Bigl(6\frac{p_x}{p_y}X\Bigr)=I$ ⟹ $7p_xX = I$ ⟹
  Demanda de X: <<|X^(p_x,p_y,I)=\frac{I}{7,p_x}|>>
  Demanda de Y: usando <<|Y=6(p_x/p_y)X|>>:
  <<|Y^(p_x,p_y,I)=\frac{6I}{7,p_y}|>>

2. Curva de Engel

Relación entre ingreso 𝐼 y consumo en equilibrio:

• $X(I)=\frac{1}{7p_x}I$ (línea recta que pasa por el origen con pendiente $\tfrac{1}{7p_x}$).

• $Y(I)=\frac{6}{7p_y}I$ (pendiente $\tfrac{6}{7p_y}$).

3. Demanda Hicksiana (criterio de Hicks)

Minimizamos gasto $E = p_xX+p_yY$ sujeto a $X^{\frac{1}{7}}Y^{\frac{6}{7}}=u_0$.
Por la propiedad de Cobb–Douglas, la participación del gasto en 𝑋 es α y en 𝑌 es 1−α.

• Función gasto:
  $E(p_x,p_y,u)=\frac{u}{α^{α}(1−α)^{1−α}};p_x^{α},p_y^{1−α}$
  donde $α=\tfrac{1}{7}$ y $1−α=\tfrac{6}{7}$.

• Demanda Hicksiana de X:
  $h_x(p_x,p_y,u)=\alpha\frac{E(p_x,p_y,u)}{p_x}$
  ⟹ $h_x=\frac{1}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{-\frac{6}{7}}p_y^{\frac{6}{7}}$

• Demanda Hicksiana de Y:
  $h_y(p_x,p_y,u)=(1−α)\frac{E}{p_y}$
  ⟹ $h_y=\frac{6}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{\frac{1}{7}}p_y^{-\frac{1}{7}}$

4. Demanda compensada (criterio de Slutsky)

La demanda compensada de Slutsky coincide en forma con la Hicksiana, ya que se ajusta el ingreso para mantener el poder adquisitivo inicial.

• $x^S(p_x,p_y,u)=h_x(p_x,p_y,u)$

• $y^S(p_x,p_y,u)=h_y(p_x,p_y,u)$

Answer

Demanda Marshalliana:
<<|X^(p_x,p_y,I)=\frac{I}{7,p_x},\quad Y^(p_x,p_y,I)=\frac{6,I}{7,p_y}|>>

Curvas de Engel:
$X(I)=\frac{1}{7p_x}I,\quad Y(I)=\frac{6}{7p_y}I$

Demanda Hicksiana:
$h_x(p_x,p_y,u)=\frac{1}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{-\frac{6}{7}}p_y^{\frac{6}{7}},$
$h_y(p_x,p_y,u)=\frac{6}{7}\frac{u}{(\tfrac{1}{7})^{\frac{1}{7}}(\tfrac{6}{7})^{\frac{6}{7}}},p_x^{\frac{1}{7}}p_y^{-\frac{1}{7}}$

Demanda compensada Slutsky:
$x^S(p_x,p_y,u)=h_x(p_x,p_y,u),\quad y^S(p_x,p_y,u)=h_y(p_x,p_y,u)$

Gráficamente, las curvas de indiferencia son a lo Cobb–Douglas con pendiente decreciente, y la recta presupuestaria es $p_xX + p_yY=I$. El punto óptimo es donde la tangente de la curva de indiferencia es paralela a la recta presupuestaria.

Análisis
Este es un problema de maximización de la utilidad sujeta a una restricción presupuestaria, usando curvas de indiferencia para dos bienes (jamón y pan). Aplicamos el modelo estándar de elección del consumidor:

• Plantear la restricción presupuestaria.

• Hallar la recta de presupuesto (interceptos y pendiente).

• Ubicar la canasta óptima donde la curva de indiferencia sea tangente a la recta de presupuesto (MRS = relación de precios).

Solución paso a paso

Paso 1: Restricción presupuestaria
Rubén dispone de ingreso = $20,
precio del jamón (bien horizontal) = $2 por bolsa,
precio del pan (bien vertical) = $2 por pieza.
Entonces la restricción es
$2J + 2P = 20$
donde $J$ es cantidad de jamón y $P$ cantidad de pan.

