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  • ENTRADA

    La oficina de hacienda de cierta entidad territorial estima que la probabilidad de un error en las declaraciones del impuesto sobre la renta es de 0.4. Suponga que se extraen tres declaraciones de manera aleatoria con fines de auditoría. Si se supone que los resultados de las selecciones consecutivas (ensayos) son independientes, construya un diagrama de árbol que muestre todos los resultados posibles y las probabilidades de dichos resultados.

    SALIDA

    [Análisis]
    Se trata de un experimento de Bernoulli repetido tres veces con probabilidad de “error” en cada declaración. Las selecciones son independientes. Para representar todos los resultados y sus probabilidades, construimos un diagrama de árbol de tres niveles y aplicamos la regla del producto para cada rama.

    [Solución]

    Paso 1 – Definir probabilidades básicas
    pE=0.4p_E = 0.4 probabilidad de que haya error
    pN=0.6p_N = 0.6 probabilidad de que no haya error

    Paso 2 – Dibujar diagrama de árbol

    Nivel 1
    ● Rama 1 : E con probabilidad pE=0.4p_E = 0.4
    ● Rama 2 : N con probabilidad pN=0.6p_N = 0.6

    Nivel 2 (para cada rama del Nivel 1)
    Bajo E salen dos subramas
    – E con probabilidad pE=0.4p_E = 0.4
    – N con probabilidad pN=0.6p_N = 0.6
    Bajo N salen dos subramas análogas

    Nivel 3 (para cada rama del Nivel 2)
    En cada caso se repiten las mismas dos opciones E o N con las mismas probabilidades

    Paso 3 – Calcular probabilidad de cada trayectoria
    Para cualquier secuencia de tres ensayos, la probabilidad conjunta es el producto de las probabilidades en cada nivel.

    Ejemplos
    Secuencia E – E – E
    P(EEE)=pE×pE×pE=0.4×0.4×0.4=0.064P(E E E) = p_E × p_E × p_E = 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.064
    Secuencia E – E – N
    P(EEN)=0.4×0.4×0.6=0.096P(E E N) = 0.4 × 0.4 × 0.6 = 0.096
    …y así sucesivamente para las ocho posibles secuencias.

    [Respuesta]
    Las ocho trayectorias con sus probabilidades son:

    • E E E : 0.43=0.0640.4^3 = 0.064

    • E E N : 0.42×0.6=0.0960.4^2 × 0.6 = 0.096

    • E N E : 0.42×0.6=0.0960.4^2 × 0.6 = 0.096

    • E N N : 0.4×0.62=0.1440.4 × 0.6^2 = 0.144

    • N E E : 0.6×0.42=0.0960.6 × 0.4^2 = 0.096

    • N E N : 0.6×0.4×0.6=0.1440.6 × 0.4 × 0.6 = 0.144

    • N N E : 0.62×0.4=0.1440.6^2 × 0.4 = 0.144

    • N N N : 0.63=0.2160.6^3 = 0.216

    Este diagrama de árbol y las probabilidades muestran exhaustivamente todos los resultados posibles de las tres auditorías independientes.

  • ENTRADA

    La oficina de hacienda de cierta entidad territorial estima que la probabilidad de un error en las declaraciones del impuesto sobre la renta es de 0.4. Suponga que se extraen tres declaraciones de manera aleatoria con fines de auditoría. Si se supone que los resultados de las selecciones consecutivas (ensayos) son independientes, construya un diagrama de árbol que muestre todos los resultados posibles y las probabilidades de dichos resultados. a) Dos o tres declaraciones contengan errores. b) Las tres declaraciones contengan por lo menos un error

    SALIDA

    Análisis
    Este es un problema de distribución binomial con tres ensayos independientes. La probabilidad de “éxito” la tomamos como que una declaración contenga un error, con p = 0.4. Se pide primero construir el diagrama de árbol de los tres ensayos, luego calcular:
    a) la probabilidad de que exactamente dos o tres declaraciones contengan errores
    b) la probabilidad de que entre las tres declaraciones haya al menos un error

    Solución

    Paso 1. Diagrama de árbol
    Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3
    Error 0.4 ──► Error 0.4 ──► Error 0.4
    │ └─ No error 0.6
    └─ No error 0.6 ──► Error 0.4
    └─ No error 0.6

    Y análogamente cada rama “No error 0.6” en el ensayo 1 se ramifica en dos ramas de ensayo 2, etc.
    Cada camino de longitud tres tiene probabilidad que es el producto de los tres números en la ruta.

