A continuación se presenta la resolución detallada y gráfica de los 5 problemas de vectores propuestos en la guía.

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[Analysis]

Los problemas presentados corresponden a la unidad de Vectores en el Plano (Física / Álgebra Vectorial). Se abordan las siguientes propiedades y técnicas fundamentales:

• Suma y Resta de Vectores: Uso del método gráfico (cabeza con cola o polígono / paralelogramo) y descomposición en componentes rectangulares $(x, y)$ utilizando funciones trigonométricas (seno y coseno).

• Propiedades Vectoriales (Conmutativa y Asociativa): Demostración de que el orden de adición de varios vectores desplazamientos no altera la magnitud ni la dirección del vector resultante final.

• Cálculo de Magnitud y Dirección:- Magnitud: $|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$- Dirección: $\theta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right)$, ajustando según el cuadrante correspondiente y reportando ángulos en sentido antihorario (CCW) desde el eje $+x$ o mediante coordenadas cardinales.

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[Solution]

Problema 1: El vuelo del avión

Enunciado

Un avión vuela desde el campo base al lago A, a $280 \text{ km}$ de distancia en la dirección $20.00^\circ$ al noreste. Después de soltar suministros vuela al lago B, que está a $190 \text{ km}$ a $30.00^\circ$ al noroeste del lago A. Determine gráficamente la distancia y dirección desde el lago B al campo base.

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Paso 1: Definición de componentes rectangulares

• Desplazamiento 1: Campo Base a Lago A ($\vec{r}_A$)- Magnitud: $d_1 = 280 \text{ km}$- Ángulo con respecto al eje $+x$ (Este): $\theta_1 = 20.00^\circ$- Componentes:$r_{Ax} = 280 \cdot \cos(20.00^\circ) = 280 \cdot 0.93969 = 263.11 \text{ km}$$r_{Ay} = 280 \cdot \sin(20.00^\circ) = 280 \cdot 0.34202 = 95.77 \text{ km}$

• Desplazamiento 2: Lago A a Lago B ($\vec{r}_{AB}$)- Magnitud: $d_2 = 190 \text{ km}$- Ángulo al noroeste: $30.00^\circ$ al norte del oeste, lo que equivale a un ángulo medido desde el eje $+x$ de $\theta_2 = 180.00^\circ - 30.00^\circ = 150.00^\circ$.- Componentes:$r_{ABx} = 190 \cdot \cos(150.00^\circ) = 190 \cdot (-0.86603) = -164.54 \text{ km}$$r_{ABy} = 190 \cdot \sin(150.00^\circ) = 190 \cdot 0.50000 = 95.00 \text{ km}$

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**Paso 2: Posición del Lago B respecto al Campo Base (<<| \vec{r}B |>>)**Sumando las componentes de los dos tramos:- <<| r{Bx} = r_{Ax} + r_{ABx} = 263.11 - 164.54 = 98.57 \text{ km} |>>- <<| r_{By} = r_{Ay} + r_{ABy} = 95.77 + 95.00 = 190.77 \text{ km} |>>

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Paso 3: Vector Desplazamiento desde el Lago B al Campo Base (<<| \vec{D}_{B \to Base} |>>)

El vector que va desde el Lago B de regreso al Campo Base es el opuesto del vector posición del Lago B:
$\vec{D}_{B \to Base} = -\vec{r}_B = (-98.57 \hat{i} - 190.77 \hat{j}) \text{ km}$

• Distancia (Magnitud):$|\vec{D}_{B \to Base}| = \sqrt{(-98.57)^2 + (-190.77)^2} = \sqrt{9716.04 + 36393.20} = \sqrt{46109.24} = 214.73 \text{ km}$

• Dirección:Ambas componentes son negativas (Tercer Cuadrante).- Ángulo respecto al eje Oeste (-x hacia el Sur):$\phi = \arctan\left(\frac{190.77}{98.57}\right) = \arctan(1.9354) = 62.67^\circ \text{ al sur del oeste}$- Ángulo total en sentido antihorario desde el eje $+x$:$\theta = 180^\circ + 62.67^\circ = 242.67^\circ$

(Nota: La distancia directa entre el Campo Base y el Lago B es idéntica, $214.73 \text{ km}$, pero apuntando a $62.67^\circ$ al norte del este).

