Solucionador de Geometria

Para resolver estes problemas de Geometria Descritiva, utilizaremos o sistema de dupla projecção ortogonal (Método de Monge), onde as coordenadas são dadas na ordem (abcissa; afastamento; cota).

Análise Geral

• Abscissa (x): Representa a posição horizontal. Por convenção em Portugal, valores positivos situam-se à esquerda da origem.

• Afastamento (y): Distância ao plano frontal de projecção. Valores positivos estão "abaixo" do eixo x na projecção horizontal.

• Cota (z): Distância ao plano horizontal de projecção. Valores positivos estão "acima" do eixo x na projecção frontal.

• Planos Notáveis:* Plano Frontal: Todos os pontos têm o mesmo afastamento.* Plano Horizontal: Todos os pontos têm a mesma cota.

Exercício A: Triângulo Equilátero [ABC] num Plano Frontal

Análise:
O triângulo está num plano frontal, logo o afastamento é constante para todos os vértices. Como $A(4; 3; 2)$, todos os pontos terão afastamento $y = 3$.

Solução Passo a Passo:

• Coordenadas de A: $A(4; 3; 2)$.

• Lado [AC]: É paralelo ao eixo x, logo C tem a mesma cota que A ($z_C = 2$) e o mesmo afastamento ($y_C = 3$).

• Abscissa de C: O lado mede 3 cm. Assim, $x_C = x_A \pm 3$. Vamos assumir $x_C = 4 - 3 = 1$ (ou 7). Usaremos $C(1; 3; 2)$.

• Vértice B: Como o triângulo é equilátero, a projeção frontal é um triângulo equilátero em verdadeira grandeza (VG).* A altura do triângulo é $h = L \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2,60 \text{ cm}$.* A abscissa de B é o ponto médio entre A e C: $x_B = \frac{4 + 1}{2} = 2,5$.* Como B tem a maior cota: $z_B = z_A + h = 2 + 2,60 = 4,60$.* Afastamento de B: $y_B = 3$.

Resposta A:
As coordenadas dos vértices são:
$A(4; 3; 2)$, $B(2,5; 3; 4,60)$ e $C(1; 3; 2)$.

Exercício B: Quadrado Horizontal [ABCD]

Análise:
O quadrado é horizontal, logo todos os pontos têm a mesma cota. Como $A(2; 7; 4)$, a cota de todos os pontos é $z = 4$.

Solução Passo a Passo:

• Vértice C: Tem abcissa $-1$ e pertence ao plano frontal de projecção (afastamento $y = 0$). Logo, $C(-1; 0; 4)$.

• Diagonal [AC]: O ponto médio M da diagonal é o centro do quadrado.* $M = \left( \frac{2 + (-1)}{2}; \frac{7 + 0}{2}; 4 \right) = (0,5; 3,5; 4)$.

• Vértices B e D: Em projeção horizontal, as diagonais de um quadrado são perpendiculares, bissetam-se e têm o mesmo comprimento.* Vetor $\vec{MA} = (2 - 0,5; 7 - 3,5) = (1,5; 3,5)$.* Para encontrar B e D, rodamos este vetor 90º: $\vec{v} = (-3,5; 1,5)$.* $B = M + \vec{v} = (0,5 - 3,5; 3,5 + 1,5) = (-3; 5)$.* $D = M - \vec{v} = (0,5 + 3,5; 3,5 - 1,5) = (4; 2)$.

Resposta B:
As coordenadas são:
$A(2; 7; 4)$, $B(-3; 5; 4)$, $C(-1; 0; 4)$ e $D(4; 2; 4)$.

Exercício C: Quadrado Horizontal [ABCD] com Diagonal Específica

Análise:
O enunciado contém uma lacuna: "a diagonal [AC] pertence ao...". Dado que $A(3; 7; 7)$ e o plano é horizontal (cota 7), é provável que a diagonal pertença ao plano bissector dos quadrantes ímpares ($\beta_{1,3}$), onde $y = z$.

