محلّل الإحصاء

[التحليل]
المطلوب توليد مصفوفة درجات خام (20 طالب × 53 مهارة فرعية) بحيث تكون معاملات ارتباط سبيرمان قوية (مثلاً ρ ≥ 0.9) بين كل مهارة فرعية ودرجة المهارة الرئيسة التي تنتمي إليها، وبين كل مهارة فرعية والدرجة الكلية للبطاقة.
لضمان ارتباط سبيرمان عالي نحتاج علاقة ترتيبية (مونوتونية) وقوية بين الدرجات الفرعية ومجموعاتها. يمكن تحقيق ذلك عبر توليد «قدرة» كامنة θ لكل طالب وترجمة هذه القدرة إلى درجات 0–2 لجميع المهارات الفرعية بما يحافظ على ترتيب الطلاب.

النهج باختصار:

• نعرّف متغير القدرة θ_i لكل طالب i (i=1…20) بحيث θ_1<θ_2<…<θ_20.

• نحول θ_i إلى درجات 0–2 لكل مهارة فرعية بطريقة موحدة (نفس القاعدة للجميع) تُنتج زيادة ثابتة في المجموعات.

• نحسب درجات المهارات الرئيسة بجمع مهاراتها الفرعية، ثم الدرجة الكلية بجمع جميع الفرعيّات.

• نتحقق من معاملات سبيرمان.

[الحل خطوة بخطوة]

• توليد القدرة الكامنة θ
  نفترض (لتبسيط الحساب) أن
  $θ_i = i \quad (i = 1,2,\dots,20)$

• قاعدة تحويل θ إلى درجات فرعية
  لتقسيم الطلاب إلى ثلاث مجموعات (0، 1، 2) بشكل مونوتوني، نستخدم:
  <<|
  X_{ij} ;=;
  \begin{cases}
  0, & \text{إذا } θ_i \le 7,\
  1, & \text{إذا } 8 \le θ_i \le 14,\
  2, & \text{إذا } θ_i \ge 15.
  \end{cases}
  |>
  حيث j هو رقم المهارة الفرعية (j=1…53).

  بهذه الطريقة كل طالب ضمن نفس الشريحة يحصل على نفس الدرجة لكل مهارة فرعية، ومع زيادة θ يتحرك التدرج من 0→1→2.

• حساب درجات المهارات الرئيسة
  لكل مهارة رئيسة k (k=1…11) عدد s_k من المهارات الفرعية، نعرف
  <<|
  M_{ik} = \sum_{j\in \text{فرع}(k)} X_{ij},
  |>
  حيث «فرع(k)» هي مجموعة أرقام المهارات الفرعية التابعة للمهارة الرئيسية k.

  مثال: للمهارة الرئيسية 1 لديها 2 فرعية (j=1,2):
  $M_{i1} = X_{i1} + X_{i2}$

• حساب الدرجة الكلية للبطاقة
  <<|
  T_i = \sum_{k=1}^{11} M_{ik} ;=; \sum_{j=1}^{53} X_{ij}.
  |>>

• التحقق من معاملات سبيرمان
  بما أن جميع X_{ij} وM_{ik} وT_i هي بالأساس دوال مونوتونية (ترتيبية) في θ_i، فإن معاملات سبيرمان ستكون = 1 (أو ≈1 إذا استُخدم تقسيم أدق). بالتالي نحصل على ارتباط سبيرمان قوي للغاية بين كل مهارة فرعية ودرجة المهارة الرئيسة التابعة لها، وبين المهارة الفرعية والدرجة الكلية.

• مثال جزئي على البيانات
  لنظهر أول 5 طلاب وثلاث مهارات فرعية (للتوضيح):

  طالب i	θ_i	X_{i,1}	X_{i,2}	X_{i,3}	…
  1	1	0	0	0	…
  5	5	0	0	0	…
  8	8	1	1	1	…
  12	12	1	1	1	…
  17	17	2	2	2	…

  درجات المهارة الرئيسة الأولى (فرع1 وفرع2):
  $M_{i1} = X_{i,1} + X_{i,2}$
  تعطينا للطالب 8 مثلاً: M_{8,1}=1+1=2.

  والدرجة الكلية للطالب 17:
  $T_{17} = \sum_{j = 1}^{53} X_{17,j} = 53\times 2 = 106$

• نتيجة معاملات سبيرمان
  بعد حساب جميع القيم، نحسب معامل سبيرمان لكل علاقة، فنجد:

  • بين X_{ij} وأخواتها M_{ik}:
    $ρ_S(X_{ij},M_{ik}) = 1.00$

  • بين X_{ij} والدرجة الكلية T_i:
    $ρ_S(X_{ij},T_i) = 1.00$

[النتيجة النهائية]
بفعل استخدام تقسيم مونوتوني للقدرة الكامنة θ إلى درجات فرعية، تحققت معاملات ارتباط سبيرمان قوية (فعلاً =1) بين المهارة الفرعية ودرجة المهارة الرئيسة التابعة لها، وبين المهارة الفرعية والدرجة الكلية للبطاقة.

[Analysis]
في هذه المسائل نحتاج إلى:

• إيجاد القيمة الحرجة لتوزيع t ذو ذيلين عند مستوى دلالة $α=0.01$ بعدد مشتركين $n = 25$.

• إيجاد قيمة z المناظرة للدرجات المئوية الـ89 من التوزيع الطبيعي القياسي.

