数学ソルバー

[Problem]    
右の図で，同じ印をつけた角の大きさが等しいとき，∠xの大きさを求めよ．    
(図は省略)  
  
[Image]    
ユーザー提供の図を参照  
  
[Analysis]    
印のついた角は    
  ・点Bでの角 <<\|\\angle ABE\|>>    
  ・点Cでの角 <<\|\\angle ACE\|>>    
が等しい。    
このとき，点 A,B,E,C は円周上の点となり（円を共通にすると），円順四角形 ABEC が成立する。    
円順四角形において，対頂角の和が 180° であることから，求める <<\|x=\\angle BEC\|>> を求める。  
  
[Solution]    
1. 等しい角を確認する    
   <<\|\\angle ABE=\\angle ACE|\\>> （図の同じ印）    
  
2. この等式より，点 A,B,E,C は同一円周上にある。    
   すなわち，四角形 ABEC は円順（円に内接）である。  
  
3. 円順四角形の性質より，対頂角の和は 180° になる：    
   <<|\\angle ABE + \\angle ACE = 180° - \\angle BEC|\\>>  … (しかしここでは逆向きに使う)    
  
   よって    
   <<|\\angle BEC + \\angle BAC = 180°\|>>    
  
4. 角 <<\|\\angle BAC\|>> は問題文で 64° と与えられている。    
   したがって    
   <<\|x=\\angle BEC=180°-64°=116°\|>>    
  
[Answer]    
<<\|116°\|>>
コピー

[Problem]
あいうえお

[Analysis]
これは数学の問題というより，五つのひらがな文字「あ」「い」「う」「え」「お」からなる列です。数学的に扱うには，これらを集合とみなし，その要素数を数える問題と解釈できます。

[Solution]
ステップ1: 文字の集合を定義
$S = \{あ, い, う, え, お\}$

ステップ2: 集合Sの要素数（基数）を求める
$\lvert S \rvert = 5$

[Answer]
$5$

[Problem]
弟が、5 km 離れた駅に向かって家を出発しました。それから 10 分たって、姉が弟の忘れ物に気づき、自転車で同じ道を追いかけました。弟は分速 100 m、姉は分速 300 m で進むものとする。姉は出発してから何分後に追いつくでしょうか。
(1) 姉が出発してから x 分後に追いついたとして、方程式を作りなさい。
(2) (1) の方程式を解いて何分後かを求めなさい。

[Image]
（ユーザーが画像をアップロードしました）

[Analysis]
弟は姉が出発するまで 10 分の先行があり、その後も同じ方向へ分速 100 m で進む。姉は分速 300 m で追いかけ、出発してから x 分後に距離が等しくなるので、二人の進んだ距離を等式で表して解く。

[Solution]

• 弟の進んだ距離
  弟は姉が出発してから x 分の間にさらに進むが、すでに 10 分の先行があるので合計進行時間は (x + 10) 分。
  距離＝分速100 m×時間(x + 10) 分
  ＝$100(x + 10)$ (m)

• 姉の進んだ距離
  姉は出発してから x 分間追いかけるので、
  距離＝分速300 m×時間 x 分
  ＝$300x$ (m)

• 追いつく条件
  $300x = 100(x + 10)$

• 方程式を解く
  $300x = 100x + 1000$
  ⇔ $300x - 100x = 1000$
  ⇔ $200x = 1000$
  ⇔ $x = \frac{1000}{200} = 5$

[Answer]
姉は出発してから $5$ 分後に弟に追いつきます。

[Problem]
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[Image]
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[Analysis]
円周上に等角度（$\frac{\pi}{n}$）ずつとった点からなる多角形を考え，各小三角形の面積を足し合わせる問題。三角形の面積公式と三角関数の極限，および弦の長さの公式を用いる。

[Solution]
Step 1　三角形 $P_k O P_{k - 1}$ の面積 $T_k$
$T_k = \frac12\cdot OP_k\cdot OP_{k - 1}\cdot\sin\angle P_{k - 1}OP_k = \frac12\sin\frac{\pi}{n}$

Step 2　$S_n=\sum_{k = 1}^nT_k$
$S_n = n\cdot\frac12\sin\frac{\pi}{n} = \frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n}$

(1) $n = 2$ のとき
$S_2 = \frac{2}{2}\sin\frac{\pi}{2} = 1$

(2) 一般に
$S_n = \frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n}$

(3) 極限
$\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{2}$

(4) 弦の長さ $e_k=|P_{k - 1}P_k|$ は中心角 $\frac{\pi}{n}$ の半角公式より
$e_k = 2\sin\frac{\pi}{2n},\quad E_n=\sum_{k = 1}^n e_k = 2n\sin\frac{\pi}{2n}$
このとき
$\frac12E_n\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n} = n\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n}$
三角関数の積和公式から
$n\sin A\sin B = \frac{n}{2}[\cos(A - B)-\cos(A + B)]$ において
$A=\frac{\pi}{2n},\;B=\frac{(n - 1)\pi}{2n}$ とすると
$\frac12E_n\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n} = \frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n} = S_n$
よって
$S_n = \frac12E_n\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n}$ を示した。

(5)
$\lim_{n\to\infty}E_n = \lim_{n\to\infty}2n\sin\frac{\pi}{2n} = \pi$

[Answer]
(1) $S_2 = 1$
(2) $S_n = \frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n}$
(3) $\lim_{n\to\infty}S_n = \frac{\pi}{2}$
(4) $S_n = \frac12E_n\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n}$
(5) $\lim_{n\to\infty}E_n = \pi$