A continuación se presenta la resolución detallada y gráfica de los 5 problemas de vectores propuestos en la guía.

[Analysis]

Los problemas presentados corresponden a la unidad de Vectores en el Plano (Física / Álgebra Vectorial). Se abordan las siguientes propiedades y técnicas fundamentales:

1. Suma y Resta de Vectores: Uso del método gráfico (cabeza con cola o polígono / paralelogramo) y descomposición en componentes rectangulares $(x, y)$ utilizando funciones trigonométricas (seno y coseno).
2. Propiedades Vectoriales (Conmutativa y Asociativa): Demostración de que el orden de adición de varios vectores desplazamientos no altera la magnitud ni la dirección del vector resultante final.
3. Cálculo de Magnitud y Dirección:- Magnitud: $|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$- Dirección: $\theta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right)$, ajustando según el cuadrante correspondiente y reportando ángulos en sentido antihorario (CCW) desde el eje $+x$ o mediante coordenadas cardinales.

[Solution]

Problema 1: El vuelo del avión

Enunciado

Un avión vuela desde el campo base al lago A, a $280 \text{ km}$ de distancia en la dirección $20.00^\circ$ al noreste. Después de soltar suministros vuela al lago B, que está a $190 \text{ km}$ a $30.00^\circ$ al noroeste del lago A. Determine gráficamente la distancia y dirección desde el lago B al campo base.

Paso 1: Definición de componentes rectangulares

1. Desplazamiento 1: Campo Base a Lago A ($\vec{r}_A$)- Magnitud: $d_1 = 280 \text{ km}$- Ángulo con respecto al eje $+x$ (Este): $\theta_1 = 20.00^\circ$- Componentes:$r_{Ax} = 280 \cdot \cos(20.00^\circ) = 280 \cdot 0.93969 = 263.11 \text{ km}$$r_{Ay} = 280 \cdot \sin(20.00^\circ) = 280 \cdot 0.34202 = 95.77 \text{ km}$

2. Desplazamiento 2: Lago A a Lago B ($\vec{r}_{AB}$)- Magnitud: $d_2 = 190 \text{ km}$- Ángulo al noroeste: $30.00^\circ$ al norte del oeste, lo que equivale a un ángulo medido desde el eje $+x$ de $\theta_2 = 180.00^\circ - 30.00^\circ = 150.00^\circ$.- Componentes:$r_{ABx} = 190 \cdot \cos(150.00^\circ) = 190 \cdot (-0.86603) = -164.54 \text{ km}$$r_{ABy} = 190 \cdot \sin(150.00^\circ) = 190 \cdot 0.50000 = 95.00 \text{ km}$

**Paso 2: Posición del Lago B respecto al Campo Base (<<| \vec{r}B |>>)**Sumando las componentes de los dos tramos:- <<| r{Bx} = r_{Ax} + r_{ABx} = 263.11 - 164.54 = 98.57 \text{ km} |>>- <<| r_{By} = r_{Ay} + r_{ABy} = 95.77 + 95.00 = 190.77 \text{ km} |>>

Paso 3: Vector Desplazamiento desde el Lago B al Campo Base (<<| \vec{D}_{B \to Base} |>>)

El vector que va desde el Lago B de regreso al Campo Base es el opuesto del vector posición del Lago B:
$\vec{D}_{B \to Base} = -\vec{r}_B = (-98.57 \hat{i} - 190.77 \hat{j}) \text{ km}$

1. Distancia (Magnitud):$|\vec{D}_{B \to Base}| = \sqrt{(-98.57)^2 + (-190.77)^2} = \sqrt{9716.04 + 36393.20} = \sqrt{46109.24} = 214.73 \text{ km}$

2. Dirección:Ambas componentes son negativas (Tercer Cuadrante).- Ángulo respecto al eje Oeste (-x hacia el Sur):$\phi = \arctan\left(\frac{190.77}{98.57}\right) = \arctan(1.9354) = 62.67^\circ \text{ al sur del oeste}$- Ángulo total en sentido antihorario desde el eje $+x$:$\theta = 180^\circ + 62.67^\circ = 242.67^\circ$

(Nota: La distancia directa entre el Campo Base y el Lago B es idéntica, $214.73 \text{ km}$, pero apuntando a $62.67^\circ$ al norte del este).