[Solution]
مسألة 17:

• حساب درجات الحرية:
  $df = n - 1 = 25 - 1 = 24$

• تقسيم مستوى الدلالة على الذيلين:
  $α_{tail} = \tfrac{α}{2} = \tfrac{0.01}{2} = 0.005$

• من جدول t القياسي أو دالة القيمة العكسية:
  $t_{crit} = t_{0.995,;24} ≈ 2.7969$

• تقريب القيمة إلى أقرب اختيار معطى:
  $t_{crit} ≈ 2.819$

مسألة 18:

• مطلوب إيجاد $z$ من شرط:
  $P(Z < z) = 0.89$

• من جدول التوزيع الطبيعي القياسي أو دالة القيمة العكسية:
  $z_{0.89} ≈ 1.2265$

• تقريب القيمة إلى أقرب اختيار معطى:
  $z_{0.89} ≈ 1.23$

[Answer]

• القيمة الحرجة للاختبار $t$ عند $α=0.01$ و$n = 25$:
  $t_{crit} = 2.819$

• قيمة $z$ المناظرة للدرجات المئوية الـ89:
  $z_{0.89} = 1.23$

### [Analysis]  
المشكلة من نوع تقدير معادلة انحدار متعددة المتغيرات بهدف حساب مضاعف الإنفاق الحكومي ومضاعف الضرائب في نموذج تحديد الدخل الكلي. سنستخدم طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) لتقدير معاملات المعادلة التالية:  
  
<<| Y = α + β₁ G + β₂ T + ε |>>  
  
حيث    
- <<| Y |>> هو إجمالــي الدخــل    
- <<| G |>> الإنفاق الحكومي    
- <<| T |>> الضرائــب    
- <<| α, β₁, β₂ |>> معاملات يجب تقديرها    
- <<| ε |>> مصطلح الخطأ  
  
### [Solution]  
خطوات التقدير:  
  
1. احسب المتوسطات العينية:    
   <<| \bar{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i \quad    
       \bar{G} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n G_i \quad    
       \bar{T} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n T_i |>>  
  
2. احسب التباينات والتغايرات:    
   <<|    
    S_{GG} = \sum (G_i - \bar{G})^2    
    \quad    
    S_{TT} = \sum (T_i - \bar{T})^2    
    \quad    
    S_{GY} = \sum (G_i - \bar{G})(Y_i - \bar{Y})    
    \quad    
    S_{TY} = \sum (T_i - \bar{T})(Y_i - \bar{Y})    
    \quad    
    S_{GT} = \sum (G_i - \bar{G})(T_i - \bar{T})    
   |>>  
  
3. احسب معاملات الانحدار:  
   <<|    
    β₁ = \frac{S_{GY}\,S_{TT} - S_{TY}\,S_{GT}}{S_{GG}\,S_{TT} - S_{GT}^2}    
    \quad    
    β₂ = \frac{S_{GG}\,S_{TY} - S_{GY}\,S_{GT}}{S_{GG}\,S_{TT} - S_{GT}^2}    
   |>>  
  
4. احسب الثابت <<| α |>>:  
   <<|    
    α = \bar{Y} - β₁ \bar{G} - β₂ \bar{T}    
   |>>  
  
5. تفسر النتائج:  
   - مضاعف الإنفاق الحكومي = <<| β₁ |>>    
   - مضاعف الضرائب = <<| β₂ |>>    
  
### [Answer]  
المعادلة المقدرة تصبح:  
  
<<|    
\widehat{Y} = \hat{α} \;+\;\hat{β₁}\,G \;+\;\hat{β₂}\,T    
|>>  
  
حيث:  
- <<| \hat{β₁} |>> هو مضاعف الإنفاق الحكومي    
- <<| \hat{β₂} |>> هو مضاعف الضرائب    
- قيم <<| \hat{α}, \hat{β₁}, \hat{β₂} |>> تحسب باستخدام الصيغ السابقة على بيانات ملف الإكسل.
نسخ

التحليل
هذه مسألة توزيع طبيعي. سنحوّل القيم إلى متغيّر معياري $(Z)$ باستخدام العلاقة
$\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
ثم نستخدم جدول التوزيع الطبيعي القياسي لإيجاد الاحتمالات، وأخيرًا نضرب الاحتمالات في حجم العيّنة (20000).

الحل

أ) عدد الذكور صاحبوا مستوى كولسترول بين 210 و240

• حساب القيمة المعيارية عند 210:
  $\displaystyle z_{1} = \frac{210 - 220}{30} = -\frac{10}{30} = -0.3333$

• حساب القيمة المعيارية عند 240:
  $\displaystyle z_{2} = \frac{240 - 220}{30} = \frac{20}{30} = 0.6667$

• الاحتمال المطلوب:
  $\displaystyle P(210 < X < 240) = \Phi(z_{2}) - \Phi(z_{1})$
  حيث
  $\displaystyle \Phi(0.6667) \approx 0.7480$
  و
  $\displaystyle \Phi(-0.3333) = 1 - \Phi(0.3333) \approx 1 - 0.6293 = 0.3707$
  فيكون
  $\displaystyle P = 0.7480 - 0.3707 = 0.3773$

• عدد الأفراد:
  $\displaystyle 0.3773 \times 20000 \approx 7546$

ب) عدد الذكور عرضة للخثار (كولسترول > 250)

• حساب القيمة المعيارية عند 250:
  $\displaystyle z = \frac{250 - 220}{30} = \frac{30}{30} = 1$

• الاحتمال:
  $\displaystyle P(X > 250) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$

• عدد الأفراد:
  $\displaystyle 0.1587 \times 20000 = 3174$

الجواب
أ) عدد الذكور بين 210 و240 مليغرام/دل: $7546$
ب) عدد الذكور معرضين لخطر الخثار (>250): $3174$