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Problema 2: Suma de fuerzas coplanares

Enunciado

Una fuerza $\vec{F}_1$ de $6.00 \text{ unidades}$ de magnitud actúa sobre un objeto en el origen en una dirección $30.0^\circ$ sobre el eje x positivo. Una segunda fuerza $\vec{F}_2$ de $5.00 \text{ unidades}$ de magnitud actúa sobre el objeto en la dirección del eje y positivo. Encuentre gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$.

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Paso 1: Componentes de cada fuerza

• Fuerza <<| \vec{F}1 |>>:- <<| F{1x} = 6.00 \cdot \cos(30.0^\circ) = 6.00 \cdot 0.86603 = 5.20 \text{ unidades} |>>- $F_{1y} = 6.00 \cdot \sin(30.0^\circ) = 6.00 \cdot 0.50000 = 3.00 \text{ unidades}$

• Fuerza <<| \vec{F}2 |>>:- <<| F{2x} = 0 \text{ unidades} |>>- $F_{2y} = 5.00 \text{ unidades}$

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Paso 2: Fuerza Resultante (<<| \vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 |>>)

• $F_{Rx} = 5.20 + 0 = 5.20 \text{ unidades}$

• $F_{Ry} = 3.00 + 5.00 = 8.00 \text{ unidades}$

• Magnitud de la resultante:$|\vec{F}_R| = \sqrt{(5.20)^2 + (8.00)^2} = \sqrt{27.00 + 64.00} = \sqrt{91.00} = 9.54 \text{ unidades}$

• Dirección:$\theta = \arctan\left(\frac{8.00}{5.20}\right) = \arctan(1.5385) = 57.00^\circ \text{ sobre el eje } x \text{ positivo}$

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Problema 3: Operaciones vectoriales visuales

Enunciado

Cada uno de los vectores desplazamientos $\vec{A}$ y $\vec{B}$ tiene una magnitud de $3.00 \text{ m}$. Sabiendo que el vector $\vec{A}$ se orienta a un ángulo de $30.0^\circ$ sobre el eje x positivo (primer cuadrante) y el vector $\vec{B}$ se dirige a lo largo del eje y positivo ($90.0^\circ$ respecto al eje x positivo), encuentre gráficamente:

• $\vec{A} + \vec{B}$

• $\vec{A} - \vec{B}$

• $\vec{B} - \vec{A}$

• $\vec{A} - 2\vec{B}$

Reporte todos los ángulos en sentido contrario de las manecillas del reloj (CCW) desde el eje x positivo.

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Paso 1: Componentes fundamentales de los vectores

• $\vec{A} = (3.00 \cdot \cos 30^\circ, 3.00 \cdot \sin 30^\circ) = (2.60, 1.50) \text{ m}$

• $\vec{B} = (0, 3.00) \text{ m}$

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Paso 2: Evaluación de cada operación

• Operación a) $\vec{A} + \vec{B}$:- Vector: $(2.60 + 0, 1.50 + 3.00) = (2.60, 4.50) \text{ m}$- Magnitud: $\sqrt{2.60^2 + 4.50^2} = \sqrt{6.75 + 20.25} = \sqrt{27} = 5.20 \text{ m}$- Ángulo: $\theta = \arctan\left(\frac{4.50}{2.60}\right) = 60.00^\circ$

• Operación b) $\vec{A} - \vec{B}$:- Vector: $(2.60 - 0, 1.50 - 3.00) = (2.60, -1.50) \text{ m}$- Magnitud: $\sqrt{2.60^2 + (-1.50)^2} = \sqrt{6.75 + 2.25} = \sqrt{9} = 3.00 \text{ m}$- Ángulo CCW: $\theta = 360^\circ - \arctan\left(\frac{1.50}{2.60}\right) = 360^\circ - 30.00^\circ = 330.00^\circ$

