経済ソルバー

[Analysis]
この問題は完全競争市場における線形需要曲線と線形供給曲線の均衡を求め，さらに消費者余剰・生産者余剰を求める典型的なミクロ経済学の問題です．需要と供給をそれぞれ直線でモデル化し，交点を計算して均衡価格と均衡取引量を導出し，グラフ上の三角形から余剰を求めます．

[Solution]
ステップ 一　需要曲線と供給曲線の設定
需要曲線　　　　$P = a - bQ$
供給曲線　　　　$P = c + dQ$
ここで定数 $a, b, c, d$ はそれぞれ需要の価格切片・傾き，供給の価格切片・傾きを表し すべて正

ステップ 二　均衡数量の導出
需要曲線と供給曲線を同値とおく
$a - bQ = c + dQ$
両辺を整理すると
$(b + d)Q = a - c$
したがって均衡取引量は
$Q^* = \frac{a - c}{b + d}$

ステップ 三　均衡価格の導出
均衡数量を需要曲線に代入して
<<|P^* = a - bQ^|>>
または供給曲線に代入して
<<|P^ = c + dQ^*|>>
いずれも同じ値を与える

ステップ 四　消費者余剰の計算
需要曲線の価格切片は $P = a$ であり，均衡価格との差を高さ，均衡数量を底辺とする三角形の面積
$CS = \tfrac12 \times Q^* \times (a - P^*)$

ステップ 五　生産者余剰の計算
供給曲線の価格切片は $P = c$ であり，均衡価格との差を高さ，均衡数量を底辺とする三角形の面積
$PS = \tfrac12 \times Q^* \times (P^* - c)$

ステップ 六　グラフの描写
横軸に取引量 $Q$ ，縦軸に価格 $P$ を取り，右下がりの需要直線と右上がりの供給直線を描く．両者の交点が <<|(Q^, P^)|>> で，その上部と需要曲線切片 $a$ との間の三角形が消費者余剰，下部と供給曲線切片 $c$ との間の三角形が生産者余剰となる．

[Answer]
均衡取引量 $Q^* = \frac{a - c}{b + d}$
均衡価格　　 $P^* = a - b,\frac{a - c}{b + d}$（または $P^* = c + d,\frac{a - c}{b + d}$）
消費者余剰　 <<|CS = \tfrac12,Q^,(a - P^)|>>
生産者余剰　 <<|PS = \tfrac12,Q^,(P^ - c)|>>

[Analysis]
この問題は完全競争市場における線形需要曲線と線形供給曲線が与えられたときの市場均衡（均衡価格・均衡取引量）を求める典型的なミクロ経済学の問題です。アプローチとして需要量と供給量を等式で結び，未知数である価格Ｐと量Ｑを解きます。

[Solution]
ステップ１　需要曲線と供給曲線の設定
需要曲線を
$Q_d = \alpha - \beta P$
供給曲線を
$Q_s = \gamma + \delta P$
とする（ここで，α,β,γ,δは正の定数）

ステップ２　均衡条件の立式
市場均衡では需要量と供給量が等しいため
$\alpha - \beta P = \gamma + \delta P$

ステップ３　均衡価格Ｐの導出
同式をＰについて解くために項を整理する
<<|\alpha - \gamma = \beta P + \delta P|>>
<<|\alpha - \gamma = (\beta + \delta),P|>>
したがって均衡価格Ｐは
$P^* = \frac{\alpha - \gamma}{\beta + \delta}$

ステップ４　均衡取引量Ｑの計算
需要曲線または供給曲線にＰを代入してＱを得る。需要曲線に代入すると
<<|Q^ = \alpha - \beta,P^|>>
<<|Q^ = \alpha - \beta,\frac{\alpha - \gamma}{\beta + \delta}|>>
分母をそろえて計算すると
$Q^* = \frac{\alpha(\beta + \delta) - \beta(\alpha - \gamma)}{\beta + \delta}$
$Q^* = \frac{\alpha\beta + \alpha\delta - \alpha\beta + \beta\gamma}{\beta + \delta}$
$Q^* = \frac{\alpha,\delta + \beta,\gamma}{\beta + \delta}$

