数学ソルバー

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[Analysis]
円周上に等角度（$\frac{\pi}{n}$）ずつとった点からなる多角形を考え，各小三角形の面積を足し合わせる問題。三角形の面積公式と三角関数の極限，および弦の長さの公式を用いる。

[Solution]
Step 1　三角形 $P_k O P_{k - 1}$ の面積 $T_k$
$T_k = \frac12\cdot OP_k\cdot OP_{k - 1}\cdot\sin\angle P_{k - 1}OP_k = \frac12\sin\frac{\pi}{n}$

Step 2　$S_n=\sum_{k = 1}^nT_k$
$S_n = n\cdot\frac12\sin\frac{\pi}{n} = \frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n}$

(1) $n = 2$ のとき
$S_2 = \frac{2}{2}\sin\frac{\pi}{2} = 1$

(2) 一般に
$S_n = \frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n}$

(3) 極限
$\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{2}$

(4) 弦の長さ $e_k=|P_{k - 1}P_k|$ は中心角 $\frac{\pi}{n}$ の半角公式より
$e_k = 2\sin\frac{\pi}{2n},\quad E_n=\sum_{k = 1}^n e_k = 2n\sin\frac{\pi}{2n}$
このとき
$\frac12E_n\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n} = n\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n}$
三角関数の積和公式から
$n\sin A\sin B = \frac{n}{2}[\cos(A - B)-\cos(A + B)]$ において
$A=\frac{\pi}{2n},\;B=\frac{(n - 1)\pi}{2n}$ とすると
$\frac12E_n\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n} = \frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n} = S_n$
よって
$S_n = \frac12E_n\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n}$ を示した。

(5)
$\lim_{n\to\infty}E_n = \lim_{n\to\infty}2n\sin\frac{\pi}{2n} = \pi$

[Answer]
(1) $S_2 = 1$
(2) $S_n = \frac{n}{2}\sin\frac{\pi}{n}$
(3) $\lim_{n\to\infty}S_n = \frac{\pi}{2}$
(4) $S_n = \frac12E_n\sin\frac{(n - 1)\pi}{2n}$
(5) $\lim_{n\to\infty}E_n = \pi$