Penyelesai Statistik

[Analisis]
Masalah ini melibatkan taburan Poisson bagi bilangan mesej yang diterima.
• Dalam tempoh 1 jam, kadar purata λ₁ = 5 mesej.
• Dalam tempoh 1.5 jam, kadar purata λ₂ = 5 × 1.5 = 7.5 mesej.
Kita diminta mengira:
(a) P(X = 3) untuk tempoh 1 jam.
(b) P(X = 6) untuk tempoh 1.5 jam.
(c) P(X < 4) untuk tempoh 1.5 jam.

[Penyelesaian]
(a) X ~ Pois(λ₁ = 5).
Langkah:

• Formula Poisson:
  $P(X = k) = e^{-\lambda},\frac{\lambda^k}{k!}$

• Gantikan k = 3 dan λ = 5:
  $P(X = 3) = e^{-5},\frac{5^3}{3!}$

• Kira nilai:
  $e^{-5} \approx 0.0067379$
  $5^3 = 125$
  $3! = 6$
  $P(X = 3) = 0.0067379 × \frac{125}{6} \approx 0.1404$

(b) X ~ Pois(λ₂ = 7.5).
Langkah:

• Gunakan formula Poisson dengan k = 6:
  $P(X = 6) = e^{-7.5},\frac{7.5^6}{6!}$

• Kira nilai:
  $e^{-7.5} \approx 0.0005531$
  $7.5^6 = 17797.8516$
  $6! = 720$
  $P(X = 6) = 0.0005531 × \frac{17797.8516}{720} \approx 0.1367$

(c) X ~ Pois(λ₂ = 7.5), cari P(X < 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3).
Langkah:

• P(X=k) = $e^{-7.5},\frac{7.5^k}{k!}$ untuk k = 0,1,2,3.

• Hitung setiap satu dan jumlahkan:
  • P(X=0) = $e^{-7.5},\frac{7.5^0}{0!} = e^{-7.5} ≈ 0.0005531$
  • P(X=1) = $e^{-7.5},\frac{7.5^1}{1!} = 0.0005531 × 7.5 ≈ 0.004148$
  • P(X=2) = $e^{-7.5},\frac{7.5^2}{2!} = 0.0005531 × \frac{56.25}{2} ≈ 0.015555$
  • P(X=3) = $e^{-7.5},\frac{7.5^3}{3!} = 0.0005531 × \frac{421.875}{6} ≈ 0.038888$

• Jumlahkan:
  $P(X<4) ≈ 0.0005531 + 0.004148 + 0.015555 + 0.038888 = 0.0591441$

[Jawapan]
(a) $P(X = 3) ≈ 0.1404$
(b) $P(X = 6) ≈ 0.1367$
(c) $P(X<4) ≈ 0.0591$

Analysis

Masalah ini melibatkan taburan kekerapan berkumpulan. Langkah penyelesaian merangkumi:

• Mengenal pasti data mentah dan jumlah pemerhatian

• Menentukan had sebenar kelas

• Mengira kekerapan setiap kelas

• Mengira peratusan kekerapan

• Menentukan kekerapan kumulatif dan peratusan kumulatif

• Mengira titik tengah setiap kelas

Solution

Langkah 1 Menentukan jumlah pemerhatian
$n = 38$

Langkah 2 Mengira had sebenar kelas
Formula had sebenar kelas bagi kelas 63 – 68 ialah
$63 - 0.5 = 62.5$ hingga $68 + 0.5 = 68.5$
Begitu juga bagi kelas lain

Langkah 3 Mengira frekuensi bagi setiap kelas
Daripada data stemplot diperoleh:
– Kelas 63–68 ada 4 pemerhatian
– Kelas 69–74 ada 9 pemerhatian
– Kelas 75–80 ada 9 pemerhatian
– Kelas 81–86 ada 7 pemerhatian
– Kelas 87–92 ada 4 pemerhatian
– Kelas 93–98 ada 5 pemerhatian

Langkah 4 Mengira peratusan kekerapan
Formula
$\text{Peratusan} = \frac{f}{n} \times 100$
Menggantikan nilai f dan n:
– Kelas 63–68 $\frac{4}{38}\times 100$
– Kelas 69–74 $\frac{9}{38}\times 100$
– Kelas 75–80 $\frac{9}{38}\times 100$
– Kelas 81–86 $\frac{7}{38}\times 100$
– Kelas 87–92 $\frac{4}{38}\times 100$
– Kelas 93–98 $\frac{5}{38}\times 100$

Langkah 5 Mengira kekerapan kumulatif dan peratusan kumulatif
– Kumulatif frekuensi 4, 13, 22, 29, 33, 38
– Kumulatif peratusan 10.5%, 34.2%, 57.9%, 76.3%, 86.8%, 100.0%