Solução Passo a Passo:

• Vértice C: Se pertence ao $\beta_{1,3}$ e está num plano horizontal de cota 7, então $y_C = z_C = 7$.

• Diagonal [AC]: Como $y_A = 7$ e $y_C = 7$, a diagonal é paralela ao eixo x.* Comprimento = 7 cm. Como A é o vértice "mais à esquerda" (maior abcissa), C está à sua direita.* $x_C = x_A - 7 = 3 - 7 = -4$. Logo, $C(-4; 7; 7)$.

• Vértices B e D: O centro é $M(-0,5; 7; 7)$. A outra diagonal [BD] é perpendicular a [AC] (paralela ao eixo y) e mede 7 cm.* $y_B = 7 + 3,5 = 10,5$ e $y_D = 7 - 3,5 = 3,5$.* Abscissas: $x_B = x_D = -0,5$.

Resposta C:
$A(3; 7; 7)$, $B(-0,5; 10,5; 7)$, $C(-4; 7; 7)$ e $D(-0,5; 3,5; 7)$.

Exercício D: Triângulo Equilátero [ABC] Frontal

Análise:
Plano frontal paralelo ao plano de projecção. Afastamento constante $y = 4$ (de A). Lado = 7 cm.

Solução Passo a Passo:

• Lado [BC] Vertical: Num plano frontal, uma reta vertical tem abcissa constante. Logo, $x_B = x_C$.

• Posição de A: A é o vértice "mais à direita" (menor abcissa). A altura do triângulo é $h = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 6,06 \text{ cm}$.* Como A está à direita ($x = -4$), a reta BC terá abcissa $x = -4 + 6,06 = 2,06$.

• Cotas de B e C: O ponto médio de BC tem a mesma cota que A ($z = 6$).* Como o lado mede 7 cm, B e C estão 3,5 cm acima e abaixo do centro.* $z_B = 6 + 3,5 = 9,5$ e $z_C = 6 - 3,5 = 2,5$.

Resposta D:
As coordenadas são:
$A(-4; 4; 6)$, $B(2,06; 4; 9,5)$ e $C(2,06; 4; 2,5)$.

[Analysis]

A folha de exercícios apresenta três problemas clássicos de Geometria Descritiva (Épura / Projeções Ortogonais) envolvendo a determinação dos pontos de intersecção de rectas com sólidos geométricos (pirâmide hexagonal, prisma quadrangular e prisma pentagonal) em sistemas de dupla projecção ortogonal (Plano Horizontal de Projecção - PHP e Plano Frontal de Projecção - PVP/PFP).

Métodos e Teoremas Utilizados:

• Propriedades das Projecções de Pontos, Rectas e Planos:- Recta de Topo: Perpendicular ao PVP e paralela ao PHP. A sua projecção frontal reduz-se a um único ponto $t_2$, e a sua projecção horizontal $t_1$ é perpendicular à Linha de Terra (LT).- Recta de Nível: Paralela ao PHP. Tem cota constante (projecção frontal $n_2$ paralela à LT) e projecção horizontal $n_1$ inclinada segundo o ângulo com o PVP.- Recta Oblíqua: Inclinada em relação a ambos os planos de projecção. As suas projecções $r_1$ e $r_2$ são oblíquas à LT.- Plano de Topo: Perpendicular ao PVP e oblíquo ao PHP. O seu traço frontal $f_\alpha$ define a projecção de todas as figuras contidas nele.- Plano Bissector $B_{\frac{1}{3}}$ (Primeiro Bissector): Conjunto dos pontos com cota e afastamento iguais em valor absoluto e sinal ($y = z$ no 1.º quadrante).

• Método Geral de Intersecção de Rectas com Sólidos:- Passa-se pela recta dada um plano auxiliar projectante (plano de topo, plano vertical ou plano de nível).- Determina-se a secção produzida pelo plano auxiliar no sólido geométrico.- Os pontos onde a recta cruza o contorno da secção são os pontos de intersecção de entrada e saída ($I$ e $K$).- Analisa-se a visibilidade das arestas do sólido e do segmento de recta interior e exterior.

