Solucionador de Estadística

Análisis
Tenemos una muestra aleatoria de tamaño $n = 20$ de la cantidad de quejas mensuales por aeropuerto. Se quiere probar, con nivel de significancia $α = 0.05$, si la media poblacional de quejas es menor de 15. Como no conocemos la desviación estándar poblacional y «n» es pequeño, utilizaremos una prueba de hipótesis de la media basada en la distribución t de Student, siempre que la población de quejas sea aproximadamente normal.

Solución

a. Suposición requerida

Antes de aplicar la prueba de hipótesis con la $t$ de Student, se asume que la población de la cual procede la muestra sigue una distribución normal.

b. Distribución de frecuencias y normalidad

• Construimos la tabla de frecuencias de los datos:

  Valor de quejas | Frecuencia
  –––––––––––––– | –––––––––
  10 | 1
  12 | 4
  13 | 5
  14 | 5
  15 | 3
  16 | 2

• Observación del patrón

  • La distribución es aproximadamente simétrica alrededor de 13–14.

  • No hay colas muy alargadas ni asimetrías fuertes.
    => Es razonable suponer normalidad para este conjunto de datos.

c. Prueba de hipótesis

Paso 1. Planteo de hipótesis
– Hipótesis nula: $H₀: μ = 15$
– Hipótesis alternativa (unilateral izquierda): $H₁: μ < 15$

Paso 2. Estadístico de prueba
– Estadístico $t$:
<<|
t = \frac{\overline x ;-; μ₀}{s/\sqrt{n}}
|>><br>
donde
• $\overline x$ = media muestral
• $s$ = desviación estándar muestral (con $ddof = 1$)
• $μ₀$ = valor bajo $H₀$

Cálculos intermedios
– Media muestral:
<<|
\overline x = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} x_i = 13.5
|>><br>
– Desviación estándar muestral:
<<|
s = 1.5044
|>><br>
– Estadístico:
<<|
t = \frac{13.5 - 15}{1.5044 / \sqrt{20}}
= \frac{-1.5}{0.3366}
\approx -4.456
|>>

Paso 3. Región crítica o p-valor
– Grados de libertad: $df = n - 1 = 19$
– Para $α = 0.05$ y prueba unilateral izquierda,
el valor crítico es $t_{0.05,19} \approx -1.729$.
– Como $t_{\text{obs}} = -4.456$> $-1.729$, queda en la región de rechazo.
– O bien calculamos el p-valor:
$p\text{-valor} = P(T_{19} < -4.456) < 0.001$

Paso 4. Decisión
– Rechazamos $H₀$ al nivel $α = 0.05$.

Paso 5. Conclusión
– Hay evidencia estadística suficiente para concluir que la media poblacional de quejas por aeropuerto es menor de 15 al mes.

Respuesta final

La prueba t arroja $t = -4.456$ con $df = 19$ y $p\text{-valor} < 0.001$.
Por lo tanto, al nivel de significancia $0.05$, se concluye que la media de quejas por aeropuerto es menor de 15 al mes.

Análisis
Se trata de un contraste de medias pareadas (diferencias 1992–1991). Calcularemos las diferencias para cada empresa, luego la media y desviación típica de esas diferencias, y realizaremos un test t de una muestra (n = 9) para comprobar si el cambio medio es distinto de cero al nivel de significación 0.02 (prueba bilateral).

Solución

• Cálculo de las diferencias
  Para cada empresa $i$$d_i = ingreso_{i,1992} - ingreso_{i,1991}$
  d = [1.10, 0.24, 0.95, –0.44, –0.36, –0.41, 0.54, –1.06, –2.25]

• Media de las diferencias
  $\bar d = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} d_i = -0.1878$

• Desviación estándar muestral de las diferencias
  $s_d = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(d_i - \bar d)^2} = 1.0501$

• Error estándar de la media de las diferencias
  $s_{\bar d} = \frac{s_d}{\sqrt{n}} = \frac{1.0501}{\sqrt{9}} = 0.3500$

• Estadístico de prueba t
  $t = \frac{\bar d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{-0.1878}{0.3500} = -0.5365$

• Valor crítico para prueba bilateral con (\nu = n-1 = 8) y (\alpha = 0.02)
  $t_{0.01,8} = 2.896$

• Decisión
  |t| = 0.5365 < 2.896 ⇒ no se rechaza H₀.