    Paso 2. Variable aleatoria binomial
    Definimos X número de declaraciones con error en tres ensayos independientes y p = 0.4.
    Entonces
    XBinomial(n=3,p=0.4)X∼Binomial(n = 3,p = 0.4)

    La fórmula general
    P(X=k)=C(3,k)(0.4)k(0.6)3kP(X = k)=C(3,k)·(0.4)^k·(0.6)^{3 - k}

    Paso 3. Inciso a) Probabilidad de X=2 o X=3
    Calculamos por separado y sumamos:
    P(X=2)=C(3,2)(0.4)2(0.6)1=30.160.6=0.288P(X = 2)=C(3,2)·(0.4)^2·(0.6)^1 = 3·0.16·0.6 = 0.288
    P(X=3)=C(3,3)(0.4)3(0.6)0=10.0641=0.064P(X = 3)=C(3,3)·(0.4)^3·(0.6)^0 = 1·0.064·1 = 0.064
    Por lo tanto
    P(X=2;o;3)=0.288+0.064=0.352P(X = 2;o;3)=0.288 + 0.064 = 0.352

    Paso 4. Inciso b) Probabilidad de al menos un error
    La forma más directa es el complemento de “ningún error”
    P(X1)=1P(X=0)P(X≥1)=1 - P(X = 0)
    Y
    P(X=0)=C(3,0)(0.4)0(0.6)3=110.216=0.216P(X = 0)=C(3,0)·(0.4)^0·(0.6)^3 = 1·1·0.216 = 0.216
    Luego
    P(X1)=10.216=0.784P(X≥1)=1 - 0.216 = 0.784

    Respuesta
    a) La probabilidad de que dos o tres declaraciones contengan errores es
    0.3520.352

    b) La probabilidad de que entre las tres declaraciones haya por lo menos un error es
    0.7840.784

  • ENTRADA

    See attached files

    SALIDA

    Análisis

    Se trata de un problema de estadística descriptiva para datos agrupados en intervalos de costo.
    Las tareas incluyen:

    • Cálculo de medidas de tendencia central: media, mediana y moda (usando interpolación en las clases).

    • Cálculo de medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, coeficiente de variabilidad y rango.

    • Cálculo de cuantiles y percentiles (Q₁, Q₃, P₁₀, P₉₀) por interpolación lineal.

    • Cálculo de los coeficientes de asimetría (skewness) y curtosis a partir de momentos centrados.


    Solución

    Datos de la distribución (N=86):

    | Clase (Costo en S/) | Marca de clase xixᵢ | Frecuencia fifᵢ |
    |---------------------|-----------------|--------------|
    | 50 – 55 | 52.5 | 8 |
    | 55 – 60 | 57.5 | 30 |
    | 60 – 65 | 62.5 | 15 |
    | 65 – 70 | 67.5 | 8 |
    | 70 – 75 | 72.5 | 20 |
    | 75 – 80 | 77.5 | 5 |

    • Media
      μ=1Nfixi=54608663.488μ = \frac{1}{N}\sum fᵢ·xᵢ = \frac{5460}{86} \approx 63.488

    • Mediana

      • Posición: N2=43 caeenlaclase6065(CFprevio=38,f=15,h=5)\tfrac{N}{2}=43|\ → cae en la clase 60–65 (CF previo = 38, f = 15, h = 5)
        x~=L+433815,h=60+515561.667\tilde x = L + \frac{43 - 38}{15},h = 60 + \frac{5}{15}·5\approx 61.667

    • Moda

      • Clase modal: 55–60 (f₁=30, f₀=8, f₂=15, h=5)
        <<|x_{mo} = L + \frac{f₁ - f₀}{2f₁ - f₀ - f₂},h
        = 55 + \frac{30-8}{2·30 -8 -15}·5
        \approx 57.973|>>

    • Varianza y desviación estándar

      • <<|\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum fᵢ·xᵢ^2 - μ^2
        = 55.01,\quad
        σ=\sqrt{55.01}\approx 7.417|>>

    • Coeficiente de variabilidad
      CV=σμ100CV = \frac{σ}{μ}·100%\approx \frac{7.417}{63.488}·100%\approx 11.68%

    • Rango
      R=xmaˊxxmıˊn=77.552.5=25R = x_{máx} - x_{mín} = 77.5 - 52.5 = 25

    • Cuartiles y percentiles

      • Q₁: posición N+14=21.75\frac{N + 1}{4}=21.75, cae en clase 55–60
        Q1=55+21.75830557.292Q₁ = 55 + \frac{21.75 - 8}{30}·5\approx 57.292

      • Q₃: posición 3N+14=65.253\frac{N + 1}{4}=65.25, cae en clase 60–65
        Q3=60+65.253815569.083Q₃ = 60 + \frac{65.25 - 38}{15}·5\approx 69.083

      • P₁₀: posición 0.10(N+1)=8.70.10(N + 1)=8.7, clase 55–60
        P10=55+8.7830555.117P_{10}=55 + \frac{8.7 - 8}{30}·5\approx 55.117

      • P₉₀: posición 0.90(N+1)=78.30.90(N + 1)=78.3, clase 70–75
        P90=70+78.36120574.325P_{90}=70 + \frac{78.3 - 61}{20}·5\approx 74.325

    • Coeficiente de asimetría (γ₁)

      • Momento central tercero: m3137.215m_3\approx 137.215
        γ1=m3σ3137.2157.41730.336γ₁ = \frac{m_3}{σ^3}\approx \frac{137.215}{7.417^3}\approx 0.336

    • Coeficiente de curtosis (γ₂)

      • Momento central cuarto: m45604.0m_4\approx 5604.0
        γ2=m4σ45604.0(7.417)41.852γ₂ = \frac{m_4}{σ^4}\approx \frac{5604.0}{(7.417)^4}\approx 1.852


    Respuesta

    a.

