Análisis

Se trata de un estudio descriptivo de datos continuos (tiempos de respuesta) y un análisis de correlación bivariante (temperatura vs. tiempo).
En la primera parte se construye una distribución de frecuencias agrupadas, se calculan medidas de tendencia central, dispersión y posición.
En la segunda parte se calcula el coeficiente de correlación de Pearson y el de Spearman para evaluar la relación lineal entre temperatura y tiempo de respuesta.

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Solución

• Distribución de frecuencias agrupada

  • Tamaño de la muestra: $n = 80$

  • Mínimo: $x_{\min}=270$, Máximo: $x_{\max}=345$

  • Rango: $R = x_{\max}-x_{\min}=345 - 270=75$

  • Número de clases (Regla de Sturges):
    $\displaystyle k = 1+3.322\log_{10}(80)\approx7.32\approx8$

  • Amplitud de clase: $h=\frac{R}{k}\approx\frac{75}{8}\approx9.4\approx10$

  • Intervalos [límite inferior, límite superior), marcas de clase, frecuencias absolutas, acumuladas y relativas:

  Intervalo	xi	fi	Fi	fi/n
  [270, 280)	275	10	10	0.125
  [280, 290)	285	11	21	0.1375
  [290, 300)	295	12	33	0.1500
  [300, 310)	305	12	45	0.1500
  [310, 320)	315	12	57	0.1500
  [320, 330)	325	11	68	0.1375
  [330, 340)	335	9	77	0.1125
  [340, 350)	345	3	80	0.0375

• Medidas de tendencia central (datos agrupados)

  • Media aritmética:
    $\displaystyle \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^k f_i\,x_i=\frac{10\cdot275 + 11\cdot285+\cdots + 3\cdot345}{80}=306.125\text{ s}$

  • Mediana (interpolación):
    $\displaystyle F_{c - 1}=33,\ f_c = 12,\ \frac{N}{2}=40,\ L_c = 300$
    $\displaystyle M_e = 300+\frac{40 - 33}{12}\,\times10\approx305.83\text{ s}$

  • Moda (primer clase modal [290,300)):
    $\displaystyle d_1 = 12-11 = 1,\ d_2 = 12-12 = 0,\ L_{\text{mo}}=290$
    $\displaystyle M_o = 290+\frac{d_1}{d_1 + d_2}\,10 = 300\text{ s}$

• Medidas de dispersión

  • Varianza poblacional (agrupada):
    $\displaystyle \sigma^2=\frac{1}{n}\sum f_i(x_i-\bar x)^2\approx412.58\ (\text{s}^2)$

  • Desviación estándar:
    $\displaystyle \sigma\approx\sqrt{412.58}=20.31\text{ s}$

  • Coeficiente de variación:
    $\displaystyle CV=\frac{\sigma}{\bar x}\times100\%\approx6.64\%$

• Medidas de posición

  • Cuartil 1 (25 %): posición $0.25\,n = 20$ cae en [280,290):
    $\displaystyle Q_1 = 280+\frac{20 - 10}{11}\,\times10\approx289.09\text{ s}$

  • Decil 7 (70 %): posición $0.7\,n = 56$ cae en [310,320):
    $\displaystyle D_7 = 310+\frac{56 - 45}{12}\,\times10\approx319.17\text{ s}$

  • Percentil 95 (95 %): posición $0.95\,n = 76$ cae en [330,340):
    $\displaystyle P_{95}=330+\frac{76 - 68}{9}\,\times10\approx338.89\text{ s}$

• Análisis de correlación (Temperatura vs. Tiempo)
  Datos:
  $T\,(°C)=\{15,18,22,25,28,30,32,35,38,40\}$
  $t\,(s)=\{260,265,278,285,302,315,330,345,362,380\}$

  • Coeficiente de Pearson:
    $\displaystyle r\approx0.983$

  • Coeficiente de Spearman (rangos idénticos):
    $\displaystyle \rho = 1.00$

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Respuesta

• Rango: $75$

• Número de clases: $8$, amplitud $10$

• Media: $306.13\text{ s}$

• Mediana: $305.83\text{ s}$

• Moda: $300\text{ s}$

• Varianza: $412.58\ \text{s}^2$, Desviación: $20.31\text{ s}$, CV: $6.64\%$

• $Q_1 = 289.09\text{ s}$, $D_7 = 319.17\text{ s}$, $P_{95}=338.89\text{ s}$

• Correlación de Pearson: $r = 0.983$

• Correlación de Spearman: $\rho = 1.00$

• Conclusión: existe una relación lineal positiva muy fuerte entre la temperatura ambiente y el tiempo de respuesta en intercepción radar.

