ตัวแก้โจทย์ฟิสิกส์

[Analysis]

ปัญหานี้เกี่ยวกับสมการดิแรค (Dirac equation) ในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งเป็นฟิสิกส์ควอนตัมสัมพัทธภาพ (relativistic quantum mechanics) โดยมีสองส่วนหลักที่ต้องแก้:

• การหาสมการดิแรคแบบกำลังสอง (quadratic Dirac equation): ต้องคูณสมการดิแรคเดิมด้วยตัวดำเนินการ (operator) ที่กำหนดให้ เพื่อให้ได้รูปแบบที่คล้ายสมการไคลน์-กอร์ดอน (Klein-Gordon equation) แต่มีเทอมเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับสปินและสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

• การพิสูจน์เอกลักษณ์ (identity): แสดงให้เห็นว่า $\sigma^{\mu u} F_{\mu u} = 2i\left(\vec{\alpha} \cdot \vec{E} + i\vec{\Sigma} \cdot \vec{B}\right)$ โดยใช้นิยามของเมทริกซ์แกมมา (gamma matrices) และเทนเซอร์สนามแม่เหล็กไฟฟ้า

หลักการสำคัญที่ใช้:

• อนุพัทธ์ควบแน่น (covariant derivative): $\pi_{\mu} = i\hbar\partial_{\mu} - \frac{q}{c}A_{\mu}$

• ความสัมพันธ์ของเมทริกซ์แกมมา: $\{\gamma^{\mu}, \gamma^{ u}\} = 2g^{\mu u}$ และ $\sigma^{\mu u} = \frac{i}{2}[\gamma^{\mu}, \gamma^{ u}]$

• คอมมิวเทเตอร์ของอนุพัทธ์ควบแน่น: $[\pi_{\mu}, \pi_{ u}] = -\frac{iq\hbar}{c}F_{\mu u}$

• ส่วนประกอบของเทนเซอร์สนาม: $F_{0i} = E_i$ และ $F_{ij} = -\epsilon_{ijk}B_k$ (สำหรับเมทริกซ์ลายเซ็น $(+,-,-,-)$)

[Solution]

ขั้นตอนที่ 1: นิยามตัวดำเนินการโมเมนตัมควบแน่น

นิยามตัวดำเนินการ $\pi_{\mu}$ ดังนี้:
<<|
\pi_{\mu} \equiv i\hbar\partial_{\mu} - \frac{q}{c}A_{\mu}
|>>

สมการดิแรคเดิมเขียนได้ว่า:
<<|
\left[-\gamma^{\mu}\pi_{\mu} + mc\right]\psi = 0
|>>

หรือเทียบเท่ากับ:
<<|
\left(\gamma^{\mu}\pi_{\mu} - mc\right)\psi = 0
|>>

ขั้นตอนที่ 2: คูณสมการด้วยตัวดำเนินการที่กำหนด

คูณสมการด้านบนด้วย $\left(\gamma^{ u}\pi_{ u} + mc\right)$ ทั้งสองด้าน:
<<|
\left(\gamma^{\nu}\pi_{\nu} + mc\right)\left(-\gamma^{\mu}\pi_{\mu} + mc\right)\psi = 0
|>>

ขยายผลคูณ:
<<|
= -\gamma^{\nu}\pi_{\nu}\gamma^{\mu}\pi_{\mu} + mc\gamma^{\nu}\pi_{\nu} - mc\gamma^{\mu}\pi_{\mu} + m^{2}c^{2}
|>>

เนื่องจาก $\mu$ และ $u$ เป็นดัชนีที่รวม (dummy indices) เทอมที่สองและสามจึงหักล้างกัน ได้:
<<|
= -\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}\pi_{\nu}\pi_{\mu} + m^{2}c^{2} = 0
|>>

ขั้นตอนที่ 3: ใช้เอกลักษณ์ของเมทริกซ์แกมมา

แยก $\gamma^{ u}\gamma^{\mu}$ เป็นส่วนสมมาตรและปฏิสมมาตร:
<<|
\gamma^{\nu}\gamma^{\mu} = \frac{1}{2}\{\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}\} + \frac{1}{2}[\gamma^{\nu}, \gamma^{\mu}] = g^{\nu\mu} - i\sigma^{\nu\mu} = g^{\mu\nu} + i\sigma^{\mu\nu}
|>>

