محلّل الرياضيات

[Problem]
$m x(x + m)\;-\;(x + m)(x + 2m)$

[Analysis]
المسألة تتعلق بتبسيط فرق حاصل ضربات كثير الحدود. النهج المتبع:

• توسيع كل من $m x(x + m)$ و$(x + m)(x + 2m)$.

• طرح التعبير الثاني من الأول.

• جمع الحدود المتشابهة.

• تحليل الناتج إلى عوامل إذا أمكن.

[Solution]

• توسيع الحد الأول:
  العملية: توزيع $m x$ على $x + m$
  النتيجة: $m x(x + m)=m x^2 + m^2 x$

• توسيع الحد الثاني:
  العملية: توزيع $x + m$ على $x + 2m$
  النتيجة: $(x + m)(x + 2m)=x^2 + 3m x + 2m^2$

• طرح الحد الثاني من الحد الأول:
  العملية: $m x^2 + m^2 x\;-\;(x^2 + 3m x + 2m^2)$
  النتيجة: $m x^2 + m^2 x - x^2 - 3m x - 2m^2$

• جمع الحدود المتشابهة:
  العملية: تجميع معاملات $x^2$ و$x$ والثابت
  النتيجة: $(m - 1)x^2 + (m^2 - 3m)x - 2m^2$

• تحليل كثير الحدود إلى عوامل:
  العملية: البحث عن عامل مشترك أو استخدام القسمة التركيبية
  نلاحظ أن $x + m$ عامل، وبقسمة $(m - 1)x^2 + (m^2 - 3m)x - 2m^2$ على $x + m$ نحصل على $(m - 1)x - 2m$
  النتيجة: $(x + m)\bigl((m - 1)x - 2m\bigr)$

[Answer]
$(x + m)\bigl((m - 1)x - 2m\bigr)$

[Problem]
انظر الملفات المرفقة

[Image]
صورة المرفق للرجوع إليها

[Analysis]
هذه مجموعة مسائل حول النهايات والاستمرارية والأسيمتات. نعتمد على التعويض المباشر عند الإمكان، تحليل التعابير الجبرية لإيجاد جذور المقام، اختبار الاستمرارية بمقارنة القيم والحدود عند النقاط الموضحة، استخدام مبرهنة الحصر (Squeeze Theorem) للنهاية، وتحليل الكسور لإيجاد الأسيمتات الرأسية والأفقية.

[Solution]
1- حساب النهايات
a-
العملية:
$\lim_{x \to 2} \frac{x - 5}{x^2 - 3}$<br>
التعويض المباشر:
$\frac{2 - 5}{2^2 - 3} = \frac{-3}{4 - 3} = -3$

b-
العملية:
$\lim_{x \to 0} \cos\bigl(x^2 - 6x\bigr)$<br>
التعويض المباشر:
$\cos(0^2 - 6\cdot0) = \cos(0) = 1$

2- استمرارية الدالتين
a- $g(z) = \frac{6}{z^2 - 2z - 15}$
نوجد أصفار المقام:
$z^2 - 2z - 15 = (z - 5)(z + 3) = 0 \implies z = 5,\,-3$
– عند $z = 5$ و$z = -3$ المقام صفر ⇒ نقاط انقطاع (عدم استمرارية).
– عند $z = 0$ المقام ≠ صفر ($-15$) ⇒ الدالة معرفة والحد يساوي القيمة ⇒ استمرارية.

b- $h(x) = \begin{cases}4x & x<3,\\ x+1 & x\ge3,\end{cases}$
– عند $x = 2$:
القيمة من القطعة الأولى $h(2)=4\cdot2 = 8$، وحدُّ الجانبين عند 2 من القطعة الأولى أيضاً =8 ⇒ مستمرة.
– عند $x = 3$:
$h(3)=3 + 1=4$،
$\lim_{x\to3^-}h(x)=4\cdot3 = 12$, $\lim_{x\to3^+}h(x)=3 + 1=4$ ⇒ الحد الأيسر ≠ الحد الأيمن ⇒ غير مستمرة.