[Solution]

PROBLEMA 1: Intersecção de uma Recta de Topo com uma Pirâmide Hexagonal Recta

1. Dados do Sólido (Pirâmide Hexagonal):

• Eixo da pirâmide: Recta vertical passando pelo centro da base $O$ e pelo vértice $V$.

• Centro da base: $O(3{,}5; 3{,}5; 4{,}5)$ (abscissa $x_O = 3{,}5 \text{ cm}$, afastamento $y_O = 3{,}5 \text{ cm}$, cota $z_O = 4{,}5 \text{ cm}$).

• Vértice da pirâmide: $V(3{,}5; 3{,}5; 0{,}5)$ (abscissa $x_V = 3{,}5 \text{ cm}$, afastamento $y_V = 3{,}5 \text{ cm}$, cota $z_V = 0{,}5 \text{ cm}$).

• Base: Hexágono regular inscrito numa circunferência de raio $R = 3 \text{ cm}$, situado num plano de nível a cota $z = 4{,}5 \text{ cm}$.

• Orientação da base: Duas das arestas da base são de topo (paralelas ao eixo $y$, ou seja, perpendiculares à LT na projecção horizontal).

• Visibilidade na Projecção Horizontal: Como a base tem cota superior ($z_O = 4{,}5 \text{ cm}$) em relação ao vértice ($z_V = 0{,}5 \text{ cm}$), ao olhar de cima, a base encobre o vértice e as arestas laterais. Logo, as arestas laterais são invisíveis (desenhadas a traço interrompido) na projecção horizontal.

2. Construção da Pirâmide em Épura:

• Projecção Frontal:- A base projecta-se numa linha paralela à LT na cota $z = 4{,}5 \text{ cm}$, limitada pelos vértices opostos com comprimento de $2R = 6 \text{ cm}$ (de $x = 2{,}0 \text{ cm}$ a $x = 5{,}0 \text{ cm}$).- O vértice projecta-se no ponto $V_2(3{,}5; 0{,}5)$.- As arestas laterais ligam os vértices da base a $V_2$ na projecção frontal.

• Projecção Horizontal:- A base é um hexágono regular em Verdadeira Grandeza (VG) centrado em $O_1(3{,}5; 3{,}5)$.- Com duas arestas de topo, os seis vértices $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ situam-se em:- $A_1(5{,}0; 3{,}5 + 1{,}5\sqrt{3}) = (5{,}0; 6{,}10)$- $B_1(2{,}0; 3{,}5 + 1{,}5\sqrt{3}) = (2{,}0; 6{,}10)$- $C_1(0{,}5; 3{,}5)$- $D_1(2{,}0; 3{,}5 - 1{,}5\sqrt{3}) = (2{,}0; 0{,}90)$- $E_1(5{,}0; 3{,}5 - 1{,}5\sqrt{3}) = (5{,}0; 0{,}90)$- $F_1(6{,}5; 3{,}5)$- As arestas $A B$ e $D E$ são perpendiculares à LT (rectas de topo).

3. Projecções da Recta de Topo <<| t |>>:

• Cota constante: $z_t = 3{,}5 \text{ cm}$.

• Projecção horizontal $t_1$: dista $1 \text{ cm}$ à direita do eixo da pirâmide ($x = 3{,}5 \text{ cm}$), situando-se a $x_t = 3{,}5 + 1{,}0 = 4{,}5 \text{ cm}$.

• Projecção frontal $t_2$: reduz-se ao ponto de coordenadas $(x = 4{,}5 \text{ cm}; z = 3{,}5 \text{ cm})$.

4. Determinação dos Pontos de Intersecção:

• Como a recta $t$ é uma recta de topo, a sua projecção frontal $t_2$ coincide acumuladamente com as projecções frontais de todos os seus pontos.

• Na projecção frontal, o ponto $t_2(4{,}5; 3{,}5)$ situa-se no interior do triângulo frontal da pirâmide.