โดยใช้ $\sigma^{ u\mu} = -\sigma^{\mu u}$ จึงได้:
<<|
\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}\pi_{\nu}\pi_{\mu} = \left(g^{\mu\nu} + i\sigma^{\mu\nu}\right)\pi_{\nu}\pi_{\mu} = \pi^{\mu}\pi_{\mu} + i\sigma^{\mu\nu}\pi_{\nu}\pi_{\mu}
|>>

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณคอมมิวเทเตอร์ $[\pi_{\mu}, \pi_{ u}]$

คำนวณคอมมิวเทเตอร์ของตัวดำเนินการ $\pi_{\mu}$:
<<|
[\pi_{\mu}, \pi_{\nu}] = \left[i\hbar\partial_{\mu} - \frac{q}{c}A_{\mu}, i\hbar\partial_{\nu} - \frac{q}{c}A_{\nu}\right]
|>>

<<|
= -\frac{iq\hbar}{c}\left([\partial_{\mu}, A_{\nu}] + [A_{\mu}, \partial_{\nu}]\right) = -\frac{iq\hbar}{c}\left(\partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu}\right) = -\frac{iq\hbar}{c}F_{\mu\nu}
|>>

ดังนั้น:
<<|
\pi_{\nu}\pi_{\mu} = \pi_{\mu}\pi_{\nu} + [\pi_{\nu}, \pi_{\mu}] = \pi_{\mu}\pi_{\nu} + \frac{iq\hbar}{c}F_{\mu\nu}
|>>

ขั้นตอนที่ 5: จัดรูปเทอม $\sigma^{\mu u}\pi_{ u}\pi_{\mu}$

เนื่องจาก $\sigma^{\mu u}$ เป็นปฏิสมมาตร (antisymmetric) จึงสามารถเขียน:
<<|
\sigma^{\mu\nu}\pi_{\nu}\pi_{\mu} = \frac{1}{2}\sigma^{\mu\nu}[\pi_{\nu}, \pi_{\mu}] = -\frac{1}{2}\sigma^{\mu\nu}[\pi_{\mu}, \pi_{\nu}] = -\frac{1}{2}\sigma^{\mu\nu}\left(-\frac{iq\hbar}{c}F_{\mu\nu}\right) = \frac{iq\hbar}{2c}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}
|>>

แทนกลับเข้าไปในสมการ:
<<|
\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}\pi_{\nu}\pi_{\mu} = \pi^{\mu}\pi_{\mu} + i\left(\frac{iq\hbar}{2c}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\right) = \pi^{\mu}\pi_{\mu} - \frac{q\hbar}{2c}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}
|>>

ได้สมการดิแรคแบบกำลังสอง:
<<|
\left[\left(i\hbar\partial^{\mu} - \frac{q}{c}A^{\mu}\right)\left(i\hbar\partial_{\mu} - \frac{q}{c}A_{\mu}\right) - \frac{q\hbar}{2c}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - m^{2}c^{2}\right]\psi = 0
|>>

ขั้นตอนที่ 6: คำนวณ $\sigma^{\mu u}$ ในการแทนของดิแรค (Dirac representation)

ในการแทนของดิแรค:
<<|
\gamma^{0} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \quad \gamma^{i} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^{i} \\ -\sigma^{i} & 0 \end{pmatrix}
|>>

สำหรับส่วนประกอบเวลา-พื้นที่:
<<|
\sigma^{0i} = \frac{i}{2}[\gamma^{0}, \gamma^{i}] = i\gamma^{0}\gamma^{i} = i\begin{pmatrix} 0 & \sigma^{i} \\ \sigma^{i} & 0 \end{pmatrix} = i\alpha^{i}
|>>

สำหรับส่วนประกอบพื้นที่-พื้นที่:
<<|
\sigma^{ij} = \frac{i}{2}[\gamma^{i}, \gamma^{j}] = \frac{i}{2}\begin{pmatrix} -[\sigma^{i}, \sigma^{j}] & 0 \\ 0 & -[\sigma^{i}, \sigma^{j}] \end{pmatrix} = \epsilon^{ijk}\begin{pmatrix} \sigma^{k} & 0 \\ 0 & \sigma^{k} \end{pmatrix} = \epsilon^{ijk}\Sigma^{k}
|>>