Paso 2: Ecuación simplificada y puntos intercepto
Dividimos toda la ecuación entre 2:
$J + P = 10$
– Cuando $P = 0$, $J = 10$ (intercepto horizontal).
– Cuando $J = 0$, $P = 10$ (intercepto vertical).
La pendiente de la recta de presupuesto es $-\frac{dP}{dJ} = 1$.

Paso 3: Canasta óptima
La canasta óptima dada es $J^* = 4$, $P^* = 6$.
Verificación presupuestaria:
$2\cdot 4 + 2\cdot 6 = 8 + 12 = 20$ ✓

Condición de tangencia (MRS = precio relativo)
$\mathrm{MRS}_{J,P} = \frac{MU_J}{MU_P} = \frac{P_J}{P_P} = \frac{2}{2} = 1$

Paso 4: Gráfica descriptiva
Ejes:
• Horizontal (eje X): jamón (J)
• Vertical (eje Y): pan (P)

• Dibujar la línea de presupuesto que une (0,10) con (10,0).

• Marcar el punto óptimo A = (4,6).

• Dibujar una curva de indiferencia convexa, decreciente, pasando por A y tangent e a la recta de presupuesto en ese punto.

Respuesta final
– Ecuación de la restricción presupuestaria:
$2J + 2P = 20\quad\Longleftrightarrow\quad J + P = 10$
– Canasta óptima:
<<|(J^,P^) = (4,;6)|>>
– En la gráfica, la recta de presupuesto intercepta los ejes en (10,0) y (0,10), y la curva de indiferencia es tangente en A.

Análisis
Rubén enfrenta un problema de elección de consumo con dos bienes (pan y jamón), uno inferior (pan) y otro normal (jamón). Cuando baja el precio del jamón, su restricción presupuestaria “rota” hacia afuera, cambiando la combinación óptima por efectos renta y sustitución. Usaremos la condición de óptimo (MRS igual a la pendiente de la recta de presupuesto) y trazaremos gráficamente la nueva restricción y la nueva curva de indiferencia tangente en el nuevo punto óptimo.

Solución paso a paso

• Definir variables y datos
  • xpan = cantidad de piezas de pan
  • xjam = cantidad de paquetes de jamón
  • Ingreso M = 20
  • Precio pan pp = 2
  • Precio jamón pj (nuevo) = 1

• Ecuación de la nueva restricción presupuestaria
  $pp·x_{pan} + pj·x_{jam} = M$
  Sustituyendo valores:
  $2·x_{pan} + 1·x_{jam} = 20$

• Cálculo de interceptos
  • Si x_{pan} = 0 ⇒ $x_{jam} = 20$
  • Si x_{jam} = 0 ⇒ $x_{pan} = 10$

• Pendiente de la recta de presupuesto
  $\text{pendiente} = -,\frac{pj}{pp} = -,\frac{1}{2}$

• Comprobación de la canasta óptima
  Rubén elige 7 unidades de pan y 6 de jamón. Verificamos que agote el presupuesto:
  $2·7 + 1·6 = 14 + 6 = 20$, cumple la restricción.

• Características de la nueva solución óptima
  – El punto óptimo es (x_{pan}, x_{jam}) = (7,6).
  – En ese punto la curva de indiferencia de nivel U_{2} es tangente a la recta presupuestaria.
  – Dicha curva es estrictamente convexa al origen y decreciente (bienes regulares).
  – Como el jamón es bien normal, x_{jam} aumentó con la mejora de poder de compra; como el pan es inferior, su aumento relativo es menor o hasta pudo caer (dependiendo de la curva inicial).

• Descripción del gráfico
  • Ejes: horizontal x_{pan}, vertical x_{jam}.
  • Recta de presupuesto: línea recta que une (10,0) con (0,20).
  • Punto óptimo: marcado en (7,6).
  • Curva de indiferencia U_{2}: superficie convexa y tangente a la recta en (7,6), situada “más arriba” que la curva inicial U_{1}.

Answer
La nueva restricción presupuestaria es
$2,x_{pan} ;+; 1,x_{jam} ;=; 20$
con interceptos $(x_{pan},x_{jam})=(10,0)$ y $(0,20)$, pendiente $-\tfrac12$.
El nuevo óptimo es la canasta $(x_{pan},x_{jam})=(7,6)$ y la curva de indiferencia tangente en ese punto se eleva sobre la original, reflejando un mayor nivel de utilidad.