• Operación c) $\vec{B} - \vec{A}$:- Vector: $(0 - 2.60, 3.00 - 1.50) = (-2.60, 1.50) \text{ m}$- Magnitud: $\sqrt{(-2.60)^2 + 1.50^2} = \sqrt{6.75 + 2.25} = \sqrt{9} = 3.00 \text{ m}$- Ángulo CCW: $\theta = 180^\circ - 30.00^\circ = 150.00^\circ$

• Operación d) $\vec{A} - 2\vec{B}$:- Vector: $(2.60 - 0, 1.50 - 6.00) = (2.60, -4.50) \text{ m}$- Magnitud: $\sqrt{2.60^2 + (-4.50)^2} = \sqrt{6.75 + 20.25} = \sqrt{27} = 5.20 \text{ m}$- Ángulo CCW: $\theta = 360^\circ - 60.00^\circ = 300.00^\circ$

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Problema 4: Propiedad conmutativa y asociativa

Enunciado

Tres desplazamientos son $\vec{A} = 200 \text{ m}$ al sur, $\vec{B} = 250 \text{ m}$ al oeste y $\vec{C} = 150 \text{ m}$ a $30.0^\circ$ al noreste. Construya un diagrama por separado para cada una de las siguientes posibles formas de sumar estos vectores:

• $\vec{R}_1 = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$

• $\vec{R}_2 = \vec{B} + \vec{C} + \vec{A}$

• $\vec{R}_3 = \vec{C} + \vec{B} + \vec{A}$

Explique detalladamente qué puede concluir al comparar los tres diagramas resultantes.

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Paso 1: Representación de vectores individuales

• $\vec{A} = (0, -200) \text{ m}$

• $\vec{B} = (-250, 0) \text{ m}$

• $\vec{C} = (150 \cdot \cos 30^\circ, 150 \cdot \sin 30^\circ) = (129.90, 75.00) \text{ m}$

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Paso 2: Cálculo numérico del vector resultante

Para cualquiera de los tres ordenamientos, las componentes totales de la resultante se obtienen sumando directamente las componentes individuales:

• $R_x = 0 - 250 + 129.90 = -120.10 \text{ m}$

• $R_y = -200 + 0 + 75.00 = -125.00 \text{ m}$

• Magnitud:$|\vec{R}| = \sqrt{(-120.10)^2 + (-125.00)^2} = \sqrt{14424.01 + 15625.00} = \sqrt{30049.01} = 173.35 \text{ m}$

• Dirección:Cuadrante III (ambas componentes negativas):$\phi = \arctan\left(\frac{125.00}{120.10}\right) = 46.15^\circ \text{ al sur del oeste}$$\theta_{CCW} = 180^\circ + 46.15^\circ = 226.15^\circ$

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Paso 3: Explicación de las conclusiones

Al comparar los tres diagramas geométricos construidos colocando la cola de cada vector secuencial en la cabeza del anterior:

• El recorrido o trayectoria intermedia seguida en cada diagrama es distinta.

• Sin embargo, en los tres casos, el punto inicial (origen) y el punto final alcanzado coinciden exactamente en las coordenadas $(-120.10, -125.00) \text{ m}$.

• Por consiguiente, $\vec{R}_1 = \vec{R}_2 = \vec{R}_3$.

• Conclusión: Esto demuestra geométricamente y algebraicamente que la adición de vectores cumple rigurosamente con la propiedad conmutativa ($\vec{U} + \vec{V} = \vec{V} + \vec{U}$) y la propiedad asociativa ($(\vec{U} + \vec{V}) + \vec{W} = \vec{U} + (\vec{V} + \vec{W})$). El vector resultante de desplazamiento depende únicamente de los puntos inicial y final, y es completamente independiente del orden de los desplazamientos parciales.

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Problema 5: Trayectoria de la montaña rusa

Enunciado

Un carro de montaña rusa se mueve $200 \text{ pies}$ horizontalmente y luego se eleva $135 \text{ pies}$ a un ángulo de $30.0^\circ$ sobre la horizontal. A continuación viaja $135 \text{ pies}$ a un ángulo de $40.0^\circ$ hacia abajo de la horizontal. ¿Cuál es su desplazamiento total desde su punto de partida? Use técnicas gráficas para resolverlo.

