数学求解器

[Problem]
$\int \tan x ,dx$

[Analysis]
本题是一个基本的不定积分问题。利用三角函数恒等变换将$\tan x$表示为$\frac{\sin x}{\cos x}$，再通过令$u=\cos x$进行凑微分的换元积分。

[Solution]

• 将$\tan x$改写为$\frac{\sin x}{\cos x}$
  $\int \tan x ,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x},dx$

• 令$u=\cos x$，则$du=-\sin x,dx$，即$-!du=\sin x,dx$

• 将积分变量替换为$u$
  $\int \frac{\sin x}{\cos x},dx=\int \frac{-du}{u}=-\int \frac{du}{u}$

• 对$u$积分
  $-\int \frac{du}{u}=-\ln|u|+C$

• 回代$u=\cos x$
  $-\ln|\cos x|+C$

[Answer]
$-\ln|\cos x|+C$

[Problem]
有下列數列排列：123234345456567678…，請問從第一項加到第33項總和是多少？

[Analysis]
這是一個由重疊三項組成的數列，每三項構成一個區間，第 k 區間為〈k, k+1, k+2〉。要計算前 33 項的和，可將其分成11個三項區間，再對各區間求和。

[Solution]
步驟 1 定義第 n 項為 aₙ，並將前 33 項分為 11 個三項區間：
第 k 區間（k=1,2,…,11）有
a_{3k-2}=k,
a_{3k-1}=k+1,
a_{3k}=k+2.

步驟 2 前 33 項和 S 可寫為
$S = \sum_{n = 1}^{33}a_n = \sum_{k = 1}^{11}\bigl(a_{3k - 2}+a_{3k - 1}+a_{3k}\bigr)$
由於 a_{3k-2}+a_{3k-1}+a_{3k}=k+(k+1)+(k+2)=3k+3，
得
$S = \sum_{k = 1}^{11}(3k + 3)$

步驟 3 拆分求和
$S = \sum_{k = 1}^{11}3k + \sum_{k = 1}^{11}3$

步驟 4 計算各部分
$\sum_{k = 1}^{11}3k = 3\sum_{k = 1}^{11}k = 3\times\frac{11\times12}{2} = 3\times66 = 198$
$\sum_{k = 1}^{11}3 = 3\times11 = 33$

步驟 5 合併結果
$S = 198 + 33 = 231$

[Answer]
從第一項加到第33項的總和為 $231$。

[Problem]
汽車運送一批物資，一次載重量為a噸的卡車4輛，載重量為b噸的卡車3輛；第二次再搭載這兩種卡車各2輛，並新增載重量為a噸的卡車1輛，兩次恰好運完。
（1）這批物資共有多少噸？
（2）第二次比第一次多運多少噸？

[Analysis]
本題屬於一次函數應用題，設第一次和第二次各自運輸量的代數式，然後求總和及兩次運輸量之差。

[Solution]
步驟1　第一次運輸量
第一次運輸量 = $4a + 3b$

步驟2　第二次運輸量
第二次運輸量 = 第一次的4輛a噸卡車 + 再加2輛a噸卡車 + 新增1輛a噸卡車 + 第一次的3輛b噸卡車 + 再加2輛b噸卡車
＝ $4a + 2a + a + 3b + 2b$
合併同類項得 $7a + 5b$

步驟3　求總運輸量
總運輸量 = 第一次運輸量 + 第二次運輸量
＝ $4a + 3b + 7a + 5b$
合併同類項得 $11a + 8b$

步驟4　求第二次比第一次多運量
多運量 = 第二次運輸量 − 第一次運輸量
＝ $7a + 5b - 4a − 3b$
化簡得 $3a + 2b$

[Answer]
(1) 這批物資共有 $11a + 8b$ 噸。
(2) 第二次比第一次多運 $3a + 2b$ 噸。

[Problem]
-7.2-2.6+15.6-10.2-6+4.3

[Analysis]
这是一个带小数的加减混合运算题。可按从左到右依次计算，也可先将正数和负数分别求和再相减，二者结果相同。

[Solution]

• 计算前两项：
  $-7.2 - 2.6$ = $-9.8$

• 加上15.6：
  $-9.8 + 15.6$ = $5.8$

• 减去10.2：
  $5.8 - 10.2$ = $-4.4$

• 再减去6：
  $-4.4 - 6$ = $-10.4$

• 最后加上4.3：
  $-10.4 + 4.3$ = $-6.1$

[Answer]
该算式的结果是 $-6.1$。