数学求解器

[Problem]
$\int \tan x \,dx$

[Analysis]
本题是一个基本的不定积分问题。利用三角函数恒等变换将$\tan x$表示为$\frac{\sin x}{\cos x}$，再通过令$u=\cos x$进行凑微分的换元积分。

[Solution]

1. 将$\tan x$改写为$\frac{\sin x}{\cos x}$
   $\int \tan x \,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx$

2. 令$u=\cos x$，则$du=-\sin x\,dx$，即$-\!du=\sin x\,dx$

3. 将积分变量替换为$u$
   $\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int \frac{-du}{u}=-\int \frac{du}{u}$

4. 对$u$积分
   $-\int \frac{du}{u}=-\ln|u|+C$

5. 回代$u=\cos x$
   $-\ln|\cos x|+C$

[Answer]
$-\ln|\cos x|+C$

[Problem]
汽車運送一批物資，一次載重量為a噸的卡車4輛，載重量為b噸的卡車3輛；第二次再搭載這兩種卡車各2輛，並新增載重量為a噸的卡車1輛，兩次恰好運完。
（1）這批物資共有多少噸？
（2）第二次比第一次多運多少噸？

[Analysis]
本題屬於一次函數應用題，設第一次和第二次各自運輸量的代數式，然後求總和及兩次運輸量之差。

[Solution]
步驟1　第一次運輸量
第一次運輸量 = $4a + 3b$

步驟2　第二次運輸量
第二次運輸量 = 第一次的4輛a噸卡車 + 再加2輛a噸卡車 + 新增1輛a噸卡車 + 第一次的3輛b噸卡車 + 再加2輛b噸卡車
＝ $4a + 2a + a + 3b + 2b$
合併同類項得 $7a + 5b$

步驟3　求總運輸量
總運輸量 = 第一次運輸量 + 第二次運輸量
＝ $4a + 3b + 7a + 5b$
合併同類項得 $11a + 8b$

步驟4　求第二次比第一次多運量
多運量 = 第二次運輸量 − 第一次運輸量
＝ $7a + 5b - 4a − 3b$
化簡得 $3a + 2b$

[Answer]
(1) 這批物資共有 $11a + 8b$ 噸。
(2) 第二次比第一次多運 $3a + 2b$ 噸。

[Problem]
-7.2-2.6+15.6-10.2-6+4.3

[Analysis]
这是一个带小数的加减混合运算题。可按从左到右依次计算，也可先将正数和负数分别求和再相减，二者结果相同。

[Solution]

1. 计算前两项：
   $-7.2 - 2.6$ = $-9.8$
2. 加上15.6：
   $-9.8 + 15.6$ = $5.8$
3. 减去10.2：
   $5.8 - 10.2$ = $-4.4$
4. 再减去6：
   $-4.4 - 6$ = $-10.4$
5. 最后加上4.3：
   $-10.4 + 4.3$ = $-6.1$

[Answer]
该算式的结果是 $-6.1$。