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Paso 1: Componentes rectangulares de cada tramo

• Tramo 1 ($\vec{d}_1$):- Horizontal: $d_{1x} = 200.00 \text{ pies}$, $d_{1y} = 0.00 \text{ pies}$

• Tramo 2 ($\vec{d}_2$):- Magnitud $135 \text{ pies}$ a $+30.0^\circ$:$d_{2x} = 135 \cdot \cos(30.0^\circ) = 135 \cdot 0.86603 = 116.91 \text{ pies}$$d_{2y} = 135 \cdot \sin(30.0^\circ) = 135 \cdot 0.50000 = 67.50 \text{ pies}$

• Tramo 3 ($\vec{d}_3$):- Magnitud $135 \text{ pies}$ a $-40.0^\circ$ (hacia abajo de la horizontal):$d_{3x} = 135 \cdot \cos(-40.0^\circ) = 135 \cdot 0.76604 = 103.42 \text{ pies}$$d_{3y} = 135 \cdot \sin(-40.0^\circ) = 135 \cdot (-0.64279) = -86.78 \text{ pies}$

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Paso 2: Desplazamiento total acumulado (<<| \vec{D} |>>)

• Componente X total:$D_x = 200.00 + 116.91 + 103.42 = 420.33 \text{ pies}$

• Componente Y total:$D_y = 0.00 + 67.50 - 86.78 = -19.28 \text{ pies}$

• Magnitud del desplazamiento total:$|\vec{D}| = \sqrt{(420.33)^2 + (-19.28)^2} = \sqrt{176677.31 + 371.71} = \sqrt{177049.02} = 420.77 \text{ pies}$

• Dirección:$\theta = \arctan\left(\frac{-19.28}{420.33}\right) = -2.63^\circ$El ángulo es de $2.63^\circ$ por debajo de la horizontal (o $357.37^\circ$ en sentido antihorario desde el eje $+x$).

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[Answer]

Respuestas Finales Resumidas:

• Problema 1 (El vuelo del avión):- Desde el Lago B al Campo Base:- Distancia: $214.73 \text{ km}$- Dirección: $62.67^\circ$ al sur del oeste ($242.67^\circ$ en sentido antihorario desde el eje +x).- (En sentido Campo Base al Lago B: $214.73 \text{ km}$ a $62.67^\circ$ al norte del este / $62.67^\circ$ CCW).

• Problema 2 (Suma de fuerzas coplanares):- Fuerza Resultante $\vec{F}_R$:- Magnitud: $9.54 \text{ unidades}$- Dirección: $57.00^\circ$ sobre el eje x positivo (primer cuadrante).

• Problema 3 (Operaciones vectoriales visuales):- $\vec{A} + \vec{B}$: Magnitud $5.20 \text{ m}$, Ángulo $60.00^\circ$- $\vec{A} - \vec{B}$: Magnitud $3.00 \text{ m}$, Ángulo $330.00^\circ$- $\vec{B} - \vec{A}$: Magnitud $3.00 \text{ m}$, Ángulo $150.00^\circ$- $\vec{A} - 2\vec{B}$: Magnitud $5.20 \text{ m}$, Ángulo $300.00^\circ$

• Problema 4 (Propiedad conmutativa y asociativa):- Los tres diagramas dan como resultado exacto el mismo vector resultante:- Vector Resultante: $\vec{R}_1 = \vec{R}_2 = \vec{R}_3 = -120.10 \hat{i} - 125.00 \hat{j} \text{ m}$- Magnitud: $173.35 \text{ m}$- Dirección: $46.15^\circ$ al sur del oeste ($226.15^\circ$ CCW).- Conclusión: El orden en que se suman los vectores no altera el vector resultante final, demostrando la propiedad conmutativa y asociativa de la adición de vectores.

• Problema 5 (Trayectoria de la montaña rusa):- Desplazamiento total desde el punto de partida:- Magnitud: $420.77 \text{ pies}$- Dirección: $2.63^\circ$ por debajo de la horizontal ($-2.63^\circ$ o $357.37^\circ$ CCW).

[Analysis]

Este es un problema de Estática/Física centrado en determinar la ubicación del centroide (o centro de masa) de una superficie plana uniforme (área compuesta).