ステップ５　グラフ的説明
・横軸に取引量Ｑ，縦軸に価格Ｐを取る
・需要曲線$Q_d = \alpha - \beta P$は右下がり直線
・供給曲線$Q_s = \gamma + \delta P$は右上がり直線
・これらの交点が均衡点で，座標は<<|(Q^,P^)|>>

[Answer]
完全競争市場の均衡価格と均衡取引量はそれぞれ
均衡価格 $P^* = \frac{\alpha - \gamma}{\beta + \delta}$
均衡取引量 $Q^* = \frac{\alpha,\delta + \beta,\gamma}{\beta + \delta}$
で与えられる。

Analysis

次の二つの問題からなる。

• ２国Ａ国、Ｂ国の需要供給関数が与えられたとき、世界市場での均衡価格を求める問題（合計需要＝合計供給を用いる）

• ４国の自給均衡価格と世界価格を比較し、輸出輸入の方向を判定する問題（世界価格が自給価格を上回れば輸出、下回れば輸入）

Solution

Ⅰ. 世界価格の計算

• Ａ国とＢ国の合計供給量
  $S_{total}=S_A + S_B=p + p=2p$

• Ａ国とＢ国の合計需要量
  $D_{total}=D_A + D_B=(250 - p)+(150 - p)=400 - 2p$

• 世界市場均衡条件
  $S_{total}=D_{total}$
  よって
  $2p = 400-2p$

• 両辺を整理
  $4p = 400$
  $p = 100$

Ⅱ. 輸出入パターンの判定

• ４国の自給均衡価格
  A国$=10$、B国$=6$、C国$=13$、D国$=16$

• 世界価格$=18$との比較
  すべての国で自給価格＜世界価格

• したがって、すべての国が輸出国となる

Answer

世界価格 $100$

４カ国はすべてジーンズを輸出する。（選択肢３）

[Analysis]
この問題は国際貿易理論の基本である「自給自足時の国内価格」と「自由貿易時の世界価格」を比較し、各国が輸入か輸出かを判定するとともに、輸入国・輸出国における消費者余剰・生産者余剰の変化を考察する問題である。

[Solution]

• 世界価格８ドルの場合の輸出入判定

  • 自国価格が世界価格より高い場合 ⇒ 輸入

  • 自国価格が世界価格より低い場合 ⇒ 輸出

  国別の比較：
  $P_W = 8$
  ・国A: $P_A = 10$ ＞ $8$ ⇒ 輸入
  ・国B: $P_B = 6$ ＜ $8$ ⇒ 輸出
  ・国C: $P_C = 13$ ＞ $8$ ⇒ 輸入
  ・国D: $P_D = 16$ ＞ $8$ ⇒ 輸入

  したがって「A,C,Dは輸入、Bは輸出」を選ぶ。

• 国α・βの自給自足均衡価格と世界価格の導出

  • 国αの需要・供給
    $D_α(p)=250 - p$
    $S_α(p)=p$
    均衡条件 $D_α(p)=S_α(p)$ より
    $250 - p = p$
    $250 = 2p$
    $p_α^∗=125$

  • 国βの需要・供給
    $D_β(p)=150 - p$
    $S_β(p)=p$
    均衡条件 $150 - p = p$ より
    $150 = 2p$
    $p_β^∗=75$

  • 世界市場の需給均衡から世界価格を求める
    世界需要＝$D_α(p)+D_β(p)$＝$(250 - p)+(150 - p)$＝$400 - 2p$
    世界供給＝$S_α(p)+S_β(p)$＝$p + p$＝$2p$
    均衡条件 $400 - 2p = 2p$
    $400 = 4p$
    $P_W = 100$

• 国βにおける自由貿易の余剰変化

  • 国βの自給自足価格 $75$ ＜ 世界価格 $100$ ⇒ 輸出国

  • 輸出により生産者余剰↑、消費者余剰↓
    ⇒ 国βの企業が利益を得る

• 国αにおける自由貿易の余剰変化

  • 国αの自給自足価格 $125$ ＞ 世界価格 $100$ ⇒ 輸入国

  • 輸入により消費者余剰↑、生産者余剰↓
    ⇒ 国αの消費者が利益を得る

[Answer]

• ３番: A国, C国, D国はジーンズを輸入し, B国はジーンズを輸出する。

• 国βの企業は利益を得る。

• 国αの消費者は利益を得る。