経済ソルバー

## 分析    
二国モデルで、有効需要に基づく国民所得決定モデルを考える。家計の消費関数と輸入関数、投資（I, I*）・政府支出（G, G*）が与えられており、貿易収支は相手国の輸入関数で決まる。家計部門・政府部門・企業部門・貿易部門の総供給＝総需要から二元連立で家計所得 \(Y, Y^*\) を求め、その後比較静学的分析で各パラメータ変化時の影響を求める。  
  
## 解法    
  
1. 家計消費・投資・政府支出・純輸出を用いて家計所得の決定式を立てる    
   家計所得 \(Y\) の需要側合計:    
   <<\|Y = C + I + G + X - M\|>>    
   ここで    
   <<\|C = 200 + \\tfrac{3}{5}Y,    M = 50 + \\tfrac{1}{10}Y\|>>    
   貿易収支:    
   <<\|X = M^* = 50 + \\tfrac{1}{5}Y^*\|>>    
  
   よって    
   <<\|Y = (200 + \\tfrac{3}{5}Y) + 100 + 160 + (50 + \\tfrac{1}{5}Y^*) - (50 + \\tfrac{1}{10}Y)\|>>    
   定数項と \(Y\) 項を整理すると    
   <<\|\\quad Y = 460 + 0.5\\,Y + 0.2\\,Y^*\|>>    
   両辺から \(0.5Y\) を移項して    
   <<\|\\quad 0.5\\,Y = 460 + 0.2\\,Y^* \\quad\\Longrightarrow\\quad Y = 920 + 0.4\\,Y^*.\|>>  
  
2. 同様に外国国民所得 \(Y^*\) の式を立てる    
   <<\|Y^* = C^* + I^* + G^* + X^* - M^*\|>>    
   <<\|C^* = 100 + \\tfrac{7}{10}Y^*,    M^* = 50 + \\tfrac{1}{5}Y^*\|>>    
   <<\|X^* = M = 50 + \\tfrac{1}{10}Y\|>>    
   整理すると    
   <<\|\\quad 0.5\\,Y^* = 460 + 0.1\\,Y \\quad\\Longrightarrow\\quad Y^* = 920 + 0.2\\,Y.\|>>  
  
3. 家計所得の連立を解く    
   <<\|\\begin{cases}Y = 920 + 0.4\\,Y^*\\\\Y^* = 920 + 0.2\\,Y\\end{cases}\|>>    
   代入して    
   <<\|\\;Y = 920 + 0.4(920 + 0.2\\,Y) = 1288 + 0.08\\,Y\|>>    
   <<\|\\;0.92\\,Y = 1288\\;\\Longrightarrow\\;Y = 1400.\|>>    
   <<\|\\;Y^* = 920 + 0.2\\times1400 = 1200.\|>>  
  
4. 家計貿易収支（家－外）    
   <<\|TB = X - M = (50 + 0.2\\,Y^*) - (50 + 0.1\\,Y)  
            = 0.2\\times1200 - 0.1\\times1400  
            = 240 - 140  
            = 100.\|>>  
  
5. 比較静学的分析    
   家計所得の連立を行列形式で書き、政府支出 \(G\) と外国自律輸入（\(M^*\) の定数項）変化の効果を導く。    
  
   行列 \(A=\begin{pmatrix}1&-0.4\\-0.1&0.5\end{pmatrix}\)、定数ベクトルを \(\begin{pmatrix}600+2G\\460\end{pmatrix}\) とすると    
   \(\Delta G=1\) のとき追加ベクトル \(\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\)。    
   逆行列を用いて    
   <<\|\\Delta Y = \\frac{1}{0.46}\\times1 = \\frac{50}{23}\\approx2.174,\|>>    
   <<\|\\Delta Y^* = \\frac{1}{0.46}\\times0.2 = \\frac{10}{23}\\approx0.435.\|>>    
  
   さらに貿易収支 \(TB=0.2Y^*-0.1Y\) なので    
   <<\|\\Delta TB = 0.2\\,\\Delta Y^* -0.1\\,\\Delta Y  
               = \\frac{2}{23} - \\frac{5}{23}  
               = -\\frac{3}{23}\\approx-0.1304.\|>>    
  
   同様に外国自律輸入の定数項増加 \(\Delta M^*_0=1\) の場合、定数ベクトルの変化は \(\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}\) なので    
   <<\|\\Delta Y = -\\frac{20}{23}\\approx-0.8696,\\quad  
     \\Delta Y^* = -\\frac{50}{23}\\approx-2.1739,\|>>    
   <<\|\\Delta TB = 0.2\\,\\Delta Y^* -0.1\\,\\Delta Y  
               = -\\frac{8}{23}\\approx-0.3478.\|>>  
  
