Solucionador de Matemáticas

[Problem]
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[Analysis]
Se trata de un trapecio rectángulo con dos ángulos rectos en A y B. Conocemos dos lados (AB y AD) y la relación trigonométrica 15·csc α=17, donde α es el ángulo en D. El objetivo es hallar el perímetro ABCD y luego multiplicarlo por el costo unitario de la cerca.

[Solution]
Paso 1: Hallar csc α, sin α y cos α
$\csc\alpha = \frac{17}{15}$
$\sin\alpha = \frac{1}{\csc\alpha} = \frac{15}{17}$
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \frac{8}{17}$

Paso 2: Calcular la longitud DC usando la componente vertical
La diferencia vertical entre C y D es 30 m, luego
$DC ,\sin\alpha = 30 \quad\Longrightarrow\quad DC = 30,\csc\alpha = 30\cdot\frac{17}{15} = 34$

Paso 3: Calcular la componente horizontal de DC
$\Delta x = DC\cos\alpha = 34\cdot\frac{8}{17} = 16$

Paso 4: Determinar BC a partir de la proyección horizontal total
Como AD mide 56 m y BC+Δx=56, se tiene
$BC = 56 - 16 = 40$

Paso 5: Hallar el perímetro ABCD
$P = AB + BC + CD + DA = 30 + 40 + 34 + 56 = 160 ,\text{m}$

Paso 6: Calcular el costo de la cerca
Costo unitario = 15 soles por metro, entonces
$\text{Costo} = 160 \times 15 = 2400 ,\text{soles}$

[Answer]
La cantidad que pagará el agricultor es $2400 \text{ soles}$.

[Problem]
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[Analysis]
Es un paralelogramo con lados representados por los vectores $\vec A$ y $\vec B$. El punto $M$ es el punto medio de la diagonal que une el vértice inferior izquierdo con el vértice superior derecho. Hay que expresar el vector $\vec x$ que va de $M$ al vértice superior derecho en función de $\vec A$ y $\vec B$.

[Solution]

• Definimos el vértice inferior izquierdo como $O$ y el vértice superior derecho como $R$.

• Entonces
  $\overrightarrow{OR} = \vec A + \vec B$
  porque al ir desde $O$ subimos con $\vec A$ y luego vamos con $\vec B$.

• Como $M$ es punto medio de $OR$,
  $\overrightarrow{OM} = \tfrac12,\overrightarrow{OR} = \tfrac12(\vec A + \vec B)$.

• El vector buscado es
  $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OM}$
  $\overrightarrow{x} = (\vec A + \vec B) - \tfrac12(\vec A + \vec B) = \tfrac12(\vec A + \vec B)$.

[Answer]
$\vec x = \tfrac12\bigl(\vec A + \vec B\bigr)$

[Problem]
El rectángulo N tiene un área de 5 unidades cuadradas. James dibujó una versión a escala del rectángulo N y lo etiquetó como rectángulo P.
¿Qué factor de escala usó James para ir del rectángulo N al rectángulo P?

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[Analysis]
Este es un problema de escala en el que conocemos el área del rectángulo original N y podemos medir el área del rectángulo P sobre la cuadrícula. Si el factor de escala lineal es $k$, entonces
$k^2 = \frac{\text{área de }P}{\text{área de }N}$.

[Solution]

• Medir las dimensiones de P en la cuadrícula:

  • Largo = 5 unidades

  • Ancho = 4 unidades

• Calcular el área de P:
  $A_P = 5 \times 4 = 20$

• Área de N:
  $A_N = 5$

• Relación de áreas y factor de escala:
  $k^2 = \frac{A_P}{A_N} = \frac{20}{5} = 4$

• Despejar $k$:
  $k = \sqrt{4} = 2$

[Answer]
El factor de escala es $2$.

[Problem]
9x² – 6xy + y²

[Analysis]
Se trata de factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Reconoceremos la forma general $a^2 - 2ab + b^2$ y la aplicaremos al caso dado.

[Solution]
Paso 1 Identificar que $9x^2$ puede escribirse como $(3x)^2$
Resultado $(3x)^2$

Paso 2 Identificar que $y^2$ ya está en forma de $b^2$
Resultado $y^2$

Paso 3 Verificar que el término medio $-6xy$ coincide con $-2·(3x)·y$
Resultado $-2·(3x)·y = -6xy$

Paso 4 Reconocer la forma de trinomio cuadrado perfecto
Operación usar la fórmula $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
Resultado $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Paso 5 Sustituir $a = 3x$ y $b = y$ en la fórmula
Resultado $(3x - y)^2$

[Answer]
La factorización es $9x^2 - 6xy + y^2 = (3x - y)^2$.