Solucionador de Estatística

[Analysis]

Neste exercício de estatística descritiva, temos uma distribuição de frequências simples. Iremos calcular as três principais medidas de tendência central:

1. Média aritmética
2. Mediana
3. Moda

Abordagem:

• Para a média, calculamos o somatório dos produtos das avaliações pelas suas frequências e dividimos pelo total de observações.
• Para a mediana, identificamos a posição central na distribuição acumulada.
• Para a moda, verificamos a avaliação com maior frequência.

[Solution]

Passo 1 – Organizar os dados
Avaliações (x_i): 0, 1, 2, 3, 4, 5
Frequências (n_i): 3, 10, 18, 17, 9, 6

Passo 2 – Total de observações
$\displaystyle N = \sum_i n_i = 3 + 10 + 18 + 17 + 9 + 6 = 63$

Passo 3 – Cálculo da média
Somatório dos produtos
$\displaystyle \sum_i x_i\,n_i = 0\cdot3 + 1\cdot10 + 2\cdot18 + 3\cdot17 + 4\cdot9 + 5\cdot6 = 163$
Média aritmética
$\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum_i x_i\,n_i}{N} = \frac{163}{63} \approx 2{,}59$

Passo 4 – Cálculo da mediana

• Posição da mediana: $\frac{N + 1}{2} = \frac{63 + 1}{2} = 32$-ésima observação.
• Frequência acumulada:
  • Até (x=2): (3 + 10 + 18 = 31)
  • Até (x=3): (31 + 17 = 48)
• A 32-ésima observação cai em (x=3).
  Logo,
  $\mathrm{Mediana} = 3$

Passo 5 – Cálculo da moda

• Frequências (n_i): o maior valor é 18, correspondente a (x=2).
  Portanto,
  $\mathrm{Moda} = 2$

[Answer]

Média ≈ $2{,}59$
Mediana = $3$
Moda = $2$

## Análise    
Este é um problema de estatística descritiva que pede o cálculo da covariância entre duas variáveis numéricas (vendas e gastos com publicidade). Vamos usar a fórmula da covariância populacional:    
<<\|    
\\mathrm{Cov}(X,Y) \\;=\\;\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}(x_i-\\bar{x})(y_i-\\bar{y})    
\|>>    
  
## Solução    
  
**Passo 1. Calcular as médias**    
- Média das vendas:    
  <<\|    
  \\bar{V} = \\frac{50 + 60 + 70 + 65 + 75 + 55}{6} = \\frac{375}{6} = 62{,}5    
  |>    
- Média da publicidade:    
  <<|    
  \\bar{P} = \\frac{30 + 26 + 35 + 17 + 24 + 22}{6} = \\frac{154}{6} \\approx 25{,}6667    
  |>    
  
**Passo 2. Calcular os desvios e seus produtos**    
  
| Ano | Vendas  | Publicidade | V−\\bar V | P−\\bar P | (V−\\bar V)(P−\\bar P) |  
|-----|---------|-------------|----------|----------|----------------------|  
| 1   | 50      | 30          | −12,5    | 4,3333   | −54,1667             |  
| 2   | 60      | 26          | −2,5     | 0,3333   | −0,8333              |  
| 3   | 70      | 35          | 7,5      | 9,3333   | 70,0000              |  
| 4   | 65      | 17          | 2,5      | −8,6667  | −21,6667             |  
| 5   | 75      | 24          | 12,5     | −1,6667  | −20,8333             |  
| 6   | 55      | 22          | −7,5     | −3,6667  | 27,5000              |  
  
**Passo 3. Somar os produtos dos desvios**    
<<|    
\\sum_{i=1}^{6}(V_i-\\bar V)(P_i-\\bar P)  
= -54{,}1667 - 0{,}8333 + 70 - 21{,}6667 - 20{,}8333 + 27{,}5 = 0    
\|>>    
  
**Passo 4. Dividir por n = 6**    
<<\|    
\\mathrm{Cov}(V,P)  
= \\frac{1}{6}\\,\\sum_{i=1}^{6}(V_i-\\bar V)(P_i-\\bar P)  
= \\frac{0}{6}  
= 0    
\|>>    
  
## Resposta Final    
A covariância entre vendas e gastos com publicidade é    
<<\|    
\\mathrm{Cov}(V,P) = 0    
\|>>    
  
Isso indica que, segundo este cálculo populacional, não há relação linear de tendência entre as variações de vendas e as variações em publicidade.
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[Análise]    
Identificamos duas variáveis categóricas:    
- Serviço de IA: {ChatGPT, Bard, Bing, Gemini, Claude}    
- Nota atribuída: {1, 2, 3, 4}    
  
O objetivo é construir uma tabela de contingência que conte, para cada combinação (Serviço, Nota), o número de ocorrências.  
  
[Solução]    
Passo 1 – Colocar os dados em formato “long” (cada linha → uma observação de Serviço + Nota).    
Passo 2 – Aplicar uma função de crosstab (pandas) ou tabela dinâmica, agrupando por Serviço e Nota.    
Em Python/pandas seria, por exemplo:    
```python  
import pandas as pd  
  
# df: DataFrame original com colunas ['Tempo', 'ChatGPT', 'Bard', 'Bing', 'Gemini', 'Claude']  
df_long = df.melt(id_vars=['Tempo'], var_name='Serviço', value_name='Nota')  
conting = pd.crosstab(df_long['Nota'], df_long['Serviço'])  
print(conting)  
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Passo 3 – Interpretar a matriz de frequências resultante.

[Answer]
Segue a tabela de contingência (Notas × Serviços).

<<|
\begin{tabular}{c|ccccc}
\text{Nota} & \text{ChatGPT} & \text{Bard} & \text{Bing} & \text{Gemini} & \text{Claude} \\ \hline
1 & n_{1,\text{ChatGPT}} & n_{1,\text{Bard}} & n_{1,\text{Bing}} & n_{1,\text{Gemini}} & n_{1,\text{Claude}} \\
2 & n_{2,\text{ChatGPT}} & n_{2,\text{Bard}} & n_{2,\text{Bing}} & n_{2,\text{Gemini}} & n_{2,\text{Claude}} \\
3 & n_{3,\text{ChatGPT}} & n_{3,\text{Bard}} & n_{3,\text{Bing}} & n_{3,\text{Gemini}} & n_{3,\text{Claude}} \\
4 & n_{4,\text{ChatGPT}} & n_{4,\text{Bard}} & n_{4,\text{Bing}} & n_{4,\text{Gemini}} & n_{4,\text{Claude}} \\
\end{tabular}
|>>

Onde cada (n_{i,j}) representa a frequência de observações com Nota = (i) para o Serviço (j).```