## 答え    
  
1. 家国の均衡国民所得 <<\|Y = 1400\|>>    
2. 外国の均衡国民所得 <<\|Y^* = 1200\|>>    
3. 家国の均衡貿易収支 <<\|TB = 100\|>>    
4. 家国の政府支出が 1 増加したときの家国所得変化 <<\|\\Delta Y = \\tfrac{50}{23}\\approx2.174\|>>    
5. 同条件下での外国所得変化 <<\|\\Delta Y^* = \\tfrac{10}{23}\\approx0.435\|>>    
6. 同条件下での家国貿易収支変化 <<\|\\Delta TB = -\\tfrac{3}{23}\\approx-0.1304\|>>    
7. 外国自律輸入定数項が 1 増加したときの家国所得変化 <<\|\\Delta Y = -\\tfrac{20}{23}\\approx-0.8696\|>>    
8. 同条件下での家国貿易収支変化 <<\|\\Delta TB = -\\tfrac{8}{23}\\approx-0.3478\|>>    
コピー

# 分析    
本問は国内財市場・貨幣市場を IS–LM モデルで表し，物価調整を含む AS 曲線と合わせて財政・金融政策の効果を検討するマクロ経済問題である。    
手順は以下の通り。    
1. IS 曲線・LM 曲線を導出し，AD–AS の交点から均衡 GDP と物価を求める。    
2. 新古典派の想定（完全雇用 GDP での均衡）と比較し，差分を計算。    
3. 金融政策による高‐乗数貨幣供給拡大の必要額を計算。    
4. 財政政策（政府支出増）による必要額を計算し，その際の金利水準を求める。    
  
# 解答過程    
  
## 1. IS–LM モデルの設定    
- 財市場（IS）：    
  <<\|C = 20 + 0.6\\,Y\|>>    
  <<\|I = 15 - 2\\,r\|>>    
  <<\|G = 15\|>>    
  より    
  <<\|Y = C + I + G = 20 + 0.6Y + 15 - 2r + 15\|>>    
  <<\|\\quad\\Longrightarrow\\quad 0.4\\,Y = 50 - 2\\,r\|>>    
  <<\|\\quad\\Longrightarrow\\quad Y = \\frac{50 - 2\\,r}{0.4} = 125 - 5\\,r\|>>    
  
- 貨幣市場（LM）：    
  実質貨幣供給 <<\|M/P = 400/P\|>> に対し，貨幣需要    
  <<\|L = 0.2\\,Y - 4\\,r\|>>    
  で均衡するので    
  <<\|0.2\\,Y - 4\\,r = \\frac{400}{P}\|>>    
  
- 物価調整（AS）：    
  <<\|P = \\tfrac{1}{6}\\,Y\\quad(Y \\le Y_f)\|>>  ただし <<\|Y_f = 150\|>>    
  
---  
  
## 2. 均衡 GDP と物価の計算    
AS より <<\|P = Y/6\|>> を LM に代入すると    
<<\|0.2\\,Y - 4\\,r = \\frac{400}{Y/6} = \\frac{2400}{Y}\|>>    
これを r について解くと    
<<\|4\\,r = 0.2\\,Y - \\frac{2400}{Y}\|>>    
<<\|\\quad\\Longrightarrow\\quad r = 0.05\\,Y - \\frac{600}{Y}\|>>    
  
これを IS <<\|Y = 125 - 5\\,r\|>> に代入して    
<<\|Y = 125 - 5\\Bigl(0.05\\,Y - \\frac{600}{Y}\\Bigr)\|>>    
<<\|\\quad\\Longrightarrow\\quad Y^2 - 100\\,Y - 2400 = 0\|>>    
解のうち正の解を取って    
<<\|Y = 120\|>>    
  
対応する物価水準は    
<<\|P = \\frac{Y}{6} = 20\|>>    
  
---  
  
## 3. (21) 新古典派想定 GDP との差    
完全雇用 GDP <<\|Y_f = 150\|>> より実際均衡 GDP <<\|120\|>> は    
<<\|150 - 120 = 30\|>> だけ下回っている。    
  
---  
  
## 4. (22) 新古典派想定物価水準との差    
新古典派は完全雇用 GDP <<\|Y_f\|>> で IS–LM を同時均衡させるため，    
IS から金利 <<\|r = -5\|>> を得て，LM より    
<<\|30 - 4(-5) = 400/P_n \\;\\Longrightarrow\\; P_n = 8\|>>    
ゆえに実際物価 <<\|20\|>> は想定物価 <<\|8\|>> を    
<<\|20 - 8 = 12\|>> だけ上回っている。    
  