Puedo ver la imagen con los problemas de estadística. Voy a resolver cada ejercicio paso a paso en español.

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SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA

[Analysis]

Este documento contiene tres ejercicios de estadística:

• Ejercicio N°1: Análisis descriptivo comparativo de precios de renta mensual entre departamentos en ciudad y suburbio. Incluye medidas de tendencia central, dispersión y visualización con histogramas.

• Ejercicio N°2: Inferencia estadística - Intervalo de confianza para la varianza poblacional usando la distribución chi-cuadrado.

• Ejercicio N°3: Análisis de regresión lineal simple para pronosticar demanda de combustibles basada en temperatura, incluyendo interpretación de coeficientes, bondad de ajuste y prueba de hipótesis.

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[Solution]

EJERCICIO N°1: MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN

Datos proporcionados:

Resumen	Ciudad	Suburbio
n	10	10
Media	1016.50	718.40
Var(p-1)	8949.53	8054.85
Var(n)	3755.60	3380.04
Mediana	982.50	725.00

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i) ¿La media o la mediana? ¿Qué valor reportaría?

Paso 1: Análisis de la distribución

Para la Ciudad:

• Media = 1016.50

• Mediana = 982.50

• Diferencia: $1016.50 - 982.50 = 34$

Para el Suburbio:

• Media = 718.40

• Mediana = 725.00

• Diferencia: $718.40 - 725.00 = -6.6$

Paso 2: Interpretación

En la Ciudad, la media (1016.50) es mayor que la mediana (982.50), lo que sugiere una distribución asimétrica positiva (sesgada a la derecha). Esto indica que hay algunos departamentos con precios muy altos que elevan la media.

En el Suburbio, la media (718.40) es ligeramente menor que la mediana (725.00), sugiriendo una distribución aproximadamente simétrica o ligeramente sesgada a la izquierda.

Paso 3: Decisión

$\text{Recomendación: Reportar la MEDIANA para la Ciudad y la MEDIA para el Suburbio}$

Justificación: La mediana es más robusta ante valores atípicos. En la ciudad, donde hay mayor variabilidad (Var = 8949.53 vs 8054.85) y posibles valores extremos, la mediana representa mejor el "precio típico". En el suburbio, con distribución más simétrica, la media es apropiada.

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ii) ¿En cuál de los sitios los precios son más homogéneos?

Paso 1: Calcular medidas de dispersión relativas

Desviación estándar (muestral):

• Ciudad: $s_C = \sqrt{8949.53} \approx 94.60$

• Suburbio: $s_S = \sqrt{8054.85} \approx 89.75$

Coeficiente de variación (CV):
$CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100$

• Ciudad: $CV_C = \frac{94.60}{1016.50} \times 100 \approx 9.31\%$

• Suburbio: $CV_S = \frac{89.75}{718.40} \times 100 \approx 12.49\%$

Paso 2: Interpretación

Aunque la desviación estándar absoluta es mayor en la ciudad (94.60 > 89.75), el coeficiente de variación es menor en la ciudad (9.31% < 12.49%).

Respuesta: $\text{Los precios son más homogéneos en la CIUDAD}$

Justificación: El CV de la ciudad (9.31%) es menor que el del suburbio (12.49%), lo que indica menor dispersión relativa respecto a la media. La variabilidad proporcional es menor en la ciudad.

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iii) Teorema de Chebyshev para el intervalo <<| \bar{x} \pm 2.5s |>>

Paso 1: Aplicar el teorema de Chebyshev

El teorema establece que para cualquier distribución, la proporción de datos dentro de $k$ desviaciones estándar de la media es al menos:

$1 - \frac{1}{k^2}$

Paso 2: Calcular para k = 2.5

$1 - \frac{1}{(2.5)^2} = 1 - \frac{1}{6.25} = 1 - 0.16 = 0.84$

Respuesta: $\text{Al menos el } 84\% \text{ de los precios se encuentran en el intervalo } \bar{x} \pm 2.5s$

Cálculo de los intervalos:

Ciudad:

• $\bar{x} - 2.5s = 1016.50 - 2.5(94.60) = 1016.50 - 236.50 = 780.00$

• $\bar{x} + 2.5s = 1016.50 + 2.5(94.60) = 1016.50 + 236.50 = 1253.00$

Intervalo: $[780.00, 1253.00]$

Suburbio:

• $\bar{x} - 2.5s = 718.40 - 2.5(89.75) = 718.40 - 224.38 = 494.02$

• $\bar{x} + 2.5s = 718.40 + 2.5(89.75) = 718.40 + 224.38 = 942.78$

Intervalo: $[494.02, 942.78]$

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EJERCICIO N°2: INTERVALO DE CONFIANZA PARA VARIANZA

Datos proporcionados:

• Pesos de 10 latas (onzas): 7.96, 7.98, 7.90, 7.97, 8.01, 7.96, 8.03, 8.02, 8.04, 8.02

• $s = 0.043$ (desviación estándar muestral)

• $n = 10$

• Nivel de confianza: 90%

Paso 1: Identificar la distribución apropiada

Para intervalos de confianza de la varianza poblacional $\sigma^2$, usamos la distribución chi-cuadrado $\chi^2$.

Paso 2: Calcular grados de libertad

$gl = n - 1 = 10 - 1 = 9$

Paso 3: Encontrar valores críticos de chi-cuadrado

Para un intervalo de confianza del 90% ($\alpha = 0.10$):

• $\\frac{alpha}{2} = 0.05$

• $1 - \\frac{alpha}{2} = 0.95$

Valores de la tabla $\chi^2$ con 9 grados de libertad:

• $\chi^2_{0.05, 9} = 16.919$ (valor superior)

• $\chi^2_{0.95, 9} = 3.325$ (valor inferior)

Paso 4: Calcular la varianza muestral

$s^2 = (0.043)^2 = 0.001849$

Paso 5: Aplicar la fórmula del intervalo de confianza para varianza

$IC(\sigma^2) = \left( \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{\\frac{alpha}{2}}}, \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{1-\\frac{alpha}{2}}} \right)$

Paso 6: Calcular los límites

Numerador: $(n - 1)s^2 = 9 \times 0.001849 = 0.016641$

Límite inferior:
$\frac{0.016641}{16.919} \approx 0.000984$

Límite superior:
$\frac{0.016641}{3.325} \approx 0.005005$

Paso 7: Intervalo para el desvío estándar (opcional)

$\sqrt{0.000984} \approx 0.0314$
$\sqrt{0.005005} \approx 0.0707$

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EJERCICIO N°3: REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Datos de la tabla de regresión:

	Coeficientes	Error típico	Estadístico t	Probabilidad	Inferior 95%	Superior 95%
Intercepción	83.0739	6.5926	12.601	0	67.4849	98.663
Variable X	-1.1848	0.1258	-9.4171	0	-1.4823	-0.8873

Estadísticas de la regresión:

• Coeficiente de determinación $R^2 = 0.9268$

• Error típico: 3.3932

• Observaciones: 9

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a) Ecuación de la recta de mínimos cuadrados

Paso 1: Identificar variables

• $y$ = Demanda (consumo) de combustibles para calefacción

• $x$ = Temperatura máxima (variable independiente)

Paso 2: Escribir la ecuación

La forma general es: $\hat{y} = b_0 + b_1 x$

Donde:

• $b_0 = 83.0739$ (intercepción)

• $b_1 = -1.1848$ (pendiente)

Ecuación de regresión:
$\boxed{\hat{y} = 83.0739 - 1.1848x}$

Interpretación de la pendiente:
Por cada 1 grado de aumento en la temperatura máxima, la demanda de combustible para calefacción disminuye en promedio 1.1848 unidades (miles de litros, suponiendo). Esto tiene sentido lógico: a mayor temperatura, menor necesidad de calefacción.

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b) ¿Presentan los datos suficiente evidencia de que las ventas están relacionadas linealmente con las temperaturas?

Paso 1: Establecer hipótesis

$H_0: \beta_1 = 0 \text{ (no hay relación lineal)}$
$H_1: \beta_1 eq 0 \text{ (sí hay relación lineal)}$

Paso 2: Identificar estadístico de prueba

De la tabla:

• Estadístico $t = -9.4171$

• Probabilidad (p-valor) = 0

Paso 3: Decisión

Comparar p-valor con $\alpha = 0.05$:
$p\text{-valor} = 0 < 0.05 = \alpha$

Conclusión: $\text{Rechazamos } H_0$

Respuesta: SÍ, existe evidencia estadísticamente significativa al nivel del 5% de que las ventas de combustible están relacionadas linealmente con las temperaturas máximas. El valor p es prácticamente cero, lo que indica una relación muy significativa.

