Solucionador de Estadística

Análisis

Se trata de un estudio descriptivo de datos continuos (tiempos de respuesta) y un análisis de correlación bivariante (temperatura vs. tiempo).
En la primera parte se construye una distribución de frecuencias agrupadas, se calculan medidas de tendencia central, dispersión y posición.
En la segunda parte se calcula el coeficiente de correlación de Pearson y el de Spearman para evaluar la relación lineal entre temperatura y tiempo de respuesta.

Solución

• Distribución de frecuencias agrupada

  • Tamaño de la muestra: $n = 80$

  • Mínimo: $x_{\min}=270$, Máximo: $x_{\max}=345$

  • Rango: $R = x_{\max}-x_{\min}=345 - 270=75$

  • Número de clases (Regla de Sturges):
    $\displaystyle k = 1+3.322\log_{10}(80)\approx7.32\approx8$

  • Amplitud de clase: $h=\frac{R}{k}\approx\frac{75}{8}\approx9.4\approx10$

  • Intervalos [límite inferior, límite superior), marcas de clase, frecuencias absolutas, acumuladas y relativas:

  Intervalo	xi	fi	Fi	fi/n
  [270, 280)	275	10	10	0.125
  [280, 290)	285	11	21	0.1375
  [290, 300)	295	12	33	0.1500
  [300, 310)	305	12	45	0.1500
  [310, 320)	315	12	57	0.1500
  [320, 330)	325	11	68	0.1375
  [330, 340)	335	9	77	0.1125
  [340, 350)	345	3	80	0.0375

• Medidas de tendencia central (datos agrupados)

  • Media aritmética:
    $\displaystyle \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^k f_i,x_i=\frac{10\cdot275 + 11\cdot285+\cdots + 3\cdot345}{80}=306.125\text{ s}$

  • Mediana (interpolación):
    $\displaystyle F_{c - 1}=33,\ f_c = 12,\ \frac{N}{2}=40,\ L_c = 300$
    $\displaystyle M_e = 300+\frac{40 - 33}{12},\times10\approx305.83\text{ s}$

  • Moda (primer clase modal [290,300)):
    $\displaystyle d_1 = 12-11 = 1,\ d_2 = 12-12 = 0,\ L_{\text{mo}}=290$
    $\displaystyle M_o = 290+\frac{d_1}{d_1 + d_2},10 = 300\text{ s}$

• Medidas de dispersión

  • Varianza poblacional (agrupada):
    $\displaystyle \sigma^2=\frac{1}{n}\sum f_i(x_i-\bar x)^2\approx412.58\ (\text{s}^2)$

  • Desviación estándar:
    $\displaystyle \sigma\approx\sqrt{412.58}=20.31\text{ s}$

  • Coeficiente de variación:
    $\displaystyle CV=\frac{\sigma}{\bar x}\times100$

• Medidas de posición

  • Cuartil 1 (25 %): posición $0.25,n = 20$ cae en [280,290):
    $\displaystyle Q_1 = 280+\frac{20 - 10}{11},\times10\approx289.09\text{ s}$

  • Decil 7 (70 %): posición $0.7,n = 56$ cae en [310,320):
    $\displaystyle D_7 = 310+\frac{56 - 45}{12},\times10\approx319.17\text{ s}$

  • Percentil 95 (95 %): posición $0.95,n = 76$ cae en [330,340):
    $\displaystyle P_{95}=330+\frac{76 - 68}{9},\times10\approx338.89\text{ s}$

• Análisis de correlación (Temperatura vs. Tiempo)
  Datos:
  $T,(°C)={15,18,22,25,28,30,32,35,38,40}$
  $t,(s)={260,265,278,285,302,315,330,345,362,380}$

  • Coeficiente de Pearson:
    $\displaystyle r\approx0.983$

  • Coeficiente de Spearman (rangos idénticos):
    $\displaystyle \rho = 1.00$

Respuesta

• Rango: $75$

• Número de clases: $8$, amplitud $10$

• Media: $306.13\text{ s}$

• Mediana: $305.83\text{ s}$

• Moda: $300\text{ s}$

• Varianza: $412.58\ \text{s}^2$, Desviación: $20.31\text{ s}$, CV: $6.64$

• $Q_1 = 289.09\text{ s}$, $D_7 = 319.17\text{ s}$, $P_{95}=338.89\text{ s}$

• Correlación de Pearson: $r = 0.983$

• Correlación de Spearman: $\rho = 1.00$

• Conclusión: existe una relación lineal positiva muy fuerte entre la temperatura ambiente y el tiempo de respuesta en intercepción radar.

Análisis
Tenemos una muestra aleatoria de tamaño $n = 20$ de la cantidad de quejas mensuales por aeropuerto. Se quiere probar, con nivel de significancia $α = 0.05$, si la media poblacional de quejas es menor de 15. Como no conocemos la desviación estándar poblacional y «n» es pequeño, utilizaremos una prueba de hipótesis de la media basada en la distribución t de Student, siempre que la población de quejas sea aproximadamente normal.

Solución

a. Suposición requerida

Antes de aplicar la prueba de hipótesis con la $t$ de Student, se asume que la población de la cual procede la muestra sigue una distribución normal.

b. Distribución de frecuencias y normalidad

• Construimos la tabla de frecuencias de los datos:

  Valor de quejas | Frecuencia
  –––––––––––––– | –––––––––
  10 | 1
  12 | 4
  13 | 5
  14 | 5
  15 | 3
  16 | 2

• Observación del patrón

  • La distribución es aproximadamente simétrica alrededor de 13–14.

