Solucionador de Matemáticas

[Problem]
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[Analysis]
Es un paralelogramo con lados representados por los vectores $\vec A$ y $\vec B$. El punto $M$ es el punto medio de la diagonal que une el vértice inferior izquierdo con el vértice superior derecho. Hay que expresar el vector $\vec x$ que va de $M$ al vértice superior derecho en función de $\vec A$ y $\vec B$.

[Solution]

1. Definimos el vértice inferior izquierdo como $O$ y el vértice superior derecho como $R$.
2. Entonces
   $\overrightarrow{OR} = \vec A + \vec B$
   porque al ir desde $O$ subimos con $\vec A$ y luego vamos con $\vec B$.
3. Como $M$ es punto medio de $OR$,
   $\overrightarrow{OM} = \tfrac12\,\overrightarrow{OR} = \tfrac12(\vec A + \vec B)$.
4. El vector buscado es
   $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OM}$
   $\overrightarrow{x} = (\vec A + \vec B) - \tfrac12(\vec A + \vec B) = \tfrac12(\vec A + \vec B)$.

[Answer]
$\vec x = \tfrac12\bigl(\vec A + \vec B\bigr)$

[Problem]
El rectángulo N tiene un área de 5 unidades cuadradas. James dibujó una versión a escala del rectángulo N y lo etiquetó como rectángulo P.
¿Qué factor de escala usó James para ir del rectángulo N al rectángulo P?

[Image]
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[Analysis]
Este es un problema de escala en el que conocemos el área del rectángulo original N y podemos medir el área del rectángulo P sobre la cuadrícula. Si el factor de escala lineal es $k$, entonces
$k^2 = \frac{\text{área de }P}{\text{área de }N}$.

[Solution]

1. Medir las dimensiones de P en la cuadrícula:

   • Largo = 5 unidades
   • Ancho = 4 unidades
2. Calcular el área de P:
   $A_P = 5 \times 4 = 20$
3. Área de N:
   $A_N = 5$
4. Relación de áreas y factor de escala:
   $k^2 = \frac{A_P}{A_N} = \frac{20}{5} = 4$
5. Despejar $k$:
   $k = \sqrt{4} = 2$

[Answer]
El factor de escala es $2$.

[Problem]
9x² – 6xy + y²

[Analysis]
Se trata de factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Reconoceremos la forma general $a^2 - 2ab + b^2$ y la aplicaremos al caso dado.

[Solution]
Paso 1 Identificar que $9x^2$ puede escribirse como $(3x)^2$
Resultado $(3x)^2$

Paso 2 Identificar que $y^2$ ya está en forma de $b^2$
Resultado $y^2$

Paso 3 Verificar que el término medio $-6xy$ coincide con $-2·(3x)·y$
Resultado $-2·(3x)·y = -6xy$

Paso 4 Reconocer la forma de trinomio cuadrado perfecto
Operación usar la fórmula $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
Resultado $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Paso 5 Sustituir $a = 3x$ y $b = y$ en la fórmula
Resultado $(3x - y)^2$

[Answer]
La factorización es $9x^2 - 6xy + y^2 = (3x - y)^2$.