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c) Describa la bondad de ajuste de la ecuación obtenida

Paso 1: Analizar $R^2$ (coeficiente de determinación)

$R^2 = 0.9268$

Interpretación:
El $R^2 = 0.9268$ indica que el 92.68% de la variabilidad en la demanda de combustibles para calefacción es explicada por la temperatura máxima a través del modelo lineal.

Paso 2: Analizar el error típico

$s_e = 3.3932$

Este es el error estándar de la estimación, que representa la desviación típica de los residuos.

Paso 3: Evaluación cualitativa

Métrica	Valor	Interpretación
$R^2$	0.9268	Excelente bondad de ajuste
Error típico	3.3932	Bajo en relación a la escala de la variable dependiente
Estadístico t	-9.4171	Muy significativo (

Conclusión sobre bondad de ajuste:

$\text{El modelo presenta una EXCELENTE bondad de ajuste.}$

• El $R^2$ de 0.9268 es muy alto, indicando que el modelo explica más del 92% de la variación en las ventas.

• La relación negativa entre temperatura y demanda es fuerte y estadísticamente significativa.

• El modelo es apropiado para pronosticar la demanda de combustibles basándose en las temperaturas máximas.

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[Answer]

Resumen de Respuestas:

Ejercicio 1:

• i) Reportar la mediana (982.50) para la ciudad y la media (718.40) para el suburbio.

• ii) Los precios son más homogéneos en la CIUDAD (CV = 9.31% vs 12.49%).

• iii) Al menos el 84% de los precios están en $\bar{x} \pm 2.5s$ por el teorema de Chebyshev.

Ejercicio 2:

• Intervalo de confianza del 90% para $\sigma^2$: $[0.000984, 0.005005]$

• Para $\sigma$: $[0.0314, 0.0707]$

Ejercicio 3:

• a) Ecuación: $\hat{y} = 83.0739 - 1.1848x$

• b) SÍ, hay evidencia significativa (p = 0 < 0.05) de relación lineal.

• c) Excelente bondad de ajuste con $R^2 = 0.9268$ (92.68% de varianza explicada).

Análisis del Problema

Este es un problema de análisis de regresión lineal simple y correlación entre dos variables cuantitativas continuas:

• Variable independiente $X$: Gastos en Publicidad (miles de pesetas)

• Variable dependiente $Y$: Volumen de Ventas (millones de pesetas)

El objetivo es:

• Determinar si existe relación lineal mediante el coeficiente de correlación y el diagrama de dispersión

• Obtener las rectas de regresión por el método de mínimos cuadrados

• Realizar predicciones de ventas para valores específicos de inversión en publicidad

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Solución

Paso 1: Tabla de Datos y Cálculos Preliminares

Los datos proporcionados son:

Año	Publicidad $X$ (miles ptas.)	Ventas $Y$ (mill. ptas.)	$X^2$	$Y^2$	$XY$
1	16	10	256	100	160
2	32	15	1024	225	480
3	48	20	2304	400	960
4	56	22	3136	484	1232
5	64	30	4096	900	1920
6	80	32	6400	1024	2560
Total	$\sum X = 296$	$\sum Y = 129$	$\sum X^2 = 17216$	$\sum Y^2 = 3133$	**$\sum XY = 7312$

Con $n = 6$ observaciones.

Paso 2: Cálculo de Medias

<<|
\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{296}{6} = 49.3333 \text{ miles de pesetas}

<<|
\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{129}{6} = 21.5 \text{ millones de pesetas}

Paso 3: Cálculo de Sumas de Cuadrados y Productos Cruzados

Suma de cuadrados de X:
<<|
S_{xx} = \sum (X_i - \bar{X})^2 = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} = 17216 - \frac{296^2}{6} = 17216 - 14613.333 = 2613.333

Suma de cuadrados de Y:
<<|
S_{yy} = \sum (Y_i - \bar{Y})^2 = \sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n} = 3133 - \frac{129^2}{6} = 3133 - 2773.5 = 359.5

Suma de productos cruzados:
<<|
S_{xy} = \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = \sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{n} = 7312 - \frac{296 \times 129}{6} = 7312 - 6364 = 948

Paso 4: Coeficiente de Correlación y Determinación (Inciso a)

Coeficiente de correlación de Pearson:
<<|
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \frac{948}{\sqrt{2613.333 \times 359.5}} = \frac{948}{969.275} = 0.9781

Coeficiente de determinación:
<<|
R^2 = r^2 = (0.9781)^2 = 0.9566 \text{ o } 95.66\%

Interpretación: El coeficiente $r = 0.9781$ indica una correlación positiva muy fuerte entre los gastos en publicidad y el volumen de ventas. El valor $R^2 = 95.66\%$ significa que el 95.66% de la variabilidad en las ventas puede explicarse por la inversión en publicidad.