• Utiliza-se um plano auxiliar de topo $\alpha$ coincidente com a recta $t$ (cota $z = 3{,}5 \text{ cm}$).

• A intersecção da recta $t$ com a superfície da pirâmide produz dois pontos:- Ponto de Entrada $I$: situado na face lateral frontal/inferior da pirâmide.- Ponto de Saída $K$: situado na face lateral posterior/superior da pirâmide.

• Coordenadas dos Pontos de Intersecção:- Ambas as projecções frontais coincidem em $I_2 \equiv K_2 \equiv t_2(4{,}5; 3{,}5)$.- Projectando verticalmente para a projecção horizontal sobre as faces correspondentes à abscissa $x = 4{,}5 \text{ cm}$ e cota $z = 3{,}5 \text{ cm}$:- O raio da secção horizontal da pirâmide à cota $z = 3{,}5 \text{ cm}$ (distância ao vértice $\Delta z = 3{,}0 \text{ cm}$ de um total de $h = 4{,}0 \text{ cm}$) é proporcional a $\frac{3}{4} R = 2{,}25 \text{ cm}$.- Portanto, as projecções horizontais $I_1$ e $K_1$ situam-se na linha de chamada $x = 4{,}5 \text{ cm}$, com afastamentos obtidos na secção hexagonal correspondente:- $I_1(4{,}5; 1{,}80)$- $K_1(4{,}5; 5{,}20)$

PROBLEMA 2: Intersecção de uma Recta de Nível com um Prisma Quadrangular Regular Recto

1. Dados do Sólido (Prisma Quadrangular Regular Recto):

• Base $[ABCD]$: Quadrado contido num plano de topo $\alpha$ que faz um ângulo de $45^\circ$ (abertura à esquerda, a.e.) com o PHP.

• Diagonal $AC$: Pertence ao primeiro plano bissector $B_{\frac{1}{3}}$ (onde afastamento e cota são iguais, $y = z$) e mede $6 \text{ cm}$.

• Vértice $A$ da base: Tem cota $z_A = 1{,}5 \text{ cm}$. Como $A \in B_{\frac{1}{3}}$, o seu afastamento é $y_A = 1{,}5 \text{ cm}$.

• Traço frontal do plano $\alpha$ ($f_\alpha$): Passa pela projecção frontal $A_2$ a cota $z_A = 1{,}5 \text{ cm}$ fazendo um ângulo de $45^\circ$ (a.e.) com a LT.

• Determinação do Vértice $C$:- Sabendo que $C \in B_{\frac{1}{3}}$ (logo $y_C = z_C$) e que a distância $AC = 6 \text{ cm}$, determina-se a posição de $C$ no plano de topo $\alpha$.- Rebatendo o plano de topo $\alpha$ sobre o PVP ou PHP, desenha-se o quadrado $[ABCD]$ em Verdadeira Grandeza (VG) com diagonal $AC = 6 \text{ cm}$ e lado $a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 \text{ cm}$.

• Altura do Prisma: $h = 6{,}5 \text{ cm}$.- Sendo um prisma recto, as arestas laterais são perpendiculares ao plano de topo $\alpha$.- Rectas perpendiculares a um plano de topo são rectas frontais inclinadas a $45^\circ$ em projecção frontal e paralelas à LT em projecção horizontal.

2. Dados da Recta de Nível <<| n |>>:

• Paralela ao PHP, faz um ângulo de $60^\circ$ (abertura à esquerda, a.e.) com o PVP.

• Cota constante: $z_n = 6 \text{ cm}$.

• Traço frontal $F$: Cota $z_F = 6 \text{ cm}$, cuja linha de chamada dista $3 \text{ cm}$ à direita do vértice $A$ ($x_F = x_A + 3{,}0 \text{ cm}$).

• Projecção frontal $n_2$: Recta paralela à LT na cota $z = 6 \text{ cm}$.

• Projecção horizontal $n_1$: Passa por $F_1$ (na LT a $x = x_A + 3 \text{ cm}$) e faz um ângulo de $60^\circ$ (a.e.) com a LT.

