محلّل الاقتصاد

التحليل
المطلوب حساب الناتج المحلي الإجمالي بطريقتين منهجيّتين منهج الإنفاق ومنهج الدخل. سنستخدم معادلات الحسابات القومية الأساسية دون استخدام أقواس أو علامات أخرى ونُعبر عن جميع العمليات الحسابيّة بصيغة $…$ للمعادلات الرياضية.

الحل

1ـ حساب الناتج المحلي الإجمالي بمنهج الإنفاق
• الاستهلاك الخاص والعام
– استهلاك القطاع العائلي 1500
– الإنفاق الاستهلاكي الحكومي 400
وبالتالي $C_{\rm private}+C_{\rm government}=1500 + 400=1900$

• الاستثمار
– إجمالي الاستثمار $I = 240$

• التجارة الخارجية
– صادرات 20
– واردات 20
– صافي الصادرات $X - M=20 - 20=0$

• الناتج الكلي وفق منهج الإنفاق
– $GDP_{expenditure}=C + I+(X - M)=1900 + 240+0 = 2140$

2ـ حساب الناتج المحلي الإجمالي بمنهج الدخل
• تعويض العاملين
– أجور ورواتب $W = 1028$
– مدفوعات الضمان الاجتماعي عن أصحاب العمل $SSC_{employer}=50$
– إذن إجمالي تعويض العاملين $Comp = W+SSC_{employer}=1028 + 50=1078$

• إيجارات رؤوس الأموال
– $R = 45$

• صافي فائض التشغيل
– أرباح موزعة 20
– أرباح غير موزعة 20
– دخول أصحاب الأعمال الصغيرة 100
– $Profits_{net}=20 + 20+100 = 140$

• صافي الدخل القومي على أساس التكلفة العاملية
– $NDP_{fc}=Comp + R+Profits_{net}=1078 + 45+140 = 1263$

• إضافة الإهلاك
– إهلاك رأس المال $D = 557$
– $GDP_{fc}=NDP_{fc}+D = 1263+557 = 1820$

• إضافة الضرائب غير المباشرة
– $T_{indirect}=120$
– $GDP_{income}=GDP_{fc}+T_{indirect}=1820 + 120=1940$

الجواب
• الناتج المحلي الإجمالي بمنهج الإنفاق $2140$
• الناتج المحلي الإجمالي بمنهج الدخل $1940$

ملاحظة
الفرق بين القيمتين يعكس بنوداً لم تُضمَّن صراحةً مثل الفوائد المباشرة أو بعض التحويلات الحكومية أو فروق تصنيفية في البيانات الأولية.

التحليل
المشكلة تتعلق بتسعير سلسلة تدفقات نقدية متعددة الأجل بمعدل فائدة ثابت (10 %)، ونبحث عن قيمة $C$ بحيث يكون صافي القيمة الحالـية (NPV) مساوياً للصفر، أي تحقيق التكافؤ بين مجموع القيم الحالية للمدفوعات الداخلة والخارجة.

الحل خطوة بخطوة

• توصيف التدفقات الزمنية على الخط الزمني:
  – تدفقات خارجة عند الأوقات $t = 0,2,7,8,9,10$ قيمها $2000,,900,,800,,600,,400,,200$ على التوالي.
  – تدفقات داخلـة عند الأوقات $t = 4,11$ قيمها $3C,,2C$ على التوالي.

• حساب القيمة الحالية للمجموع الخارج (PV_out):
  <<|
  PV_{\text{out}} = 2000

  • \frac{900}{(1+0.1)^{2}}

  • \frac{800}{(1+0.1)^{7}}

  • \frac{600}{(1+0.1)^{8}}

  • \frac{400}{(1+0.1)^{9}}

  • \frac{200}{(1+0.1)^{10}}
    |>>
    وبالتعويض العددي:
    $PV_{\text{out}}\approx 2000 + 743.80 + 410.60 + 280.05 + 169.61 + 77.11 = 3681.17$

• حساب معامل $C$ من القيمة الحالية للمدفوعات الداخلة (PV_in):
  <<|
  PV_{\text{in}} = \frac{3C}{(1+0.1)^{4}} + \frac{2C}{(1+0.1)^{11}}
  = C\Bigl(\frac{3}{1.1^{4}} + \frac{2}{1.1^{11}}\Bigr)
  |>>
  وبالتعويض:
  $\frac{3}{1.1^{4}} + \frac{2}{1.1^{11}} \approx 2.75003$