3- نقاط عدم الاستمرارية لـ
$R(t)=\frac{t^2 - 4}{3t^2 - 7t+4}$
نحلل البسط والمقام:
$t^2 - 4=(t - 2)(t + 2),\quad 3t^2 - 7t+4=(3t - 4)(t - 1)$
أصفار المقام: $t = 1,\; t=\tfrac{4}{3}$ ⇒ عندهما انقطاع (عدم استمرارية).

4- استخدام مبرهنة الحصر
$\lim_{x\to0} x^3\sin\bigl(\tfrac{\pi}{x^2}\bigr)$<br>
نعلم أن $-1 \le \sin(\tfrac{\pi}{x^2}) \le 1$ ⇒
$-|x^3| \le x^3\sin(\tfrac{\pi}{x^2}) \le |x^3|$، وبما أن $\lim_{x\to0}|x^3|=0$ فإن النهاية =0.

5- الأسيمتات للدالة
$f(x)=\frac{2x - 4}{x^2 - 3x+2}$
نحلل المقام: $x^2 - 3x+2=(x - 1)(x - 2)$ ⇒ أصفار المقام عند $x = 1,\,2$ ⇒ أسيمتات رأسية.
درجة البسط أقل من المقام ⇒ أسيمتة أفقية: $y = 0$.

[Answer]
1a. $-3$, 1b. $1$
2a. عدم استمرارية عند $z=-3,\,z = 5$ واستمرارية عند $z = 0$
2b. مستمرة عند $x = 2$ وغير مستمرة عند $x = 3$

• عدم استمرارية عند $t = 1,\,t=\tfrac{4}{3}$

• $0$

• أسيمتات رأسية: $x = 1,\,x = 2$، أسيمتة أفقية: $y = 0$

[Problem]
انظر إلى المعطيات في الرسم المرفق.

[Image]
صورة مرجعية من المستخدم

[Analysis]
هذا المسأله تتعلق بخط مستقيم يمر بالنقاط E, B, D, K وخطين متوازيين AB ∥ CD مع قاطعين، ونريد إثبات أن الشعاع AB منصف للزاوية ∠EBC باستعمال الزوايا المناظرة والمتبادلة وزاوية الخط المستقيم.

[Solution]

• من كون النقاط E, B, D, K على مستقيم واحد، فإن
  $∠EBD + ∠DBK = 180°$.

• عند النقطة D، المعطيات تعطينا:
  $∠BDC = x - 20°$ و $∠CDK = x + 34°$.
  وهما زاويتان متجاورتان على المستقيم، فيتبع أن
  $(x - 20°) + (x + 34°) = 180°$
  $2x + 14° = 180°$
  $x = 83°$.

• بالتعويض نجد:
  $∠BDC = x - 20° = 63°$.

• لأن AB ∥ CD وخطي EBD , CDQ متوازيان مع القاطع EB–BD، تنشأ زاويتان متناظرتان:
  $∠EBA = ∠BDC = 63°$.

• لأن AB ∥ CD والخط القاطع هو BC، تنشأ زاويتان متناظرتان أيضاً:
  $∠ABC = ∠DCB = 63°$.

• إذن
  $∠EBA = ∠ABC$,
  مما يعني أن الشعاع AB ينصف الزاوية $∠EBC$.

[Answer]
الشعاع $AB$ منصف للزاوية $∠EBC$.

بناءً على الصورة المرفقة، إليك حل المسألة بالتفصيل:

[المسألة]
إذا كانت الدالة $f(x)$ معرفة كالتالي:
$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+1} & , 0 \le x < 3 \\ [ \frac{x}{4} + 2 ] & , 3 \le x \le 6 \end{cases}$
ابحثي في اتصال الدالة $f(x)$ على الفترة $[0, 6]$.
(ملاحظة: الرمز $[ \cdot ]$ يمثل دالة الصحيح أو أكبر عدد صحيح).