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Problema 2: Suma de fuerzas coplanares

Enunciado

Una fuerza $\vec{F}_1$ de $6.00 \text{ unidades}$ de magnitud actúa sobre un objeto en el origen en una dirección $30.0^\circ$ sobre el eje x positivo. Una segunda fuerza $\vec{F}_2$ de $5.00 \text{ unidades}$ de magnitud actúa sobre el objeto en la dirección del eje y positivo. Encuentre gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$.

Paso 1: Componentes de cada fuerza

1. Fuerza <<| \vec{F}1 |>>:- <<| F{1x} = 6.00 \cdot \cos(30.0^\circ) = 6.00 \cdot 0.86603 = 5.20 \text{ unidades} |>>- $F_{1y} = 6.00 \cdot \sin(30.0^\circ) = 6.00 \cdot 0.50000 = 3.00 \text{ unidades}$

2. Fuerza <<| \vec{F}2 |>>:- <<| F{2x} = 0 \text{ unidades} |>>- $F_{2y} = 5.00 \text{ unidades}$

Paso 2: Fuerza Resultante (<<| \vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 |>>)

• $F_{Rx} = 5.20 + 0 = 5.20 \text{ unidades}$
• $F_{Ry} = 3.00 + 5.00 = 8.00 \text{ unidades}$

1. Magnitud de la resultante:$|\vec{F}_R| = \sqrt{(5.20)^2 + (8.00)^2} = \sqrt{27.00 + 64.00} = \sqrt{91.00} = 9.54 \text{ unidades}$

2. Dirección:$\theta = \arctan\left(\frac{8.00}{5.20}\right) = \arctan(1.5385) = 57.00^\circ \text{ sobre el eje } x \text{ positivo}$

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Problema 3: Operaciones vectoriales visuales

Enunciado

Cada uno de los vectores desplazamientos $\vec{A}$ y $\vec{B}$ tiene una magnitud de $3.00 \text{ m}$. Sabiendo que el vector $\vec{A}$ se orienta a un ángulo de $30.0^\circ$ sobre el eje x positivo (primer cuadrante) y el vector $\vec{B}$ se dirige a lo largo del eje y positivo ($90.0^\circ$ respecto al eje x positivo), encuentre gráficamente:

• $\vec{A} + \vec{B}$
• $\vec{A} - \vec{B}$
• $\vec{B} - \vec{A}$
• $\vec{A} - 2\vec{B}$

Reporte todos los ángulos en sentido contrario de las manecillas del reloj (CCW) desde el eje x positivo.

Paso 1: Componentes fundamentales de los vectores

• $\vec{A} = (3.00 \cdot \cos 30^\circ, 3.00 \cdot \sin 30^\circ) = (2.60, 1.50) \text{ m}$
• $\vec{B} = (0, 3.00) \text{ m}$

Paso 2: Evaluación de cada operación

1. Operación a) $\vec{A} + \vec{B}$:- Vector: $(2.60 + 0, 1.50 + 3.00) = (2.60, 4.50) \text{ m}$- Magnitud: $\sqrt{2.60^2 + 4.50^2} = \sqrt{6.75 + 20.25} = \sqrt{27} = 5.20 \text{ m}$- Ángulo: $\theta = \arctan\left(\frac{4.50}{2.60}\right) = 60.00^\circ$

2. Operación b) $\vec{A} - \vec{B}$:- Vector: $(2.60 - 0, 1.50 - 3.00) = (2.60, -1.50) \text{ m}$- Magnitud: $\sqrt{2.60^2 + (-1.50)^2} = \sqrt{6.75 + 2.25} = \sqrt{9} = 3.00 \text{ m}$- Ángulo CCW: $\theta = 360^\circ - \arctan\left(\frac{1.50}{2.60}\right) = 360^\circ - 30.00^\circ = 330.00^\circ$