Langkah 6 Mengira titik tengah setiap kelas
Formula titik tengah $\text{TM} = \frac{\text{batas bawah} + \text{batas atas}}{2}$
– Kelas 63–68 TM $\frac{63 + 68}{2} = 65.5$
– Kelas 69–74 TM $\frac{69 + 74}{2} = 71.5$
– Kelas 75–80 TM $\frac{75 + 80}{2} = 77.5$
– Kelas 81–86 TM $\frac{81 + 86}{2} = 83.5$
– Kelas 87–92 TM $\frac{87 + 92}{2} = 89.5$
– Kelas 93–98 TM $\frac{93 + 98}{2} = 95.5$

Answer

Lengkap Jadual 1 seperti berikut

| Sela kelas | Had sebenar kelas | Frekuensi | Peratusan | Frekuensi kumulatif | Peratusan kumulatif | Titik tengah |
| 63 – 68 | $62.5 – 68.5$ | 4 | $10.5$ | 4 | $10.5$ | $65.5$ |
| 69 – 74 | $68.5 – 74.5$ | 9 | $23.7$ | 13 | $34.2$ | $71.5$ |
| 75 – 80 | $74.5 – 80.5$ | 9 | $23.7$ | 22 | $57.9$ | $77.5$ |
| 81 – 86 | $80.5 – 86.5$ | 7 | $18.4$ | 29 | $76.3$ | $83.5$ |
| 87 – 92 | $86.5 – 92.5$ | 4 | $10.5$ | 33 | $86.8$ | $89.5$ |
| 93 – 98 | $92.5 – 98.5$ | 5 | $13.2$ | 38 | $100.0$ | $95.5$ |
| Jumlah | – | 38 | 100.0% | – | – | – |

[Analisis]
Soalan ini melibatkan taburan normal piawai dan penukaran kepada skor peratus (percentile) serta skor T. Kaedah umum adalah:

• Gunakan jadual Φ(z) untuk mencari nilai z bagi peratus yang dikehendaki.

• Tukar antara skor mentah X dan skor z dengan formula $z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$,$< untuk ·μ ialah purata dan ·σ ialah sisihan piawai.

• Tukar skor z ke percentile: $P = \Phi(z)\times100$$.$<

• Tukar skor z ke skor T: $T = 50 + 10z$.

[Penyelesaian]

v. Cari P60

• Langkah 1: Cari nilai z bagi peratus 60% → $z_{0.60} = 0.2533$

• Langkah 2: Tukar z ke X:
  $P60 = \mu + z_{0.60},\sigma = \mu + 0.2533,\sigma$$.$<

vi. Cari PP80

• Langkah 1: Diberi skor mentah X = 80, hitung
  $z = \frac{80 - \mu}{\sigma}$$.$<

• Langkah 2: Cari peratus = $\Phi\bigl(\tfrac{80-\mu}{\sigma}\bigr)\times100$$.$<

vii. Cari Z90 score

• Nilai z bagi 90%: $z_{0.90} = 1.2816$$.$<

viii. Tukar Zscore ke Tscore

• Gunakan formula T: $T = 50 + 10z$$.$<

[Jawapan]
v. P60 = $\mu + 0.2533,\sigma$<<|
vi. PP80 = $\Phi\bigl(\tfrac{80-\mu}{\sigma}\bigr)\times100$<<|
vii. Z90 = $1.2816$<<|
viii. Tscore = $50 + 10,z$<<|

Analisis
Masalah ini melibatkan pengecaman jenis skala pengukuran data bagi setiap senario. Kita akan gunakan ciri-ciri skala berikut:

• Skala Nominal: kategori tanpa susunan.

• Skala Ordinal: kategori dengan susunan.

• Skala Interval: nilai berangka dengan beza bermakna, tiada titik sifar mutlak.

• Skala Rasio: nilai berangka dengan beza bermakna dan titik sifar mutlak.

Solusi
Langkah bagi setiap senario:

• Senario i
  – Data: Tahun lahir pelajar.
  – Tahun ialah nombor yang beza antaranya bermakna (contoh 2000 ke 2001 = 1 tahun), tetapi tiada titik sifar mutlak (tahun 0 tidak bermaksud tiada tahun).
  – Oleh itu jenis skala: $\text{Interval}$.

• Senario ii
  – Data: Jenis kenderaan (kereta, motosikal, basikal, e-hailing).
  – Hanya kategori tanpa sebarang susunan.
  – Oleh itu jenis skala: $\text{Nominal}$.

• Senario iii
  – Data: Jawatan pekerja (Pembantu < Eksekutif < Pengurus < Pengarah).
  – Terdapat susunan kategori.
  – Oleh itu jenis skala: $\text{Ordinal}$.

• Senario iv
  – Data: Bacaan suhu badan (°C).
  – Suhu darjah Celsius mempunyai beza bermakna, tetapi sifar (0°C) bukan ketiadaan mutlak suhu.
  – Oleh itu jenis skala: $\text{Interval}$.

• Senario v
  – Data: Jumlah buku milikan pelajar.
  – Bilangan buku boleh diukur bermula dari sifar mutlak (0 buku = tiada buku) dan beza antaranya bermakna.
  – Oleh itu jenis skala: $\text{Rasio}$.

Jawapan
i. $\text{Interval}$
ii. $\text{Nominal}$
iii. $\text{Ordinal}$
iv. $\text{Interval}$
v. $\text{Rasio}$