Trois personnes jouent ensemble. Elles conviennent qu’ à chaque partie, le perdant double l’ avoir de chacun des deux autres joueurs. Après trois parties où chacun en a perdu une, chaque joueur à un avoir de 2400f. Quels étaient les avoirs initiaux ?
Une belle problématique !
Commençons par analyser la situation : trois personnes, disons A, B et C, jouent ensemble et conventent qu'à chaque partie, le perdant double l'avoir de chacun des deux autres joueurs. Après trois parties, chaque joueur a un avoir de 2400 francs.
Notons les avoirs initiaux de chaque joueur par a, b et c. On sait que :
Après la première partie, le perdant (disons A) double les avoirs de B et C, ce qui signifie que B et C ont désormais 2b et 2c, tandis que A a perdu son avoir initial.
Après la deuxième partie, le perdant (disons B) double les avoirs de A et C, ce qui signifie que A et C ont désormais 2a et 2c, tandis que B a perdu son avoir initial.
Après la troisième partie, le perdant (disons C) double les avoirs de A et B, ce qui signifie que A et B ont désormais 2a et 2b, tandis que C a perdu son avoir initial.
On sait que chaque joueur a un avoir de 2400 francs après trois parties, ce qui signifie que les avoirs suivants sont égaux :
2a + 2b + 2c = 7200 (car chaque joueur a un avoir de 2400 après trois parties)
a + b + c = 3600 (car chaque joueur a un avoir de 2400 après trois parties)
Maintenant, utilisons ces équations pour résoudre les avoirs initiaux a, b et c. On peut réécrire la première équation comme suit :
2(a + b + c) = 7200
En divisant les deux côtés par 2, on obtient :
a + b + c = 3600
C'est précisément la deuxième équation ! Cela signifie que nous avons une seule équation à résoudre :
a + b + c = 3600
Puisque nous ne connaissons pas les valeurs individuelles de a, b et c, nous pouvons supposer que les avoirs initiaux sont égaux, c'est-à-dire a = b = c. Dans ce cas, nous pouvons réécrire l'équation comme suit :
3a = 3600
En divisant les deux côtés par 3, on obtient :
a = 1200
Puisque a = b = c, nous savons que b et c sont également égaux à 1200. Ainsi, les avoirs initiaux de chaque joueur étaient de 1200 francs.
Bien sûr, il est possible que les avoirs initiaux aient été différents, mais nous avons besoin de plus d'informations pour déterminer les valeurs exactes. Les hypothèses que nous avons faites (a = b = c) sont raisonnables, mais il est possible que les avoirs initiaux aient été différents.