3. Operación c) $\vec{B} - \vec{A}$:- Vector: $(0 - 2.60, 3.00 - 1.50) = (-2.60, 1.50) \text{ m}$- Magnitud: $\sqrt{(-2.60)^2 + 1.50^2} = \sqrt{6.75 + 2.25} = \sqrt{9} = 3.00 \text{ m}$- Ángulo CCW: $\theta = 180^\circ - 30.00^\circ = 150.00^\circ$

4. Operación d) $\vec{A} - 2\vec{B}$:- Vector: $(2.60 - 0, 1.50 - 6.00) = (2.60, -4.50) \text{ m}$- Magnitud: $\sqrt{2.60^2 + (-4.50)^2} = \sqrt{6.75 + 20.25} = \sqrt{27} = 5.20 \text{ m}$- Ángulo CCW: $\theta = 360^\circ - 60.00^\circ = 300.00^\circ$

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Problema 4: Propiedad conmutativa y asociativa

Enunciado

Tres desplazamientos son $\vec{A} = 200 \text{ m}$ al sur, $\vec{B} = 250 \text{ m}$ al oeste y $\vec{C} = 150 \text{ m}$ a $30.0^\circ$ al noreste. Construya un diagrama por separado para cada una de las siguientes posibles formas de sumar estos vectores:

• $\vec{R}_1 = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$
• $\vec{R}_2 = \vec{B} + \vec{C} + \vec{A}$
• $\vec{R}_3 = \vec{C} + \vec{B} + \vec{A}$

Explique detalladamente qué puede concluir al comparar los tres diagramas resultantes.

Paso 1: Representación de vectores individuales

• $\vec{A} = (0, -200) \text{ m}$
• $\vec{B} = (-250, 0) \text{ m}$
• $\vec{C} = (150 \cdot \cos 30^\circ, 150 \cdot \sin 30^\circ) = (129.90, 75.00) \text{ m}$

Paso 2: Cálculo numérico del vector resultante

Para cualquiera de los tres ordenamientos, las componentes totales de la resultante se obtienen sumando directamente las componentes individuales:

• $R_x = 0 - 250 + 129.90 = -120.10 \text{ m}$
• $R_y = -200 + 0 + 75.00 = -125.00 \text{ m}$

1. Magnitud:$|\vec{R}| = \sqrt{(-120.10)^2 + (-125.00)^2} = \sqrt{14424.01 + 15625.00} = \sqrt{30049.01} = 173.35 \text{ m}$

2. Dirección:Cuadrante III (ambas componentes negativas):$\phi = \arctan\left(\frac{125.00}{120.10}\right) = 46.15^\circ \text{ al sur del oeste}$$\theta_{CCW} = 180^\circ + 46.15^\circ = 226.15^\circ$

Paso 3: Explicación de las conclusiones

Al comparar los tres diagramas geométricos construidos colocando la cola de cada vector secuencial en la cabeza del anterior:

1. El recorrido o trayectoria intermedia seguida en cada diagrama es distinta.
2. Sin embargo, en los tres casos, el punto inicial (origen) y el punto final alcanzado coinciden exactamente en las coordenadas $(-120.10, -125.00) \text{ m}$.
3. Por consiguiente, $\vec{R}_1 = \vec{R}_2 = \vec{R}_3$.
4. Conclusión: Esto demuestra geométricamente y algebraicamente que la adición de vectores cumple rigurosamente con la propiedad conmutativa ($\vec{U} + \vec{V} = \vec{V} + \vec{U}$) y la propiedad asociativa ($(\vec{U} + \vec{V}) + \vec{W} = \vec{U} + (\vec{V} + \vec{W})$). El vector resultante de desplazamiento depende únicamente de los puntos inicial y final, y es completamente independiente del orden de los desplazamientos parciales.

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Problema 5: Trayectoria de la montaña rusa

Enunciado

Un carro de montaña rusa se mueve $200 \text{ pies}$ horizontalmente y luego se eleva $135 \text{ pies}$ a un ángulo de $30.0^\circ$ sobre la horizontal. A continuación viaja $135 \text{ pies}$ a un ángulo de $40.0^\circ$ hacia abajo de la horizontal. ¿Cuál es su desplazamiento total desde su punto de partida? Use técnicas gráficas para resolverlo.