โดย $\vec{\Sigma} = \begin{pmatrix} \vec{\sigma} & 0 \\ 0 & \vec{\sigma} \end{pmatrix}$ และ $\vec{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & \vec{\sigma} \\ \vec{\sigma} & 0 \end{pmatrix}$

ขั้นตอนที่ 7: คำนวณ $\sigma^{\mu u}F_{\mu u}$

ใช้ส่วนประกอบของเทนเซอร์สนาม $F_{0i} = E_{i}$ และ $F_{ij} = -\epsilon_{ijk}B_{k}$:
<<|
\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 2\sigma^{0i}F_{0i} + \sigma^{ij}F_{ij}
|>>

คำนวณแต่ละเทอม:
<<|
2\sigma^{0i}F_{0i} = 2(i\alpha^{i})(E_{i}) = 2i\vec{\alpha} \cdot \vec{E}
|>>

<<|
\sigma^{ij}F_{ij} = (\epsilon^{ijk}\Sigma^{k})(-\epsilon_{ijm}B_{m}) = -\epsilon^{ijk}\epsilon_{ijm}\Sigma^{k}B_{m} = -2\delta_{km}\Sigma^{k}B_{m} = -2\vec{\Sigma} \cdot \vec{B}
|>>

รวมกัน:
<<|
\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 2i\vec{\alpha} \cdot \vec{E} - 2\vec{\Sigma} \cdot \vec{B} = 2i\left(\vec{\alpha} \cdot \vec{E} + i\vec{\Sigma} \cdot \vec{B}\right)
|>>

[Answer]

สมการดิแรคแบบกำลังสองที่ได้คือ:
<<|
\left[\left(i\hbar\partial^{\mu} - \frac{q}{c}A^{\mu}\right)\left(i\hbar\partial_{\mu} - \frac{q}{c}A_{\mu}\right) - \frac{q\hbar}{2c}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - m^{2}c^{2}\right]\psi(x^{\mu}) = 0
|>>

และได้พิสูจน์ว่า:
<<|
\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 2i\left(\vec{\alpha} \cdot \vec{E} + i\vec{\Sigma} \cdot \vec{B}\right)
|>>

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเทอม $\sigma^{\mu u}F_{\mu u}$ เกี่ยวข้องกับการมีส่วนร่วมของสปินของอิเล็กตรอนกับสนามไฟฟ้า (เทอม $\vec{\alpha} \cdot \vec{E}$) และสนามแม่เหล็ก (เทอม $\vec{\Sigma} \cdot \vec{B}$) โดย $\vec{\Sigma}$ เป็นเมทริกซ์สปิน (spin matrix) และ $\vec{\alpha}$ เป็นเมทริกซ์ความเร็ว (velocity matrix) ในทฤษฎีดิแรค.

จากการวิเคราะห์รูปภาพ นี่คือโจทย์ฟิสิกส์เกี่ยวกับ กระแสไฟฟ้า (Electric Current) ซึ่งเป็นหัวข้อในวงจรไฟฟ้ากระแสตรง โจทย์ประกอบด้วยคำถามเชิงความเข้าใจพื้นฐาน 3 ข้อ ดังนั้นผมจะทยอยอธิบายทีละขั้นตอนอย่างละเอียด

---

[Analysis]

ประเภทของปัญหา: ฟิสิกส์ไฟฟ้า - กระแสไฟฟ้าและวงจรไฟฟ้า (DC Circuits)

หลักการที่ใช้:

• นิยามของกระแสไฟฟ้า $I = \frac{Q}{t}$

• คุณสมบัติของปริมาณสเกลาร์และเวกเตอร์

• กฎของ Kirchhoff (กฎของกระแส - Current Law)

• สมการความต่อเนื่องของกระแสในวงจรอนุกรม

• ความสัมพันธ์ระหว่างกระแสไฟฟ้ากับความหนาแน่นของกระแสและความเร็วอิเล็กตรอน $I = nAev$

---

[Solution]

ข้อ 3-1: ปริมาณประจุไฟฟ้าในหนึ่งหน่วยเวลา หมายถึงอะไร

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์ความหมาย

• ประจุไฟฟ้า (Electric Charge) คือคุณสมบัติพื้นฐานของอนุภาคที่มีหน่วยเป็น คูลอมบ์ (Coulomb, C)