    • Media: μ63.488μ\approx 63.488

    • Mediana: x~61.667\tilde x\approx 61.667

    • Moda: xmo57.973x_{mo}\approx 57.973

    b.

    • Varianza: σ255.01σ^2\approx 55.01

    • Desviación típica: σ7.417σ\approx 7.417

    • Coeficiente de variabilidad: CV11.68CV\approx 11.68%

    • Rango: R=25R = 25

    c.

    • Q₁: 57.29257.292, Q₃: 69.08369.083

    • P₁₀: 55.11755.117, P₉₀: 74.32574.325

    d.

    • Asimetría: γ10.336γ₁\approx 0.336 (asimetría positiva)

    • Curtosis: γ21.852γ₂\approx 1.852 (platikúrtica)

  • ENTRADA

    Datos de germinación por lote: Lote 1: 146 germinaciones (2 + 10 + 14 + 31 + 36 + 53). Lote 2: 212 germinaciones (7 + 26 + 38 + 41 + 47 + 53). Lote 3: 202 germinaciones (2 + 32 + 33 + 34 + 49 + 52). Lote 4: 125 germinaciones (1 + 8 + 12 + 24 + 33 + 47). Lote 5: 94 germinaciones (1 + 4 + 6 + 20 + 28 + 35). Lote 6: 183 germinaciones (2 + 24 + 30 + 39 + 40 + 48). Te muestro los datos de germinacion de 6 potes en los cuales se sembraron 53 semillas en cada uno de los seis pero se fue incrementando la cantidad de fertilizante en cada uno de ellos por lo cual siempre va en aumento el numero de germinaciones. en base a esos datos cuantas semillas germinadas por pote deberia esperar en un proximo experimento?

    SALIDA

    [Análisis]
    Tenemos datos de germinación de 6 lotes con distinto nivel de fertilizante (asumimos que el lote 1 corresponde a fertilizante nivel 1, y así hasta el lote 6 con nivel 6). Queremos predecir cuántas semillas germinarán en un próximo experimento aumentado al nivel 7. La forma más sencilla de hacerlo es ajustar una regresión lineal simple de y (número de germinaciones) respecto a x (nivel de fertilizante) y usarla para pronosticar y cuando x = 7.

    [Solución]

    • Organizar los datos
      xᵢ (fertilizante): 1, 2, 3, 4, 5, 6
      yᵢ (germinaciones): 146, 212, 202, 125, 94, 183

    • Calcular medias
      xˉ=1+2+3+4+5+66=3.5\bar x = {1 + 2+3 + 4+5 + 6 \over 6} = 3.5
      yˉ=146+212+202+125+94+1836=9626160.3333\bar y = {146 + 212+202 + 125+94 + 183 \over 6} = {962 \over 6} \approx 160.3333

    • Calcular Sxx=(xixˉ)2S_{xx} = \sum (x_i -\bar x)^2 y Sxy=(xixˉ)(yiyˉ)S_{xy} = \sum (x_i -\bar x)(y_i -\bar y)
      Para cada i:
      i=1: dx=1−3.5=−2.5, dy=146−160.3333=−14.3333, dx·dy=35.8333
      i=2: dx=2−3.5=−1.5, dy=212−160.3333= 51.6667, dx·dy=−77.5000
      i=3: dx=3−3.5=−0.5, dy=202−160.3333= 41.6667, dx·dy=−20.8333
      i=4: dx=4−3.5= 0.5, dy=125−160.3333=−35.3333, dx·dy=−17.6667
      i=5: dx=5−3.5= 1.5, dy= 94−160.3333=−66.3333, dx·dy=−99.5000
      i=6: dx=6−3.5= 2.5, dy=183−160.3333= 22.6667, dx·dy= 56.6667

      Sumando:
      Sxx=6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25=17.5S_{xx} = 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5
      Sxy=35.833377.520.833317.666799.5+56.6667=123.0S_{xy} = 35.8333 -77.5 -20.8333 -17.6667 -99.5 +56.6667 = -123.0

    • Estimar coeficientes de la recta y=a+b,xy = a + b,x
      b=SxySxx=123.017.57.0286b = {S_{xy} \over S_{xx}} = {-123.0 \over 17.5} \approx -7.0286
      a=yˉb,xˉ=160.3333(7.0286)(3.5)184.9333a = \bar y - b,\bar x = 160.3333 -(-7.0286)(3.5) \approx 184.9333

      Por tanto la recta ajustada es
      y=184.9333;;7.0286,xy = 184.9333 ;-;7.0286,x

    • Pronóstico para x=7
      y(7)=184.93337.0286×7184.933349.2002=135.7331y(7) = 184.9333 -7.0286\times 7 \approx 184.9333 -49.2002 = 135.7331

    [Respuesta]
    En un próximo experimento con nivel de fertilizante 7, la regresión lineal predice aproximadamente
    136136
    semillas germinadas por pote.

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