---  
  
## 5. (23) 金融政策による高‐乗数貨幣供給増加    
完全雇用 GDP <<\|Y = 150\|>> かつ AS <<\|P = 25\|>> のもとで    
LM 均衡条件から必要な実質貨幣供給は    
<<\|0.2\\times150 - 4(-5) = 30 + 20 = 50\|>>    
よって名目貨幣量 <<\|M = 50\\times25 = 1250\|>>    
初期 <<\|M = 400\|>> との差分 <<\|850\|>>    
高‐乗数貨幣乗数 <<\|10\|>> を用いると必要なハイパワードマネー増加量は    
<<\|\\Delta H = 850/10 = 85\|>>    
  
---  
  
## 6. (24) 財政政策による政府支出増    
貨幣供給を固定（<<\|M=400\|>>, <<\|P=25\|>>）とすると LM は    
<<\|0.2\\,Y - 4\\,r = 16 \\;\\Longrightarrow\\; r = 0.05\\,Y - 4\|>>    
IS は G を <<\|15 + \\Delta G\|>> として    
<<\|Y = 20 + 0.6Y + 15 - 2r + 15 + \\Delta G\|>>    
整理すると    
<<\|Y = 116 + 2\\,\\Delta G\|>>    
これを <<\|Y=150\|>> として解くと    
<<\|\\Delta G = 17\|>>    
  
---  
  
## 7. (25) (24) 実施時の金利水準    
<<\|Y = 150\|>> を LM に戻すと    
<<\|r = 0.05\\times150 - 4 = 7.5 - 4 = 3.5\|>>    
  
---  
  
# 最終解答    
  
21. 30    
22. 12    
23. 85    
24. 17    
25. 3.5    
コピー

[Analysis]
この問題は完全競争市場における線形需要曲線と線形供給曲線の均衡を求め，さらに消費者余剰・生産者余剰を求める典型的なミクロ経済学の問題です．需要と供給をそれぞれ直線でモデル化し，交点を計算して均衡価格と均衡取引量を導出し，グラフ上の三角形から余剰を求めます．

[Solution]
ステップ 一　需要曲線と供給曲線の設定
需要曲線　　　　$P = a - bQ$
供給曲線　　　　$P = c + dQ$
ここで定数 $a, b, c, d$ はそれぞれ需要の価格切片・傾き，供給の価格切片・傾きを表し すべて正

ステップ 二　均衡数量の導出
需要曲線と供給曲線を同値とおく
$a - bQ = c + dQ$
両辺を整理すると
$(b + d)Q = a - c$
したがって均衡取引量は
$Q^* = \frac{a - c}{b + d}$

ステップ 三　均衡価格の導出
均衡数量を需要曲線に代入して
<<|P^* = a - bQ^|>>
または供給曲線に代入して
<<|P^ = c + dQ^*|>>
いずれも同じ値を与える

ステップ 四　消費者余剰の計算
需要曲線の価格切片は $P = a$ であり，均衡価格との差を高さ，均衡数量を底辺とする三角形の面積
$CS = \tfrac12 \times Q^* \times (a - P^*)$

ステップ 五　生産者余剰の計算
供給曲線の価格切片は $P = c$ であり，均衡価格との差を高さ，均衡数量を底辺とする三角形の面積
$PS = \tfrac12 \times Q^* \times (P^* - c)$

ステップ 六　グラフの描写
横軸に取引量 $Q$ ，縦軸に価格 $P$ を取り，右下がりの需要直線と右上がりの供給直線を描く．両者の交点が <<|(Q^, P^)|>> で，その上部と需要曲線切片 $a$ との間の三角形が消費者余剰，下部と供給曲線切片 $c$ との間の三角形が生産者余剰となる．

[Answer]
均衡取引量 $Q^* = \frac{a - c}{b + d}$
均衡価格　　 $P^* = a - b\,\frac{a - c}{b + d}$（または $P^* = c + d\,\frac{a - c}{b + d}$）
消費者余剰　 <<|CS = \tfrac12\,Q^\,(a - P^)|>>
生産者余剰　 <<|PS = \tfrac12\,Q^\,(P^ - c)|>>