Paso 1: Componentes rectangulares de cada tramo

1. Tramo 1 ($\vec{d}_1$):- Horizontal: $d_{1x} = 200.00 \text{ pies}$, $d_{1y} = 0.00 \text{ pies}$

2. Tramo 2 ($\vec{d}_2$):- Magnitud $135 \text{ pies}$ a $+30.0^\circ$:$d_{2x} = 135 \cdot \cos(30.0^\circ) = 135 \cdot 0.86603 = 116.91 \text{ pies}$$d_{2y} = 135 \cdot \sin(30.0^\circ) = 135 \cdot 0.50000 = 67.50 \text{ pies}$

3. Tramo 3 ($\vec{d}_3$):- Magnitud $135 \text{ pies}$ a $-40.0^\circ$ (hacia abajo de la horizontal):$d_{3x} = 135 \cdot \cos(-40.0^\circ) = 135 \cdot 0.76604 = 103.42 \text{ pies}$$d_{3y} = 135 \cdot \sin(-40.0^\circ) = 135 \cdot (-0.64279) = -86.78 \text{ pies}$

Paso 2: Desplazamiento total acumulado (<<| \vec{D} |>>)

• Componente X total:$D_x = 200.00 + 116.91 + 103.42 = 420.33 \text{ pies}$

• Componente Y total:$D_y = 0.00 + 67.50 - 86.78 = -19.28 \text{ pies}$

1. Magnitud del desplazamiento total:$|\vec{D}| = \sqrt{(420.33)^2 + (-19.28)^2} = \sqrt{176677.31 + 371.71} = \sqrt{177049.02} = 420.77 \text{ pies}$

2. Dirección:$\theta = \arctan\left(\frac{-19.28}{420.33}\right) = -2.63^\circ$El ángulo es de $2.63^\circ$ por debajo de la horizontal (o $357.37^\circ$ en sentido antihorario desde el eje $+x$).

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[Answer]

Respuestas Finales Resumidas:

1. Problema 1 (El vuelo del avión):- Desde el Lago B al Campo Base:- Distancia: $214.73 \text{ km}$- Dirección: $62.67^\circ$ al sur del oeste ($242.67^\circ$ en sentido antihorario desde el eje +x).- (En sentido Campo Base al Lago B: $214.73 \text{ km}$ a $62.67^\circ$ al norte del este / $62.67^\circ$ CCW).

2. Problema 2 (Suma de fuerzas coplanares):- Fuerza Resultante $\vec{F}_R$:- Magnitud: $9.54 \text{ unidades}$- Dirección: $57.00^\circ$ sobre el eje x positivo (primer cuadrante).

3. Problema 3 (Operaciones vectoriales visuales):- $\vec{A} + \vec{B}$: Magnitud $5.20 \text{ m}$, Ángulo $60.00^\circ$- $\vec{A} - \vec{B}$: Magnitud $3.00 \text{ m}$, Ángulo $330.00^\circ$- $\vec{B} - \vec{A}$: Magnitud $3.00 \text{ m}$, Ángulo $150.00^\circ$- $\vec{A} - 2\vec{B}$: Magnitud $5.20 \text{ m}$, Ángulo $300.00^\circ$

4. Problema 4 (Propiedad conmutativa y asociativa):- Los tres diagramas dan como resultado exacto el mismo vector resultante:- Vector Resultante: $\vec{R}_1 = \vec{R}_2 = \vec{R}_3 = -120.10 \hat{i} - 125.00 \hat{j} \text{ m}$- Magnitud: $173.35 \text{ m}$- Dirección: $46.15^\circ$ al sur del oeste ($226.15^\circ$ CCW).- Conclusión: El orden en que se suman los vectores no altera el vector resultante final, demostrando la propiedad conmutativa y asociativa de la adición de vectores.

5. Problema 5 (Trayectoria de la montaña rusa):- Desplazamiento total desde el punto de partida:- Magnitud: $420.77 \text{ pies}$- Dirección: $2.63^\circ$ por debajo de la horizontal ($-2.63^\circ$ o $357.37^\circ$ CCW).