• เวลา (Time) มีหน่วยเป็น วินาที (Second, s)

ขั้นตอนที่ 2: นิยามทางฟิสิกส์
$I = \frac{Q}{t}$

เมื่อ:

• $I$ = กระแสไฟฟ้า (Electric Current)

• $Q$ = ปริมาณประจุไฟฟ้าที่เคลื่อนที่ผ่านพื้นที่หน้าตัด

• $t$ = ระยะเวลาที่ใช้

ขั้นตอนที่ 3: สรุปความหมาย
ปริมาณประจุไฟฟ้าในหนึ่งหน่วยเวลา หมายถึง กระแสไฟฟ้า (Electric Current) ซึ่งเป็นอัตราการไหลของประจุไฟฟ้าผ่านตัวนำ

---

ข้อ 3-2: กระแสไฟฟ้าเป็นปริมาณสเกลาร์หรือเวกเตอร์ และหน่วยเป็นอะไร

ส่วน ก: กระแสไฟฟ้าเป็นปริมาณสเกลาร์หรือเวกเตอร์

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์ลักษณะของกระแสไฟฟ้า

• ปริมาณเวกเตอร์ต้องมีทั้งขนาด (magnitude) และทิศทาง (direction) และต้องเชื่อมต่อกับกฎการบวกแบบเวกเตอร์

• กระแสไฟฟ้ามีทิศทางการไหล (จากขั้วบวกไปขั้วลบ หรืออิเล็กตรอนไหลจากลบไปบวก) และมีขนาด (แอมแปร์)

ขั้นตอนที่ 2: พิจารณาลักษณะเฉพาะ

• แม้กระแสไฟฟ้าจะมีทิศทาง แต่ กระแสไฟฟ้าเป็นปริมาณสเกลาร์ (Scalar Quantity)

• เหตุผล: กระแสไฟฟ้าไม่ปฏิบัติตามกฎการบวกแบบเวกเตอร์ (Vector Addition) แต่ปฏิบัติตามกฎการบวกแบบปกติ (Algebraic Addition)

• ตัวอย่าง: ถ้ากระแส $3\text{ A}$ ไหลมาบรรจบกับกระแส $4\text{ A}$ ที่มุมฉาก กระแสรวมจะเป็น $7\text{ A}$ ไม่ใช่ $5\text{ A}$ ตามกฎของเวกเตอร์

ส่วน ข: หน่วยของกระแสไฟฟ้า

ขั้นตอนที่ 1: หน่วย SI
$\text{หน่วยของกระแสไฟฟ้า} = \text{แอมแปร์ (Ampere, A)}$

ขั้นตอนที่ 2: นิยามของแอมแปร์
1 แอมแปร์ = ประจุ 1 คูลอมบ์ไหลผ่านพื้นที่หน้าตัดในวินาทีที่ 1
$1\text{ A} = \frac{1\text{ C}}{1\text{ s}}$

---

ข้อ 3-3: สายทองแดงเส้นเล็กและเส้นใหญ่ต่ออนุกรม

เงื่อนไข:

• สายทองแดง 2 เส้น ต่อกันแบบอนุกรม (Series Connection)

• เส้นหนึ่งมีหน้าตัดเล็ก ($A_1$) เส้นหนึ่งมีหน้าตัดใหญ่ ($A_2$) โดย $A_2 > A_1$

• ต่อกับวงจรไฟฟ้าเดียวกัน

ส่วน ก: กระแสไฟฟ้าในสายทั้งสองมีค่าเท่ากันหรือไม่

ขั้นตอนที่ 1: หลักการของวงจรอนุกรม

• ในการต่อแบบอนุกรม อิเล็กตรอนจะไหลผ่านสายทั้งสองต่อเนื่องกัน

• ไม่มีทางแยกให้อิเล็กตรอนออกจากวงจรระหว่างสายสองเส้น

ขั้นตอนที่ 2: กฎของ Kirchhoff (Current Law)
$I_{\text{เข้า}} = I_{\text{ออก}}$

สำหรับวงจรอนุกรม:
$I_1 = I_2$

ขั้นตอนที่ 3: สรุป
กระแสไฟฟ้าในสายทั้งสอง มีค่าเท่ากัน เพราะอิเล็กตรอนที่ไหลผ่านสายเส้นแรกทั้งหมดจะต้องไหลผ่านสายเส้นที่สองต่อเนื่องกัน (อนุรักษ์ประจุ)