3. Determinação dos Pontos de Intersecção:

• Passa-se pela recta de nível $n$ um plano auxiliar de nível $u$ a cota $z = 6 \text{ cm}$.

• Determina-se a secção produzida pelo plano $u$ nas arestas e faces do prisma:- Na projecção frontal, a secção projecta-se sobre a recta de cota $z = 6 \text{ cm}$.- Transferem-se os pontos de intersecção da cota $z = 6 \text{ cm}$ com as arestas do prisma para a projecção horizontal, obtendo-se o polígono da secção $S_1$.

• A intersecção da projecção horizontal da recta $n_1$ com o contorno da secção $S_1$ fornece as projecções horizontais dos pontos de intersecção:- Ponto de Entrada $I_1$ e Ponto de Saída $K_1$.

• Elevam-se as linhas de chamada de $I_1$ e $K_1$ até à projecção frontal $n_2$ (na cota $z = 6 \text{ cm}$), obtendo-se $I_2$ e $K_2$.

PROBLEMA 3: Intersecção de uma Recta Oblíqua com um Prisma Pentagonal Oblíquo

1. Dados do Sólido (Prisma Pentagonal Oblíquo):

• Bases de Nível (Planos Horizontais):- Base Superior: Centro $O(2; 6; 6)$ (abscissa $x = 2 \text{ cm}$, afastamento $y = 6 \text{ cm}$, cota $z = 6 \text{ cm}$).- Base Inferior: Centro $O'(6; 4; 0{,}5)$ (abscissa $x = 6 \text{ cm}$, afastamento $y = 4 \text{ cm}$, cota $z = 0{,}5 \text{ cm}$).

• Geometria das Bases: Pentágonos regulares inscritos em circunferências de raio $R = 3{,}5 \text{ cm}$ em Verdadeira Grandeza nas projecções horizontais.

• Orientação da Base Inferior: A aresta de menor abscissa da base inferior é uma recta de topo (perpendicular ao PVP, paralela ao eixo dos $y$).

• Arestas Laterais: Direcção definida pelo vector do eixo $\vec{u} = O - O' = (2 - 6; 6 - 4; 6 - 0{,}5) = (-4; 2; 5{,}5)$. Todas as arestas laterais são paralelas ao vector $\vec{u}$.

2. Dados da Recta Oblíqua <<| r |>>:

• Passa pelo ponto de traço na LT: $R(-2; 0; 0)$.

• Ângulo com o PFP / PVP: $45^\circ$ (abertura à direita, a.d.).

• Ângulo com o PHP: $30^\circ$ (abertura à direita, a.d.).

• Projecções da Recta $r$:- $r_1$ passa por $R_1(-2; 0)$ fazendo $45^\circ$ (a.d.) com a LT.- $r_2$ passa por $R_2(-2; 0)$ fazendo $30^\circ$ (a.d.) com a LT.

3. Determinação dos Pontos de Intersecção:

• Passa-se pela recta $r$ um plano auxiliar vertical $\gamma$ (cujo traço horizontal $h_\gamma$ coincide com a projecção horizontal $r_1$).

• O plano vertical $\gamma$ corta as bases superior e inferior do prisma nos pontos de intersecção das linhas das bases com $r_1$, gerando uma secção paralelogrâmica no prisma.

• Transpõem-se os pontos da secção das bases para a projecção frontal através das linhas de chamada, construindo a projecção frontal da secção $S_2$.

• A intersecção da projecção frontal da recta $r_2$ com as arestas do paralelogramo da secção $S_2$ determina as projecções frontais dos pontos de intersecção:- Ponto de Entrada $I_2$ e Ponto de Saída $K_2$.

• Projectam-se $I_2$ e $K_2$ verticalmente sobre a projecção horizontal $r_1$ para obter $I_1$ e $K_1$.