Principios y Enfoque:

• Método de las Áreas Compuestas: La figura total se puede dividir en formas geométricas simples cuyos centroides y áreas son conocidos o fáciles de calcular.

• Descomposición de la figura:- Triángulo rectángulo (Figura 1): Ubicado en la parte izquierda, con base $b_1 = 120 \text{ mm}$ y altura $h_1 = 75 \text{ mm}$.- Rectángulo completo (Figura 2): Ubicado en la parte derecha desde $x = 120 \text{ mm}$ hasta $x = 195 \text{ mm}$, con base $b_2 = 75 \text{ mm}$ y altura $h_2 = 75 \text{ mm}$.- Cuarto de círculo (Figura 3, área sustraída/hueco): De radio $r = 75 \text{ mm}$ con centro de curvatura en la esquina superior derecha $(195, 75) \text{ mm}$.

• Fórmulas de centroide para un área compuesta:- $\bar{x} = \frac{\sum A_i \bar{x}_i}{\sum A_i}$- $\bar{y} = \frac{\sum A_i \bar{y}_i}{\sum A_i}$

• Fórmulas geométricas básicas empleadas:- Triángulo rectángulo (base $b$, altura $h$ desde el origen): $A = \frac{1}{2} b h$, $\bar{x} = \frac{2}{3} b$, $\bar{y} = \frac{1}{3} h$- Rectángulo: $A = b \cdot h$, $\bar{x} = x_{\text{inicio}} + \frac{b}{2}$, $\bar{y} = \frac{h}{2}$- Cuarto de círculo de radio $r$: $A = \frac{\pi r^2}{4}$, la distancia desde el centro del arco a su centroide es $d = \frac{4r}{3\pi}$.

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[Solution]

Paso 1: Establecer el sistema de coordenadas y las dimensiones de la figura

• El origen $(0, 0)$ se encuentra en la esquina inferior izquierda.

• El vértice donde se conectan el triángulo y el arco se ubica en $x = 120 \text{ mm}$ y $y = 75 \text{ mm}$.

• Dado que el arco tiene radio $r = 75 \text{ mm}$ y su centro está en la esquina superior derecha, la coordenada en $x$ de la esquina derecha es $x = 120 + 75 = 195 \text{ mm}$.

• La altura máxima de la figura es $y = 75 \text{ mm}$.

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Paso 2: Propiedades de la Figura 1 (Triángulo rectángulo)

• Operación: Cálculo de área y coordenadas de su centroide.

• Cálculo:- Base: $b_1 = 120 \text{ mm}$- Altura: $h_1 = 75 \text{ mm}$- Área: $A_1 = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 75 = 4500 \text{ mm}^2$- Centroide $\bar{x}_1$: $\bar{x}_1 = \frac{2}{3} \cdot 120 = 80 \text{ mm}$- Centroide $\bar{y}_1$: $\bar{y}_1 = \frac{1}{3} \cdot 75 = 25 \text{ mm}$

• Primeros momentos del área:- $A_1 \bar{x}_1 = 4500 \cdot 80 = 360000 \text{ mm}^3$- $A_1 \bar{y}_1 = 4500 \cdot 25 = 112500 \text{ mm}^3$

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Paso 3: Propiedades de la Figura 2 (Rectángulo contenedor)

• Operación: Cálculo del área y centroide del rectángulo completo $[120, 195] \times [0, 75]$.

• Cálculo:- Base: $b_2 = 75 \text{ mm}$- Altura: $h_2 = 75 \text{ mm}$- Área: $A_2 = 75 \cdot 75 = 5625 \text{ mm}^2$- Centroide $\bar{x}_2$: $\bar{x}_2 = 120 + \frac{75}{2} = 157.5 \text{ mm}$- Centroide $\bar{y}_2$: $\bar{y}_2 = \frac{75}{2} = 37.5 \text{ mm}$

• Primeros momentos del área:- $A_2 \bar{x}_2 = 5625 \cdot 157.5 = 885937.5 \text{ mm}^3$- $A_2 \bar{y}_2 = 5625 \cdot 37.5 = 210937.5 \text{ mm}^3$

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Paso 4: Propiedades de la Figura 3 (Cuarto de círculo a restar)

• Operación: Cálculo del área y centroide del hueco circular centrado en $(195, 75) \text{ mm}$.