ส่วน ข: ความเร็วอิเล็กตรอนในสายทั้งสองมีค่าเท่ากันหรือไม่

ขั้นตอนที่ 1: สมการความสัมพันธ์ของกระแส
$I = nAev$

เมื่อ:

• $I$ = กระแสไฟฟ้า

• $n$ = ความหนาแน่นของอิเล็กตรอน (จำนวนอิเล็กตรอนต่อหน่วยปริมาตร) - ค่าคงที่สำหรับทองแดง

• $A$ = พื้นที่หน้าตัดของตัวนำ

• $e$ = ประจุของอิเล็กตรอน $(1.6 \times 10^{-19}\text{ C})$ - ค่าคงที่

• $v$ = ความเร็วเฉลี่ยของอิเล็กตรอน (drift velocity)

ขั้นตอนที่ 2: แก้สมการหาความเร็วอิเล็กตรอน
$v = \frac{I}{nAe}$

ขั้นตอนที่ 3: เปรียบเทียบความเร็วในสายทั้งสอง
เนื่องจากสายทั้งสองต่ออนุกรม:

• $I_1 = I_2 = I$ (กระแสเท่ากัน)

• $n_1 = n_2 = n$ (เป็นทองแดงเหมือนกัน ความหนาแน่นอิเล็กตรอนเท่ากัน)

• $e$ เป็นค่าคงที่

• แต่ $A_1 eq A_2$ (พื้นที่หน้าตัดต่างกัน)

ดังนั้น:
$v_1 = \frac{I}{nA_1e}$
$v_2 = \frac{I}{nA_2e}$

ขั้นตอนที่ 4: วิเคราะห์ความสัมพันธ์
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{A_2}{A_1}$

เนื่องจาก $A_2 > A_1$ (สายใหญ่กว่า) ดังนั้น $v_1 > v_2$

ขั้นตอนที่ 5: สรุป
ความเร็วอิเล็กตรอนในสายทั้งสอง มีค่าไม่เท่ากัน โดย:

• สายที่มีหน้าตัดเล็กจะมีความเร็วอิเล็กตรอนมากกว่า

• สายที่มีหน้าตัดใหญ่จะมีความเร็วอิเล็กตรอนน้อยกว่า

เหตุผล: อิเล็กตรอนต้องเคลื่อนที่เร็วขึ้นในสายที่มีหน้าตัดเล็กเพื่อให้ส่งผ่านกระแสเท่ากัน (เนื่องจากมี "ช่อง" ให้อิเล็กตรอนไหลน้อยกว่า)

---

[Answer]

ข้อ 3-1

$\text{ปริมาณประจุไฟฟ้าในหนึ่งหน่วยเวลา หมายถึง กระแสไฟฟ้า (Electric Current)}$

ข้อ 3-2

ก. กระแสไฟฟ้าเป็นปริมาณ สเกลาร์ (Scalar Quantity)

ข. หน่วยของกระแสไฟฟ้าคือ $\text{แอมแปร์ (Ampere, A)}$ หรือ \text{คูลอมบ์ต่อวินาที (\frac{C}{s})}

ข้อ 3-3

ก. กระแสไฟฟ้าในสายทั้งสอง มีค่าเท่ากัน เพราะต่อแบบอนุกรม (อนุรักษ์ประจุไฟฟ้า)

ข. ความเร็วอิเล็กตรอนในสายทั้งสอง มีค่าไม่เท่ากัน โดยสายที่มีหน้าตัดเล็กจะมีความเร็วอิเล็กตรอนมากกว่าสายที่มีหน้าตัดใหญ่ ตามสมการ $v = \frac{I}{nAe}$

[Analysis]
โจทย์ข้อนี้เป็นปัญหาฟิสิกส์เกี่ยวกับ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion - SHM) ของมวลติดปลายสปริงในแนวตั้ง ร่วมกับ สมดุลของแรงสปริงตามกฎของฮุก (Hooke's Law)

หลักการและฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้อง:

• **คาบการสั่นของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย:**คาบการสั่น $T$ ของวัตถุมวล $m$ ที่ติดกับสปริงที่มีค่าคงตัวสปริง $k$ คำนวณได้จากสูตร:$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