[Answer]

O resumo das soluções e coordenadas dos pontos de intersecção para cada um dos três problemas é apresentado a seguir:

1. Resposta do Problema 1:

• Recta de Topo $t$: Abscissa constante $x_t = 4{,}5 \text{ cm}$ e cota constante $z_t = 3{,}5 \text{ cm}$.

• Pontos de Intersecção da Recta $t$ com a Pirâmide Hexagonal:- $I(4{,}5; 1{,}80; 3{,}5)$ (Ponto de entrada na face frontal)- $K(4{,}5; 5{,}20; 3{,}5)$ (Ponto de saída na face posterior)- Projecção Frontal: $I_2 \equiv K_2 \equiv t_2(4{,}5; 3{,}5)$- Projecção Horizontal: $I_1(4{,}5; 1{,}80)$ (visível) e $K_1(4{,}5; 5{,}20)$ (invisível/encoberto pela base)

2. Resposta do Problema 2:

• Recta de Nível $n$: Cota constante $z_n = 6 \text{ cm}$, inclinada a $60^\circ$ (a.e.) na projecção horizontal a partir de $F_1(x_A + 3; 0)$.

• Pontos de Intersecção da Recta $n$ com o Prisma Quadrangular Regular:- Ambas as projecções frontais situam-se na recta de cota $z = 6 \text{ cm}$: $I_2$ e $K_2$.- As projecções horizontais $I_1$ e $K_1$ são obtidas na intersecção de $n_1$ com o polígono da secção horizontal do prisma à cota $z = 6 \text{ cm}$.

3. Resposta do Problema 3:

• Recta Oblíqua $r$: Passa por $R(-2; 0; 0)$ com ângulos $\alpha = 30^\circ \text{ (PHP, a.d.)}$ e $\beta = 45^\circ \text{ (PFP, a.d.)}$.

• Pontos de Intersecção da Recta $r$ com o Prisma Pentagonal Oblíquo:- Obtidos através da secção produzida pelo plano auxiliar vertical $\gamma$ que contém a recta $r$:- Ponto de Entrada $I(x_I; y_I; z_I)$- Ponto de Saída $K(x_K; y_K; z_K)$

Este é um problema de Geometria Descritiva envolvendo a representação de um sólido (pirâmide triangular oblíqua) e a determinação da sua secção por um plano de rampa.

[Análise]

• Sólido: Uma pirâmide triangular oblíqua situada no 1º diedro.

• Base: Um triângulo equilátero $[ABC]$ contido num plano horizontal $\alpha$. Assumiremos que a base está no Plano Horizontal de Projeção (cota 0), pois a altura do sólido (7 cm) coincide com a cota do traço frontal do plano secante, o que sugere uma relação geométrica específica.

• Vértice $V$: Tem afastamento nulo (pertence ao Plano Frontal de Projeção) e cota igual à altura do sólido (7 cm).

• Eixo: A reta que une o centro da base ao vértice faz $45^\circ$ (abertura à esquerda) com o eixo $x$ em projeção horizontal.

• Plano Secante $\rho$: Um plano de rampa definido pelos seus traços: $h_\rho$ com 8 cm de afastamento e $f_\rho$ com 7 cm de cota.

• Objetivo: Determinar as projeções da secção e do sólido resultante (parte entre o plano e os planos de projeção).

[Solução]

Passo 1: Construção da Base $[ABC]$

• O plano $\alpha$ é horizontal, logo a base projeta-se em verdadeira grandeza (VG) no plano horizontal. Assumimos cota 0.

• Ponto A: Projeção horizontal $a_1$ tem afastamento 2 cm (abscissa arbitrária, ex: 1). Projeção frontal $a_2$ está no eixo $x$.

• Lado [AB]: Mede 6 cm e faz $45^\circ$ (abertura à esquerda) com o plano frontal. A partir de $a_1$, desenhamos um segmento de 6 cm que faz $45^\circ$ com o eixo $x$ (para a esquerda e aumentando o afastamento para manter no 1º diedro). Obtemos $b_1$.

• Ponto C: Construímos o triângulo equilátero $[a_1b_1c_1]$. O ponto $c_1$ terá o maior afastamento possível.