  • No hay colas muy alargadas ni asimetrías fuertes.
    => Es razonable suponer normalidad para este conjunto de datos.

c. Prueba de hipótesis

Paso 1. Planteo de hipótesis
– Hipótesis nula: $H₀: μ = 15$
– Hipótesis alternativa (unilateral izquierda): $H₁: μ < 15$

Paso 2. Estadístico de prueba
– Estadístico $t$:
<<|
t = \frac{\overline x ;-; μ₀}{s/\sqrt{n}}
|>><br>
donde
• $\overline x$ = media muestral
• $s$ = desviación estándar muestral (con $ddof = 1$)
• $μ₀$ = valor bajo $H₀$

Cálculos intermedios
– Media muestral:
<<|
\overline x = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} x_i = 13.5
|>><br>
– Desviación estándar muestral:
<<|
s = 1.5044
|>><br>
– Estadístico:
<<|
t = \frac{13.5 - 15}{1.5044 / \sqrt{20}}
= \frac{-1.5}{0.3366}
\approx -4.456
|>>

Paso 3. Región crítica o p-valor
– Grados de libertad: $df = n - 1 = 19$
– Para $α = 0.05$ y prueba unilateral izquierda,
el valor crítico es $t_{0.05,19} \approx -1.729$.
– Como $t_{\text{obs}} = -4.456$> $-1.729$, queda en la región de rechazo.
– O bien calculamos el p-valor:
$p\text{-valor} = P(T_{19} < -4.456) < 0.001$

Paso 4. Decisión
– Rechazamos $H₀$ al nivel $α = 0.05$.

Paso 5. Conclusión
– Hay evidencia estadística suficiente para concluir que la media poblacional de quejas por aeropuerto es menor de 15 al mes.

Respuesta final

La prueba t arroja $t = -4.456$ con $df = 19$ y $p\text{-valor} < 0.001$.
Por lo tanto, al nivel de significancia $0.05$, se concluye que la media de quejas por aeropuerto es menor de 15 al mes.

Análisis
Se trata de un contraste de medias pareadas (diferencias 1992–1991). Calcularemos las diferencias para cada empresa, luego la media y desviación típica de esas diferencias, y realizaremos un test t de una muestra (n = 9) para comprobar si el cambio medio es distinto de cero al nivel de significación 0.02 (prueba bilateral).

Solución

• Cálculo de las diferencias
  Para cada empresa $i$$d_i = ingreso_{i,1992} - ingreso_{i,1991}$
  d = [1.10, 0.24, 0.95, –0.44, –0.36, –0.41, 0.54, –1.06, –2.25]

• Media de las diferencias
  $\bar d = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} d_i = -0.1878$

• Desviación estándar muestral de las diferencias
  $s_d = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(d_i - \bar d)^2} = 1.0501$

• Error estándar de la media de las diferencias
  $s_{\bar d} = \frac{s_d}{\sqrt{n}} = \frac{1.0501}{\sqrt{9}} = 0.3500$

• Estadístico de prueba t
  $t = \frac{\bar d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{-0.1878}{0.3500} = -0.5365$

• Valor crítico para prueba bilateral con (\nu = n-1 = 8) y (\alpha = 0.02)
  $t_{0.01,8} = 2.896$

• Decisión
  |t| = 0.5365 < 2.896 ⇒ no se rechaza H₀.

Respuesta

a. Cambio medio de ingresos por acción:
$\bar d = -0.1878$<br>

b. Desviación estándar del cambio:
$s_d = 1.0501$<br>
Desviación estándar del error de la media:
$s_{\bar d} = 0.3500$

c. Estadístico t = $-0.5365$, valor crítico bilateral = $\pm 2.896$.
Al nivel de significación 0.02 no se rechaza H₀ ⇒ no hay evidencia de diferencia significativa entre los ingresos medios de 1991 y 1992.

Análisis
Se trata de un problema de estadística descriptiva con distribución de frecuencias agrupadas.

• Calcularemos la frecuencia acumulada para ubicar percentiles y cuartiles.

• Identificaremos la moda como el intervalo de mayor frecuencia.

Solución

• Cálculo del tamaño total de la muestra
  $N = 25 + 67 + 28 + 15 + 65 = 200$

• Frecuencias acumuladas por columna

  • Marrón: $F_{ac}=25$

  • Amarillo: $F_{ac}=25 + 67=92$

  • Azul: $F_{ac}=92 + 28=120$

  • Rojo: $F_{ac}=120 + 15=135$

  • Verde: $F_{ac}=135 + 65=200$

• Segundo cuartil (Q2 o mediana)

  • Posición teórica: $0.5\times N = 100$

  • La observación 100 queda en la columna cuya acumulada llega hasta 120 ⇒ Azul.

• Moda

  • Máxima frecuencia absoluta: 67 (columna Amarillo) ⇒ Amarillo.

• Percentil 10

  • Posición: $0.1\times N = 20$

  • La observación 20 está dentro de la acumulada de 25 ⇒ Marrón.

• 25% de los datos más pequeños

  • Corresponde a las primeras $0.25\times N = 50$ observaciones.

  • La 50ª observación está dentro de la acumulada de 92 ⇒ Amarillo.

• 30% de los datos más grandes

  • Son las últimas $0.3\times N = 60$ observaciones ⇒ posiciones 141 a 200.

  • La acumulada que cubre hasta 200 desde 135 es la columna Verde ⇒ Verde.

Respuesta

• El segundo cuartil se encuentra en la columna azul.

• La moda corresponde a la columna amarillo.

• El percentil 10 está en la columna marrón.

• El 25% de los datos más pequeños se encuentra en la columna amarillo.

• El 30% de los datos más grandes se encuentra en la columna verde.