• معادلة التكافؤ (NPV=0):
  <<|
  PV_{\text{in}} = PV_{\text{out}}
  \quad\Longrightarrow\quad
  C,(2.75003) = 3681.17
  |>>
  وبحلها نحصل على قيمة $C$:
  <<|
  C = \frac{3681.17}{2.75003} \approx 1338.53
  |>>

الإجابة
قيمة $C$ التي تحقق التكافؤ النقدي عند معدل فائدة 10 % هي تقريباً:
$C \approx 1,338.53\text{ دولار}$

التحليل
المسألة تندرج ضمن نموذج التوازن في سوق تنافسي بسيط حيث تحدد الكمية والسعر التوازنيان من تقاطع دالتي العرض والطلب. بعد ذلك نفرض ضريبة نوعية ثابتة فنحلل أثرها على السعر الكلي الذي يدفعه المستهلك، والسعر الصافي الذي يتسلمه المنتج، وحمل الضريبة بين الطرفين.

الحل خطوة بخطوة

1- التوازن الأصلي
دالة العرض Qs ودالة الطلب Qd معطاة بالشكل
$Qs = 12p-2$
$Qd = 30-8p$
عند التوازن Qs=Qd ⇒
$12p - 2=30 - 8p$
نجمع الحدود المشتملة على p فتصبح
$12p + 8p=30 + 2$
$20p = 32$
إذن السعر التوازني الأصلي
<<|p^=32/20=1.6|>>
والكمية التوازنية الأصلية نحسبها بإحدى الدالتين، مثلاً دالة العرض
<<|Q^=12×1.6-2=19.2-2=17.2|>>

بيانياً:
• خط العرض يبدأ من نقطة تقاطعه مع المحور الرأسي (عند Q=0) حيث p=1/6≈0.17
• خط الطلب يبدأ من (p=0 ، Q=30) ويتجه نزولاً.
• نقطة التوازن تقع عند (p=1.6 ، Q=17.2).

2- فرض ضريبة نوعية قدرها 2 دينار للوحدة
نصيغ المتغيرات:
– p_d السعر الذي يدفعه المستهلك
– p_s السعر الصافي الذي يستلمه المنتج
– t=2 قيمة الضريبة للوحدة

توجد علاقة بينهما
$p_d = p_s+2$

دالة العرض الجديدة عند السعر الصافي p_s
$Qs = 12p_s-2$
ودالة الطلب عند السعر المدفوع p_d
$Qd = 30-8p_d$
عند التوازن الجديد Qs=Qd ⇒
$30 - 8(p_s + 2)=12p_s - 2$
نبسط:
$30 - 8p_s-16 = 12p_s-2$
$14 - 8p_s=12p_s - 2$
ننقل الحدود:
$14 + 2=12p_s + 8p_s$
$16 = 20p_s$
إذن
$p_s=\frac{16}{20}=0.8$
ومن العلاقة
$p_d = 0.8 + 2=2.8$
والكمية الجديدة
$Q_new = 12×0.8 - 2=9.6 - 2=7.6$

3- توزيع عبء الضريبة
السعر الأصلي للمستهلك كان 1.6 وأصبح 2.8 فزادت تكلفة المستهلك بمقدار
$Δp_consumer = 2.8 - 1.6 = 1.2$
والسعر الصافي للمنتج كان 1.6 وأصبح 0.8 فانخفض بمقدار
$Δp_producer = 1.6 - 0.8 = 0.8$
إذن المستهلك يتحمل 1.2 دينار من الضريبة، والمنتج يتحمل 0.8 دينار.