• As projeções frontais $a_2, b_2, c_2$ coincidem todas no eixo $x$.

Passo 2: Determinação do Vértice $V$

• Centro da Base (M): Determinamos o baricentro $m_1$ do triângulo $[a_1b_1c_1]$.

• Eixo da Pirâmide: Traçamos por $m_1$ uma reta que faz $45^\circ$ (abertura à esquerda) com o eixo $x$. A interseção desta reta com o eixo $x$ (onde o afastamento é zero) é a projeção $v_1$ do vértice.

• Cota de V: Como a altura é 7 cm e a base está na cota 0, a projeção frontal $v_2$ tem cota 7 cm.

Passo 3: Representação do Plano de Rampa $\rho$

• Traçamos o traço horizontal $h_\rho$ paralelo ao eixo $x$ com afastamento de 8 cm.

• Traçamos o traço frontal $f_\rho$ paralelo ao eixo $x$ com cota de 7 cm.

Passo 4: Determinação da Secção

• Observamos que o vértice $V$ tem cota 7 e afastamento 0, logo ele pertence exatamente ao traço frontal $f_\rho$ do plano.

• Verificamos os afastamentos dos pontos da base: $a_1$ (2 cm), $b_1$ (aprox. 6,24 cm) e $c_1$ (aprox. 7,80 cm). Todos são inferiores ao afastamento de $h_\rho$ (8 cm).

• Como o vértice está no plano e a base está "abaixo" da linha que une os traços do plano de rampa (visto de perfil), o plano não atravessa a pirâmide; ele apenas a toca no vértice $V$.

• Nota: Se o cálculo manual ou o desenho rigoroso mostrar que $c_1$ tem afastamento ligeiramente superior a 8 cm, haveria uma pequena secção triangular perto desse vértice. Contudo, com os dados fornecidos (afastamento 2, lado 6, ângulo 45º), o afastamento máximo é $2 + 6 \sin(45^\circ) \cdot \cos(30^\circ) ... \approx 7,8$ cm, permanecendo abaixo de 8 cm.

Passo 5: Sólido Resultante

• O problema pede a parte do sólido compreendida entre o plano secante e os planos de projeção.

• Visto que a pirâmide inteira está situada no espaço entre o plano $\rho$ e os planos de projeção (HPP e FPP), o sólido resultante é a própria pirâmide completa.

[Answer]

O sólido resultante da secção é a própria pirâmide triangular oblíqua, uma vez que o plano de rampa $\rho$ apenas tangencia o sólido no seu vértice $V$ (pois $V \in f_\rho$) e a base $[ABC]$ encontra-se inteiramente no espaço delimitado pelo plano e pelos planos de projeção (afastamentos dos vértices da base $< 8$ cm). As projeções do sólido resultante coincidem com as projeções da pirâmide original, devendo ser representadas com as devidas visibilidades e invisibilidades: as arestas da base são visíveis em projeção horizontal, e as arestas laterais convergem para $V$.

As coordenadas aproximadas dos pontos (em cm) são:

• $A(1; 2; 0)$

• $B(-3,24; 6,24; 0)$

• $C(2,55; 7,80; 0)$

• $V(x_V; 0; 7)$, onde $x_V$ é determinado pela direção do eixo a $45^\circ$.

Este é um problema de Geometria Analítica que requer a tradução de uma imagem visual para uma descrição matemática precisa num plano cartesiano.

[Analysis]

Para resolver este problema, seguiremos estes passos:

• Estabelecimento do Referencial: Definiremos a origem e os eixos sobre a grelha, determinando a escala (unidades por quadrícula).

• Análise da Circunferência: Identificaremos o centro e o raio contando as quadrículas.

• Determinação dos Pontos e Retas: Identificaremos as coordenadas dos pontos $B, I, O, H$ e $C$. Usaremos a fórmula do declive $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ e a equação da reta $y = mx + b$ para definir as quatro retas, garantindo que as condições de paralelismo sejam satisfeitas.