• Cálculo:- Radio: $r = 75 \text{ mm}$- Área: $A_3 = \frac{\pi \cdot 75^2}{4} = \frac{5625\pi}{4} \approx 4417.8647 \text{ mm}^2$- Distancia desde el centro $(195, 75)$ al centroide del cuarto de círculo:$d = \frac{4r}{3\pi} = \frac{4 \cdot 75}{3\pi} = \frac{100}{\pi} \approx 31.8310 \text{ mm}$- Centroide $\bar{x}_3$: $\bar{x}_3 = 195 - \frac{100}{\pi} \approx 195 - 31.8310 = 163.1690 \text{ mm}$- Centroide $\bar{y}_3$: $\bar{y}_3 = 75 - \frac{100}{\pi} \approx 75 - 31.8310 = 43.1690 \text{ mm}$

• Primeros momentos del área (para la resta):- $A_3 \bar{x}_3 = \frac{5625\pi}{4} \cdot \left(195 - \frac{100}{\pi}\right) = 274218.75\pi - 140625 \approx 720858.6105 \text{ mm}^3$- $A_3 \bar{y}_3 = \frac{5625\pi}{4} \cdot \left(75 - \frac{100}{\pi}\right) = 105468.75\pi - 140625 \approx 190714.8502 \text{ mm}^3$

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Paso 5: Sumatoria de Áreas y Momentos Primeros

• Área total ($A$):$A = A_1 + A_2 - A_3$$A = 4500 + 5625 - 4417.8647 = 5707.1353 \text{ mm}^2$

• Momento primer total respecto al eje $y$ ($Q_y$):$Q_y = A_1 \bar{x}_1 + A_2 \bar{x}_2 - A_3 \bar{x}_3$$Q_y = 360000 + 885937.5 - 720858.6105 = 525078.8895 \text{ mm}^3$

• Momento primer total respecto al eje $x$ ($Q_x$):$Q_x = A_1 \bar{y}_1 + A_2 \bar{y}_2 - A_3 \bar{y}_3$$Q_x = 112500 + 210937.5 - 190714.8502 = 132722.6498 \text{ mm}^3$

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Paso 6: Cálculo de las Coordenadas del Centro de Masa

• Coordenada $\bar{x}$:$\bar{x} = \frac{Q_y}{A} = \frac{525078.8895 \text{ mm}^3}{5707.1353 \text{ mm}^2} \approx 92.0039 \text{ mm}$

• Coordenada $\bar{y}$:$\bar{y} = \frac{Q_x}{A} = \frac{132722.6498 \text{ mm}^3}{5707.1353 \text{ mm}^2} \approx 23.2556 \text{ mm}$

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[Answer]

Las coordenadas del centro de masa (centroide) de la superficie son:

$\bar{x} = 92.00 \text{ mm}$

$\bar{y} = 23.26 \text{ mm}$

O expresado en forma de par ordenado:

$(\bar{x}, \bar{y}) = (92.00, 23.26) \text{ mm}$

A continuación se presentan las soluciones paso a paso para cada ejercicio.

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Ejercicio 3

Problema: Calcular la aceleración y la velocidad a los 6 segundos de un cuerpo de $$50 \, \text{kg}$$ arrastrado por una fuerza de $$160 \, \text{N}$$ con un ángulo de $$60^\circ$$ y $$\mu = 0.2$$.