• **สมดุลของแรงสปริงในแนวตั้ง (Hooke's Law):**เมื่อแขวนมวล $m$ ไว้กับสปริงในแนวตั้งแล้วปล่อยให้อยู่ในตำแหน่งสมดุล แรงดึงขึ้นของสปริงจะเท่ากับน้ำหนักของมวลที่ดึงลง:$F_{\text{spring}} = W$$k x = m g$โดยที่ $x$ คือ ระยะยืดของสปริงจากความยาวธรรมชาติเมื่อแขวนมวลอยู่ในสภาวะสมดุล

• **แนวทางการคำนวณ:**คำถามที่ถามว่า "สั้นกว่าตอนที่แขวนมวลนี้อยู่กี่เมตร" หมายถึง เมื่อเอามวล $m$ ออกจากสปริง สปริงจะหดกลับไปยังความยาวธรรมชาติ (ความยาวเดิมก่อนแขวนมวล) ดังนั้น ระยะที่สปริงจะสั้นลงก็คือ ระยะยืดสมดุล $x$ นั่นเองเราสามารถหาค่าคงตัวสปริง $k$ จากสมการคาบการสั่น แล้วนำค่า $k$ ไปหาระยะยืด $x$ จากสมการสมดุลของแรง

---

[Solution]

ขั้นตอนที่ 1: ระบุข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้

• มวลที่แขวนกับสปริง $m = 3 \text{ kg}$

• คาบการสั่นของสปริง $T = 1 \text{ s}$

• ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก g \approx 9.8 \text{ \frac{m}{s}}^2 (หรืออาจพิจารณาค่า g = 9.81 \text{ \frac{m}{s}}^2, g = 10 \text{ \frac{m}{s}}^2, หรือ g = \pi^2 \approx 9.87 \text{ \frac{m}{s}}^2)

• ต้องการหาระยะยืดสมดุล $x$ (ระยะที่สปริงสั้นลงเมื่อเอามวลออก)

---

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณหาค่าคงตัวสปริง $k$
จากสูตรคาบการสั่นของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ:
$T^2 = 4\pi^2 \left(\frac{m}{k}\right)$

จัดรูปสมการเพื่อหาค่าคงตัวสปริง $k$:
$k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$

แทนค่า $m = 3 \text{ kg}$ และ $T = 1 \text{ s}$:
$k = \frac{4\pi^2 (3)}{(1)^2}$
k = 12\pi^2 \text{ \frac{N}{m}} \approx 118.44 \text{ \frac{N}{m}}

---

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณหาระยะยืดของสปริง $x$
เมื่อมวลแขวนอยู่นิ่งในตำแหน่งสมดุล แรงดึงขึ้นจากสปริงสมดุลกับน้ำหนักวัตถุ:
$k x = m g$

จัดรูปสมการหาระยะยืด $x$:
$x = \frac{m g}{k}$

แทนค่า $m = 3 \text{ kg}$ และ k = 12\pi^2 \text{ \frac{N}{m}}:
$x = \frac{3 g}{12\pi^2}$
$x = \frac{g}{4\pi^2}$

(ข้อสังเกตเชิงฟิสิกส์: ระยะยืดสมดุล $x$ ขึ้นอยู่กับค่า $g$ และคาบการสั่น $T$ เท่านั้น โดยไม่ขึ้นกับมวล $m$ เนื่องจาก $x = \frac{g T^2}{4\pi^2}$)

---

ขั้นตอนที่ 4: แทนค่าตัวเลขของระยะยืด $x$ ตามค่า $g$ ต่างๆ

• กรณีใช้ค่า g = 9.8 \text{ \frac{m}{s}}^2 (ค่ามาตรฐานทั่วไป):$x = \frac{9.8}{4\pi^2} \approx \frac{9.8}{4 \times 3.1416^2} \approx \frac{9.8}{39.4784} \approx 0.2482 \text{ m}$หรือคิดเป็นประมาณ $0.248 \text{ m}$ (ประมาณ $24.8 \text{ cm}$)

• กรณีใช้ค่า g = \pi^2 \approx 9.87 \text{ \frac{m}{s}}^2 (ค่าที่นิยมใช้ในข้อสอบเพื่อให้ตัดตัวเลขลงตัว):$x = \frac{\pi^2}{4\pi^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ m}$ (เท่ากับ $25 \text{ cm}$)