Diagrama de Dispersión:

El diagrama muestra una clara tendencia lineal ascendente, confirmando la fuerte correlación positiva calculada.

Paso 5: Rectas de Regresión Mínimo Cuadrático (Inciso b)

Recta de Regresión de Y sobre X (para predecir Ventas desde Publicidad):

La ecuación es $Y = a + bX$, donde:

<<|
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{948}{2613.333} = 0.3628

<<|
a = \bar{Y} - b\bar{X} = 21.5 - (0.3628)(49.333) = 21.5 - 17.896 = 3.604

Por lo tanto, la recta de regresión es:
<<|
\boxed{Y = 3.604 + 0.363X}

O de forma más precisa: $Y = 3.6041 + 0.3628X$

Recta de Regresión de X sobre Y (para predecir Publicidad desde Ventas):

La ecuación es $X = a' + b'Y$, donde:

<<|
b' = \frac{S_{xy}}{S_{yy}} = \frac{948}{359.5} = 2.637

<<|
a' = \bar{X} - b'\bar{Y} = 49.333 - (2.637)(21.5) = 49.333 - 56.696 = -7.363

Por lo tanto, la recta de regresión es:
<<|
\boxed{X = -7.363 + 2.637Y}

Paso 6: Predicciones (Inciso c)

Para predecir el volumen de ventas, utilizamos la recta de regresión de Y sobre X: $Y = 3.6041 + 0.3628X$

Caso 1: Gasto en publicidad de 60.000 pesetas

Como $X$ está en miles de pesetas: $X = 60$

<<|
Y = 3.6041 + 0.3628(60) = 3.6041 + 21.768 = 25.37 \text{ millones de pesetas}

Caso 2: Gasto en publicidad de 200.000 pesetas

Como $X$ está en miles de pesetas: $X = 200$

<<|
Y = 3.6041 + 0.3628(200) = 3.6041 + 72.56 = 76.16 \text{ millones de pesetas}

Advertencia importante: El valor $X = 200$ está fuera del rango de los datos originales (16-80). Esta predicción constituye una extrapolación, por lo que debe interpretarse con cautela, ya que la relación lineal podría no mantenerse fuera del rango observado.

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Respuesta Final

a) Relación lineal y coeficiente de determinación:

Sí existe una relación lineal muy fuerte positiva entre las ventas y los gastos en publicidad. El coeficiente de correlación es $r = 0.978$ y el coeficiente de determinación es $\boxed{R^2 = 95.66\%}$, lo que indica que el 95.66% de la variación en las ventas se explica por la inversión en publicidad.

b) Rectas de regresión:

• Recta de Y sobre X: $\boxed{Y = 3.60 + 0.36X}$ (Ventas en millones, Publicidad en miles)

• Recta de X sobre Y: $\boxed{X = -7.36 + 2.64Y}$

c) Predicciones de ventas:

• Para 60.000 ptas en publicidad: $\boxed{Y \approx 25.37 \text{ millones de pesetas}}$

• Para 200.000 ptas en publicidad: $\boxed{Y \approx 76.16 \text{ millones de pesetas}}$ (extrapolación)

Voy a resolver ambas partes: primero explicaré qué es la estimación en estadística, y luego resolveré el problema de la imagen paso a paso.

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¿Qué es la Estimación?

Análisis: La estimación es uno de los conceptos fundamentales de la inferencia estadística. Consiste en utilizar información obtenida de una muestra para aproximar los valores de parámetros desconocidos de una población.

Tipos de estimación:

• Estimación puntual: Proporciona un único valor numérico como aproximación del parámetro poblacional.

  • Ejemplo: La media muestral $\bar{x}$ es un estimador puntual de la media poblacional $\mu$.

• Estimación por intervalos: Proporciona un rango de valores dentro del cual se espera que se encuentre el parámetro poblacional, con un cierto nivel de confianza.