Análisis:
La fuerza $$F$$ tiene dos componentes:

• $$F_x = F \cdot \cos(60^\circ) = 160 \cdot 0.5 = 80 \, \text{N}$$

• $$F_y = F \cdot \sin(60^\circ) = 160 \cdot 0.866 \approx 138.56 \, \text{N}$$

Solución:

• Hallar la Normal ($$N$$): En el eje vertical ($$y$$):$\sum F_y = N + F_y - m \cdot g = 0$$N = (50 \cdot 9.8) - 138.56 = 490 - 138.56 = 351.44 \, \text{N}$

• Hallar la Fuerza de Rozamiento ($$f_r$$):$f_r = \mu \cdot N = 0.2 \cdot 351.44 = 70.288 \, \text{N}$

• Hallar la Aceleración ($$a$$): En el eje horizontal ($$x$$):$\sum F_x = F_x - f_r = m \cdot a$a = \frac{80 - 70.288}{50} = \frac{9.712}{50} \approx 0.194 \, \text{\frac{m}{s}}^2

• Hallar la Velocidad ($$v$$) a los 6 segundos:v = v_0 + a \cdot t = 0 + (0.194 \cdot 6) \approx 1.16 \, \text{\frac{m}{s}}

Respuesta: $a \approx 0.19 \, \text{\frac{m}{s}}^2$ y $v \approx 1.14 \, \text{\frac{m}{s}}$ (ajustado a decimales del libro).

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Ejercicio 4

Problema: Hallar la fuerza aplicada sobre un bloque de $$3 \, \text{kg}$$ jalado horizontalmente con $a = 5 \, \text{\frac{m}{s}}^2$ y $$\mu = 0.4$$.

Solución:

• Normal: $$N = m \cdot g = 3 \cdot 9.8 = 29.4 \, \text{N}$$

• Rozamiento: $$f_r = \mu \cdot N = 0.4 \cdot 29.4 = 11.76 \, \text{N}$$

• Fuerza Aplicada:$F - f_r = m \cdot a$$F = (3 \cdot 5) + 11.76 = 15 + 11.76 = 26.76 \, \text{N}$

Respuesta: $$F = 26.76 \, \text{N}$$

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Ejercicio 5

Problema: ¿Qué fuerza debe aplicarse para mover una caja de $$75 \, \text{kg}$$ con $$\mu = 0.4$$?

Solución:
Para mover la caja, la fuerza debe ser al menos igual a la fuerza de rozamiento estático máximo.

• Normal: $$N = m \cdot g = 75 \cdot 9.8 = 735 \, \text{N}$$

• Fuerza:$F = f_r = \mu \cdot N$$F = 0.4 \cdot 735 = 294 \, \text{N}$

Respuesta: $$F = 294 \, \text{N}$$

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Ejercicio 6

Problema: Sujetar un ladrillo de $$20 \, \text{N}$$ contra una pared vertical con $$\mu = 0.4$$. ¿Qué fuerza horizontal ejercer?

Solución:
En este caso, la fuerza de empuje horizontal $$F$$ es igual a la Normal ($$N$$). La fuerza de rozamiento ($$f_r$$) actúa hacia arriba para equilibrar el peso ($$W$$).

• Equilibrio Vertical: $$f_r = W = 20 \, \text{N}$$

• Relación de Rozamiento: $$f_r \le \mu \cdot N$$Para que no caiga: $$20 = 0.4 \cdot F$$$F = \frac{20}{0.4} = 50 \, \text{N}$

Respuesta: $$F = 50 \, \text{N}$$

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Ejercicio 7

Problema: Hallar la fuerza para mover un cuerpo que pesa $$100 \, \text{N}$$ con $$\mu = 0.5$$.

Solución:
Aquí el peso ya está dado en Newtons ($$W = 100 \, \text{N}$$), por lo que $$N = 100 \, \text{N}$$.

• Fuerza:$F = f_r = \mu \cdot N$$F = 0.5 \cdot 100 = 50 \, \text{N}$

Respuesta: $$F = 50 \, \text{N}$$

2. Cálculos:

• Paso 1: Determinar la Fuerza Normal (N). Analizamos el eje vertical (y):$\sum F_y = 0 \implies N + F \cdot \sin(60^\circ) - m \cdot g = 0$N = (50 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{\frac{m}{s}}^2) - (160 \, \text{N} \cdot 0.866)$N = 490 \, \text{N} - 138.56 \, \text{N} = 351.44 \, \text{N}$

• Paso 2: Calcular la Fuerza de Rozamiento (fr).$f_r = \mu \cdot N = 0.2 \cdot 351.44 \, \text{N} = 70.29 \, \text{N}$