• Finalização: Descreveremos como transformar as retas infinitas nos segmentos que compõem o logótipo.

[Solution]

1. Definição do referencial
Para que o desenho seja centrado e simétrico:

• O eixo das abcissas (xx) deve ser a reta horizontal que passa pelos pontos $B, O$ e $C$.

• O eixo das ordenadas (yy) deve ser a reta vertical que passa pelo ponto $O$.

• Escala: Atribuímos a cada quadrícula da grelha o valor de 1 unidade. Assim, 1 unidade = 1 quadrícula.

• O ponto $O$ será a origem do referencial, com coordenadas $(0, 0)$.

2. Descrição da circunferência
Observando a grelha e contando a partir do centro $O(0,0)$:

• O centro é o ponto $O(0,0)$.

• O raio $r$ é a distância de $O$ até à extremidade horizontal (ponto $C$) ou vertical. Contando as quadrículas, obtemos $r = 10$.

• A equação da circunferência é $x^2 + y^2 = 100$.

3. Determinação das condições matemáticas das 4 retas
Primeiro, extraímos as coordenadas dos pontos da grelha:

• $O = (0, 0)$

• $B = (-10, 0)$ (10 unidades à esquerda de $O$)

• $C = (10, 0)$ (10 unidades à direita de $O$)

• $I = (-5, 7)$ (5 unidades à esquerda e 7 unidades acima de $O$)

• $H = (5, 7)$ (5 unidades à direita e 7 unidades acima de $O$)

Cálculo das equações (forma $y = mx + b$):

• Equação da reta BI:
  Passa por $B(-10, 0)$ e $I(-5, 7)$.
  Declive: $m = \frac{7 - 0}{-5 - (-10)} = \frac{7}{5} = 1.4$.
  Usando o ponto $B$: $y - 0 = 1.4(x + 10) \Rightarrow y = 1.4x + 14$.

• Equação da reta OI:
  Passa por $O(0, 0)$ e $I(-5, 7)$.
  Declive: $m = \frac{7 - 0}{-5 - 0} = -1.4$.
  Como passa na origem, $b = 0$.
  Equação: $y = -1.4x$.

• Equação da reta OH:
  Passa por $O(0, 0)$ e $H(5, 7)$.
  Declive: $m = \frac{7 - 0}{5 - 0} = 1.4$.
  Equação: $y = 1.4x$.

• Equação da reta HC:
  Passa por $H(5, 7)$ e $C(10, 0)$.
  Declive: $m = \frac{0 - 7}{10 - 5} = -1.4$.
  Usando o ponto $C$: $y - 0 = -1.4(x - 10) \Rightarrow y = -1.4x + 14$.

Verificação: As retas $BI$ e $OH$ têm o mesmo declive (1.4), logo são paralelas. As retas $OI$ e $HC$ têm o mesmo declive (-1.4), logo são paralelas.

4. Descrição das "partes a apagar"
Para obter o logótipo final:

• Deves desenhar apenas os segmentos de reta que ligam os pontos: $[BI], [IO], [OH]$ e $[HC]$. Todas as extensões destas retas para fora destes intervalos devem ser apagadas.

• Deves manter o segmento horizontal $[BC]$ que une os pontos na base.

• A circunferência deve ser mantida completa.

[Answer]

• Referencial: Eixo $xx$ horizontal e eixo $yy$ vertical com origem em $O(0,0)$. Escala: 1 unidade = 1 quadrícula.

• Circunferência: Centro em $(0, 0)$ e raio $r = 10$.

• Equações das retas:

  • Equação da reta BI: $y = 1.4x + 14$

  • Equação da reta OI: $y = -1.4x$

  • Equação da reta OH: $y = 1.4x$

  • Equação da reta HC: $y = -1.4x + 14$

• Partes a apagar: Devem ser apagadas todas as partes das retas que não pertençam aos segmentos $[BI], [IO], [OH]$ e $[HC]$, mantendo-se a circunferência e o segmento horizontal $[BC]$.