Solucionador de Estatística

[Análise]
Temos 3 observações do número de usuários (em milhões) nos anos 2022, 2023 e 2024. Vamos:

• Calcular a variância dos valores de usuários.

• Ajustar uma regressão linear simples do tipo $y = a + b,x$, onde $x$ é o ano e $y$ é o número de usuários.

• Projetar o número de usuários nos anos 2025, 2026 e 2027 usando a reta ajustada.

• Exibir um gráfico com pontos originais e reta de regressão estendida até 2027.

[Solução]

Passo 1 – Organização dos dados
Definimos
$x: {2022,;2023,;2024}$
$y: {141.7,;155.0,;200.0}$ (em milhões)

Passo 2 – Médias
Calculemos as médias
$\bar x = \frac{2022 + 2023 + 2024}{3} = 2023$
$\bar y = \frac{141.7 + 155.0 + 200.0}{3} = 165.5667$

Passo 3 – Variância de $y$ (populacional)
$\sigma_y^2 = \frac{1}{3}\sum_{i = 1}^3 (y_i - \bar y)^2$

| Cálculo dos desvios:
y_1 - \bar y = 141.7 - 165.5667 = -23.8667
y_2 - \bar y = 155.0 - 165.5667 = -10.5667
y_3 - \bar y = 200.0 - 165.5667 = +34.4333
| Quadrados e soma:
(-23.8667)^2 + (-10.5667)^2 + (34.4333)^2 = 569.84 + 111.66 + 1185.63 = 1867.13
| Então
$\sigma_y^2 = \frac{1867.13}{3} = 622.38\quad(\text{milhões}^2)$

Passo 4 – Coeficiente angular $b$ da regressão
$b = \frac{\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum (x_i - \bar x)^2}$

| Numerador:
(2022-2023)(141.7-165.5667) + (2023-2023)(155.0-165.5667) + (2024-2023)(200.0-165.5667)
= (-1)(-23.8667) + 0·(–10.5667) + (+1)(34.4333) = 23.8667 + 0 + 34.4333 = 58.3000

| Denominador:
(2022-2023)^2 + (2023-2023)^2 + (2024-2023)^2 = 1 + 0 + 1 = 2

| Logo
$b = \frac{58.3}{2} = 29.15\quad(\text{milhões por ano})$

Passo 5 – Coeficiente linear $a$
$a = \bar y - b,\bar x = 165.5667 - 29.15\cdot 2023 = -58805.88$

Portanto a reta ajustada é
$y = -58805.88 + 29.15,x$

Passo 6 – Projeção até 2027
Basta substituir $x = 2025,2026,2027$:

• Para 2025:
$y(2025) = -58805.88 + 29.15\cdot2025 \approx 219.87$

• Para 2026:
$y(2026) = -58805.88 + 29.15\cdot2026 \approx 249.02$

• Para 2027:
$y(2027) = -58805.88 + 29.15\cdot2027 \approx 278.17$

Passo 7 – Gráfico (exemplo em Python/Matplotlib)

import matplotlib.pyplot as plt  
  
# Dados originais  
anos_obs = [2022, 2023, 2024]  
users_obs = [141.7, 155.0, 200.0]  
  
# Anos para projeção  
anos_tot = [2022, 2023, 2024, 2025, 2026, 2027]  
# Reta de regressão  
a, b = -58805.88, 29.15  
users_fit = [a + b*x for x in anos_tot]  
  
plt.figure(figsize=(8,5))  
plt.plot(anos_obs, users_obs, 'o', label='Dados Originais')  
plt.plot(anos_tot, users_fit, '-', label='Reta de Regressão')  
plt.xlabel('Ano')  
plt.ylabel('Usuários (milhões)')  
plt.title('Projeção de Usuários até 2027')  
plt.legend()  
plt.grid(True)  
plt.show()  
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[Resposta]
• Variância populacional dos usuários:
$\sigma_y^2 = 622.38\ (\text{milhões}^2)$

• Equação da regressão linear:
$y = -58805.88 + 29.15,x$

• Projeções:
– 2025: $y(2025)\approx 219.87\text{ milhões}$
– 2026: $y(2026)\approx 249.02\text{ milhões}$
– 2027: $y(2027)\approx 278.17\text{ milhões}$