  • Ejemplo: Un intervalo de confianza del 95% para $\mu$: $\bar{x} \pm z_{\\frac{alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Propiedades de los buenos estimadores:

• Insesgadez: El valor esperado del estimador es igual al parámetro

• Eficiencia: Varianza mínima entre todos los estimadores insesgados

• Consistencia: Converge al parámetro verdadero cuando $n \to \infty$

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Solución del Problema de la Imagen

[Análisis]

Este es un problema de prueba de independencia de chi-cuadrado ($\chi^2$) para una tabla de contingencia $2 \times 2$. Necesitamos:

• Probar la independencia entre las variables categóricas "Sexo" y "Intención de vacaciones fuera de la provincia"

• Si las variables están asociadas, calcular el coeficiente de asociación (C de Pearson o V de Cramér)

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[Solución]

Paso 1: Organizar los datos observados

La tabla de contingencia observada es:

	SI	NO	Total
HOMBRES	80	35	115
MUJERES	85	0	85
Total	165	35	200

Paso 2: Calcular las frecuencias esperadas bajo independencia

La fórmula para las frecuencias esperadas es:
$e_{ij} = \frac{(\text{total fila } i) \times (\text{total columna } j)}{\text{total general}}$

$e_{11} = \frac{115 \times 165}{200} = \frac{18975}{200} = 94.875$

$e_{12} = \frac{115 \times 35}{200} = \frac{4025}{200} = 20.125$

$e_{21} = \frac{85 \times 165}{200} = \frac{14025}{200} = 70.125$

$e_{22} = \frac{85 \times 35}{200} = \frac{2975}{200} = 14.875$

Tabla de frecuencias esperadas:

	SI	NO
HOMBRES	94.875	20.125
MUJERES	70.125	14.875

Paso 3: Calcular el estadístico chi-cuadrado

La fórmula es:
$\chi^2 = \sum_{i = 1}^{r} \sum_{j = 1}^{c} \frac{(o_{ij} - e_{ij})^2}{e_{ij}}$

$\chi^2 = \frac{(80 - 94.875)^2}{94.875} + \frac{(35 - 20.125)^2}{20.125} + \frac{(85 - 70.125)^2}{70.125} + \frac{(0 - 14.875)^2}{14.875}$

$\chi^2 = \frac{(-14.875)^2}{94.875} + \frac{(14.875)^2}{20.125} + \frac{(14.875)^2}{70.125} + \frac{(-14.875)^2}{14.875}$

$\chi^2 = \frac{221.2656}{94.875} + \frac{221.2656}{20.125} + \frac{221.2656}{70.125} + \frac{221.2656}{14.875}$

$\chi^2 = 2.3316 + 10.9946 + 3.1554 + 14.8750$

$\chi^2 = 31.3566 \approx 31.36$

Paso 4: Determinar los grados de libertad y el valor crítico

$gl = (r - 1)(c - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1 \times 1 = 1$

Para $\alpha = 0.05$ y $gl = 1$, el valor crítico es:
$\chi^2_{0.05, 1} = 3.841$

Paso 5: Decisión del test de hipótesis

• Hipótesis nula $H_0$: Las variables son independientes (no hay asociación)

• Hipótesis alternativa $H_1$: Las variables están asociadas

Como $\chi^2_{\text{calculado}} = 31.36 > \chi^2_{\text{crítico}} = 3.841$, rechazamos $H_0$.

Conclusión: Existe evidencia estadísticamente significativa para afirmar que hay una asociación entre el sexo y la intención de pasar vacaciones fuera de la provincia.

Paso 6: Calcular el coeficiente de asociación

Dado que las variables están asociadas, calculamos el coeficiente de contingencia de Pearson (C):

$C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}} = \sqrt{\frac{31.36}{31.36 + 200}} = \sqrt{\frac{31.36}{231.36}} = \sqrt{0.1355} = 0.368$

También podemos calcular el coeficiente V de Cramér:

$V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(r - 1, c - 1)}} = \sqrt{\frac{31.36}{200 \times 1}} = \sqrt{0.1568} = 0.396$

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[Answer]

Resultado de la prueba de independencia:

El estadístico chi-cuadrado calculado es $\chi^2 = 31.36$ con $gl = 1$

Como $\chi^2 = 31.36 > 3.841$ (valor crítico al 5%), rechazamos la hipótesis de independencia. Existe una asociación estadísticamente significativa entre el sexo y la intención de pasar vacaciones fuera de la provincia.

Coeficiente de asociación:

• Coeficiente de contingencia de Pearson: $C = 0.368$

• V de Cramér: $V = 0.396$

Ambos coeficientes indican una asociación moderada entre las variables. El hecho de que ninguna mujer haya respondido "NO" (0 observaciones) sugiere una fuerte asociación: las mujeres entrevistadas tienen mayor intención de viajar fuera de la provincia que los hombres.