النتائج النهائية
• التوازن الأصلي:
– السعر <<|p^=1.6|>>
– الكمية <<|Q^=17.2|>>
• بعد الضريبة:
– سعر الشاري $p_d = 2.8$
– سعر البائع (الصافي) $p_s = 0.8$
– الكمية $Q = 7.6$
– عبء الضريبة على المستهلك $1.2$
– عبء الضريبة على المنتج $0.8$

# التحليل    
هذه مسألة في **القيمة الزمنية للنقود**، حيث نريد إيجاد المبلغ المكافئ لجميع التدفقات النقدية عند الفترة \(t=4\) بمعدل فائدة مركبة 15% لكل فترة.    
الخطوات:    
1. تجميع التدفقات النقدية المنصرفة قبل أو عند \(t=4\) وتحويلها إلى الأمام إلى \(t=4\).    
2. تجميع التدفقات النقدية الواردة بعد \(t=4\) وتحويلها إلى الوراء إلى \(t=4\).    
3. جمع كل القيم المحوّلة للحصول على المبلغ المكافئ عند \(t=4\).  
  
# الحل خطوة بخطوة    
  
1) تحديد التدفقات النقدية \(C_k\) لكل فترة \(k\):  
  
   - عند \(k=0,1,2\): <<|C_k=-100\text{ دولار}|>>    
   - عند \(k=3,4,5\): <<|C_k=-150\text{ دولار}|>>    
   - عند \(k=6\): <<|C_6=-100\text{ دولار}|>>    
   - عند \(k=7,8,9\): <<|C_k=+100\text{ دولار}|>>  
  
2) تحويل التدفقات النقدية عند أو قبل \(t=4\) إلى الفترة 4:  
  
   - الفترة 0 إلى 4:    
     <<|\;V_{0\to4}=-100\times(1+0.15)^{4-0}=-100\times(1.15)^4\approx -100\times1.74900625=-174.9006\;|>>  
  
   - الفترة 1 إلى 4:    
     <<|\;V_{1\to4}=-100\times(1.15)^{4-1}=-100\times(1.15)^3\approx -100\times1.520875=-152.0875\;|>>  
  
   - الفترة 2 إلى 4:    
     <<|\;V_{2\to4}=-100\times(1.15)^{4-2}=-100\times(1.15)^2\approx -100\times1.3225=-132.2500\;|>>  
  
   - الفترة 3 إلى 4:    
     <<|\;V_{3\to4}=-150\times(1.15)^{4-3}=-150\times1.15=-172.5000\;|>>  
  
   - الفترة 4 (لا تحتاج تحويل):    
     <<|\;V_{4\to4}=-150\times(1.15)^{4-4}=-150\times1=-150.0000\;|>>  
  
   المجموع الجزئي للتدفقات السابقة أو عند 4:    
   <<|\;V_{\le4}=\sum_{k=0}^4V_{k\to4}=-174.9006-152.0875-132.2500-172.5000-150.0000=-781.7381\;|>>  
  
3) تحويل التدفقات النقدية بعد \(t=4\) إلى الفترة 4 (خصم):  
  
   - الفترة 5 إلى 4:    
     <<|\;V_{5\to4}=-150\div(1.15)^{5-4}=-150\div1.15\approx -130.4348\;|>>  
  
   - الفترة 6 إلى 4:    
     <<|\;V_{6\to4}=-100\div(1.15)^{6-4}=-100\div(1.15)^2\approx -100\div1.3225=-75.5680\;|>>  
  
   - الفترة 7 إلى 4:    
     <<|\;V_{7\to4}=+100\div(1.15)^{7-4}=100\div(1.15)^3\approx100\div1.520875=65.7589\;|>>  
  
   - الفترة 8 إلى 4:    
     <<|\;V_{8\to4}=+100\div(1.15)^{8-4}=100\div(1.15)^4\approx100\div1.74900625=57.1730\;|>>  
  
   - الفترة 9 إلى 4:    
     <<|\;V_{9\to4}=+100\div(1.15)^{9-4}=100\div(1.15)^5\approx100\div2.0113572=49.7212\;|>>  
  
   المجموع الجزئي للتدفقات اللاحقة:    
   <<|\;V_{>4}=-130.4348-75.5680+65.7589+57.1730+49.7212=-33.3497\;|>>  
  
4) المبلغ المكافئ عند \(t=4\) هو مجموع الجزئين:    
   <<|\;V_4=V_{\le4}+V_{>4}=-781.7381-33.3497=-815.0878\;|>>  
  
# النتيجة النهائية    
**الجواب:**    
المبلغ المكافئ لجميع التدفقات النقدية عند الفترة \(t=4\) هو تقريباً    
<<|V_4=-815.09\text{ دولار}|>>.
نسخ