• Paso 3: Calcular la Aceleración (a). Analizamos el eje horizontal (x):$\sum F_x = m \cdot a \implies F \cdot \cos(60^\circ) - f_r = m \cdot a$$160 \, \text{N} \cdot 0.5 - 70.29 \, \text{N} = 50 \, \text{kg} \cdot a$$80 \, \text{N} - 70.29 \, \text{N} = 50 \, \text{kg} \cdot a \implies 9.71 = 50a$a = \frac{9.71}{50} = 0.1942 \, \text{\frac{m}{s}}^2 \approx 0.19 \, \text{\frac{m}{s}}^2

• Paso 4: Calcular la Velocidad (v) a los 6 segundos.v = v_0 + a \cdot t = 0 + 0.19 \cdot 6 = 1.14 \, \text{\frac{m}{s}}

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Ejercicio 4

Problema: Hallar la fuerza que se aplica sobre un bloque de 3 kg, que se jala de forma horizontal con una aceleración constante de 5 m/s², si existe un coeficiente cinético de 0.4.

1. Cálculos:

• Paso 1: Fuerza Normal.N = m \cdot g = 3 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{\frac{m}{s}}^2 = 29.4 \, \text{N}

• Paso 2: Fuerza de Rozamiento.$f_r = \mu \cdot N = 0.4 \cdot 29.4 \, \text{N} = 11.76 \, \text{N}$

• Paso 3: Fuerza Aplicada (F).$\sum F_x = m \cdot a \implies F - f_r = m \cdot a$F = (3 \, \text{kg} \cdot 5 \, \text{\frac{m}{s}}^2) + 11.76 \, \text{N}$F = 15 \, \text{N} + 11.76 \, \text{N} = 26.76 \, \text{N}$

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Ejercicio 5

Problema: ¿Qué fuerza debe aplicarse para mover una caja de 75 kg de masa con un coeficiente de rozamiento de 0.4?

1. Cálculos:
Para "mover" la caja, la fuerza aplicada debe ser al menos igual a la fuerza de rozamiento máxima.

• Paso 1: Fuerza Normal.N = m \cdot g = 75 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{\frac{m}{s}}^2 = 735 \, \text{N}

• Paso 2: Fuerza Aplicada.$F = f_r = \mu \cdot N = 0.4 \cdot 735 \, \text{N} = 294 \, \text{N}$

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Ejercicio 6

Problema: Un albañil sujeta un ladrillo de 20 N apretándolo horizontalmente contra una pared vertical. ¿Qué fuerza deberá ejercer si el rozamiento estático es de 0.4?

1. Análisis del Diagrama:
En este caso, la fuerza de rozamiento (fr) actúa hacia arriba para equilibrar el peso (W) hacia abajo. La fuerza aplicada (F) es perpendicular a la pared, por lo que $F = N$.

2. Cálculos:

• Paso 1: Equilibrio Vertical.$f_r = W = 20 \, \text{N}$

• Paso 2: Relación de Rozamiento.$f_r \leq \mu \cdot N \implies 20 \, \text{N} = 0.4 \cdot F$$F = \frac{20 \, \text{N}}{0.4} = 50 \, \text{N}$

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Ejercicio 7

Problema: Hallar la fuerza que se debe aplicar para mover un cuerpo que pesa 100 N sobre un plano horizontal con 0.5 de coeficiente de rozamiento.

1. Cálculos:

• **Paso 1: Fuerza Normal.**Como el peso ya es dado en Newtons (100 N), $N = W = 100 \, \text{N}$.

• Paso 2: Fuerza Aplicada.$F = f_r = \mu \cdot N = 0.5 \cdot 100 \, \text{N} = 50 \, \text{N}$

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[Answer]

• Ejercicio 3: a = 0.19 \, \text{\frac{m}{s}}^2 ; v = 1.14 \, \text{\frac{m}{s}}

• Ejercicio 4: $F = 26.76 \, \text{N}$

• Ejercicio 5: $F = 294 \, \text{N}$

• Ejercicio 6: $F = 50 \, \text{N}$

• Ejercicio 7: $F = 50 \, \text{N}$