Respuesta

a. Cambio medio de ingresos por acción:
$\bar d = -0.1878$<br>

b. Desviación estándar del cambio:
$s_d = 1.0501$<br>
Desviación estándar del error de la media:
$s_{\bar d} = 0.3500$

c. Estadístico t = $-0.5365$, valor crítico bilateral = $\pm 2.896$.
Al nivel de significación 0.02 no se rechaza H₀ ⇒ no hay evidencia de diferencia significativa entre los ingresos medios de 1991 y 1992.

Análisis
Se trata de un problema de estadística descriptiva con distribución de frecuencias agrupadas.

• Calcularemos la frecuencia acumulada para ubicar percentiles y cuartiles.

• Identificaremos la moda como el intervalo de mayor frecuencia.

Solución

• Cálculo del tamaño total de la muestra
  $N = 25 + 67 + 28 + 15 + 65 = 200$

• Frecuencias acumuladas por columna

  • Marrón: $F_{ac}=25$

  • Amarillo: $F_{ac}=25 + 67=92$

  • Azul: $F_{ac}=92 + 28=120$

  • Rojo: $F_{ac}=120 + 15=135$

  • Verde: $F_{ac}=135 + 65=200$

• Segundo cuartil (Q2 o mediana)

  • Posición teórica: $0.5\times N = 100$

  • La observación 100 queda en la columna cuya acumulada llega hasta 120 ⇒ Azul.

• Moda

  • Máxima frecuencia absoluta: 67 (columna Amarillo) ⇒ Amarillo.

• Percentil 10

  • Posición: $0.1\times N = 20$

  • La observación 20 está dentro de la acumulada de 25 ⇒ Marrón.

• 25% de los datos más pequeños

  • Corresponde a las primeras $0.25\times N = 50$ observaciones.

  • La 50ª observación está dentro de la acumulada de 92 ⇒ Amarillo.

• 30% de los datos más grandes

  • Son las últimas $0.3\times N = 60$ observaciones ⇒ posiciones 141 a 200.

  • La acumulada que cubre hasta 200 desde 135 es la columna Verde ⇒ Verde.

Respuesta

• El segundo cuartil se encuentra en la columna azul.

• La moda corresponde a la columna amarillo.

• El percentil 10 está en la columna marrón.

• El 25% de los datos más pequeños se encuentra en la columna amarillo.

• El 30% de los datos más grandes se encuentra en la columna verde.

Análisis
Tenemos datos agrupados en intervalos de ingresos mensuales (en millones de guaraníes) y sus frecuencias. El objetivo es calcular:

• La desviación típica (σ) de la distribución (asumiendo población).

• El coeficiente de variación (CV).

• Interpretar el CV.

La estrategia consiste en:

• Hallar los puntos medios de cada intervalo.

• Calcular la media aproximada $\bar x$.

• Calcular la varianza poblacional y luego su raíz (desviación típica).

• Calcular el CV como $\displaystyle CV=\frac{\sigma}{\bar x}$.

• Interpretar el resultado.

Solución

• Construcción de la tabla con puntos medios, productos y cuadrados

| Intervalo | Frecuencia $f_i$ | Punto medio $x_i$ | $f_i x_i$ | $f_i x_i^2$ |
|-----------|--------------------|-----------------|-----------|--------------|
| 5 – 9 | 12 | 7 | 84 | 588 |
| 10 – 14 | 15 | 12 | 180 | 2 160 |
| 15 – 19 | 9 | 17 | 153 | 2 601 |
| 20 – 24 | 8 | 22 | 176 | 3 872 |
| 25 – 29 | 4 | 27 | 108 | 2 916 |
| Total | 48 | | 701 | 12 137 |

• Cálculo de la media aproximada
  $\bar x = \frac{\sum f_i x_i}{n} = \frac{701}{48} \approx 14{,}6042$

• Cálculo de la varianza poblacional
  <<|\displaystyle \sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{n} - \bar x^{2}
  = \frac{12,137}{48} - (14{,}6042)^{2}
  \approx 252{,}8542 - 213{,}2507
  \approx 39{,}6035|>>

• Cálculo de la desviación típica
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}\approx \sqrt{39{,}6035}\approx 6{,}2922$

• Cálculo del coeficiente de variación
  <<|\displaystyle CV = \frac{\sigma}{\bar x}
  = \frac{6{,}2922}{14{,}6042}
  \approx 0{,}4309 ;=;43{,}09%|>>

Respuesta
La desviación típica es
$\sigma \approx 6{,}29$

El coeficiente de variación es
$CV \approx 43{,}09$

Interpretación: un CV de aproximadamente 43 % indica que hay una dispersión relativamente alta de los ingresos respecto de la media.