[التحليل]
المسألة تطلب دراسة اتصال دالة معرفة بأكثر من قاعدة (دالة مجزأة) تشتمل على دالة جذرية ودالة صحيح. للحل، سنتبع الخطوات التالية:

• دراسة الاتصال على الفترات المفتوحة.

• دراسة الاتصال عند نقطة التحول (التشعب) وهي $x = 3$.

• دراسة الاتصال عند النقاط التي تجعل ما بداخل دالة الصحيح عدداً صحيحاً في الفترة المعطاة.

• التحقق من الاتصال عند أطراف الفترة المغلقة.

[الحل]

1. دراسة الاتصال على الفترة $(0, 3)$:
في هذه الفترة، القاعدة هي $f(x) = \sqrt{x + 1}$. وهي دالة جذرية متصلة على مجالها (حيث $x + 1 \ge 0$ أي $x \ge -1$). بما أن الفترة $(0, 3)$ تقع بالكامل داخل هذا المجال، فإن الدالة متصلة على $(0, 3)$.

2. دراسة الاتصال عند نقطة التحول $x = 3$:
يجب أن تتساوى النهاية من اليمين والنهاية من اليسار مع قيمة الدالة:

• قيمة الدالة: $f(3) = [ \frac{3}{4} + 2 ] = [ 0.75 + 2 ] = [ 2.75 ] = 2$.

• النهاية من اليسار: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \sqrt{x + 1} = \sqrt{3 + 1} = 2$.

• النهاية من اليمين: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} [ \frac{x}{4} + 2 ]$. بما أن $x$ تقترب من 3 من جهة اليمين (قيم أكبر قليلاً من 3)، فإن المقدار $\frac{x}{4} + 2$ يقترب من $2.75$ من جهة اليمين، وصحيحه هو $2$.
  بما أن $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = 2$، فإن الدالة متصلة عند $x = 3$.

3. دراسة الاتصال على الفترة $(3, 6)$:
القاعدة هي دالة الصحيح $[ \frac{x}{4} + 2 ]$. تكون هذه الدالة غير متصلة عند النقاط التي تجعل ما بداخل القوس عدداً صحيحاً.
لنبحث عن قيم $x$ التي تجعل $\frac{x}{4} + 2 = k$ (حيث $k$ عدد صحيح) في المدى $3 < x < 6$:
عند $x = 3$، المقدار يساوي $2.75$.
عند $x = 6$، المقدار يساوي $\frac{6}{4} + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$.
العدد الصحيح الوحيد الواقع بين $2.75$ و $3.5$ هو $3$.
نساوي المقدار بالعدد 3:
$\frac{x}{4} + 2 = 3$
$\frac{x}{4} = 1$
$x = 4$
إذن، نحتاج لفحص الاتصال عند $x = 4$.

4. فحص الاتصال عند $x = 4$:

• النهاية من اليسار: $\lim_{x \to 4^-} [ \frac{x}{4} + 2 ]$. عندما تكون $x < 4$ فإن $\frac{x}{4} < 1$، وبالتالي $\frac{x}{4} + 2 < 3$، فيكون الصحيح $2$.

• النهاية من اليمين: $\lim_{x \to 4^+} [ \frac{x}{4} + 2 ]$. عندما تكون $x > 4$ فإن $\frac{x}{4} > 1$، وبالتالي $\frac{x}{4} + 2 > 3$، فيكون الصحيح $3$.
  بما أن النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار، فإن الدالة غير متصلة عند $x = 4$.

5. دراسة الاتصال عند أطراف الفترة:

• عند $x = 0$: $f(0) = \sqrt{0 + 1} = 1$، و $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$. الدالة متصلة من جهة اليمين.

• عند $x = 6$: $f(6) = [ \frac{6}{4} + 2 ] = 3$، و $\lim_{x \to 6^-} f(x) = 3$. الدالة متصلة من جهة اليسار.

[الإجابة]
الدالة $f(x)$ متصلة على الفترة $[0, 6]$ ما عدا عند النقطة $x = 4$.
أي أن الدالة متصلة على:
$[0, 4) \cup (4, 6]$