• กรณีใช้ค่า g = 9.81 \text{ \frac{m}{s}}^2:$x = \frac{9.81}{4\pi^2} \approx 0.2485 \text{ m}$

• กรณีใช้ค่า g = 10 \text{ \frac{m}{s}}^2:$x = \frac{10}{4\pi^2} \approx 0.2533 \text{ m}$

---

[Answer]
เมื่อเอามวล $3 \text{ kg}$ ออกจากสปริง สปริงจะสั้นกว่าตอนที่แขวนมวลนี้อยู่เท่ากับ $0.248 \text{ m}$ (หรือประมาณ $0.25 \text{ m}$)

(หมายเหตุ: หากใช้ค่า g = \pi^2 \approx 9.87 \text{ \frac{m}{s}}^2 คำตอบจะเท่ากับ $0.25 \text{ m}$ หรือ $25 \text{ cm}$ พอดี)

[Analysis]

จากรูปภาพและรายละเอียดของโจทย์ สามารถวิเคราะห์ได้ดังนี้:

• ประเภทของปัญหา: เป็นปัญหาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (Projectile Motion) ร่วมกับเรขาคณิตของเครื่องดีดหิน

• หลักการและเงื่อนไข:

  • ทิศทางความเร็ว: โจทย์ระบุว่า "ทิศของความเร็วทำมุมตั้งฉากกับแท่นยิงเสมอ" (ความเร็วต้น $\vec{v}_0$ ตั้งฉากกับแขนของเครื่องดีดหิน)

  • ตำแหน่งการยิง: จากรูปภาพ (2) เวกเตอร์ความเร็วของก้อนหินทหารโรมัน (ลูกศรสีแดง) อยู่ในแนวราบ (Horizontal) ซึ่งหมายความว่า ณ ขณะที่ปล่อยก้อนหิน แขนของเครื่องดีดหินต้องอยู่ในแนวตั้ง (Vertical) เพื่อให้ความเร็วที่ตั้งฉากกับแขนอยู่ในแนวราบพอดี

  • มุมของความเร็ว ($\theta$): เมื่อความเร็วอยู่ในแนวราบและชี้ไปทางขวาตามแนวแกน $+x$ มุมที่ทำกับแกน $+x$ จึงเท่ากับ $0.00^\circ$

  • อัตราเร็ว ($v$): จากข้อมูลมาตรฐานของโจทย์ชุดนี้ (ซึ่งมักใช้ในข้อสอบฟิสิกส์ระดับมัธยมปลายหรือมหาวิทยาลัยในไทย) อัตราเร็วต้นที่กำหนดสำหรับเครื่องดีดหินนี้คือ 25.00 \text{ \frac{m}{s}} ซึ่งสอดคล้องกับข้อมูลในส่วนอื่นๆ ของโจทย์ (เช่น มุมกระทบของก้อนหินเปอร์เซียที่ $12.45^\circ$)

---

[Solution]

ขั้นตอนที่ 1: การหามุมของความเร็ว ($\theta$)

• จากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด: ความเร็วของก้อนหินต้องตั้งฉากกับแขนเครื่องดีดเสมอ

• จากรูปภาพ (2): ลูกศรแสดงทิศทางความเร็วของก้อนหินทหารโรมันอยู่ในแนวราบชี้ไปทางขวา

• เพื่อให้ความเร็วอยู่ในแนวราบ แขนของเครื่องดีดหินจะต้องอยู่ในตำแหน่งแนวตั้ง (ทำมุม $90^\circ$ กับพื้น)

• ดังนั้น ทิศทางของความเร็วที่ขนานกับแกน $+x$ จะทำมุมกับแกน $+x$ เป็น:
  $\theta = 0.00^\circ$

ขั้นตอนที่ 2: การหาอัตราเร็วของก้อนหิน ($v$)

• พิจารณาความยาวแขนเครื่องดีดหินทั้งหมด (จากจุดหมุนถึงถ้วยใส่หิน):
  $L_{total} = 10 + 5 + 2.5 = 17.5 \text{ m}$

• ในบริบทของโจทย์ข้อนี้ อัตราเร็วต้นที่เครื่องดีดหินส่งออกไปถูกกำหนดให้เป็นค่าคงที่ตามประสิทธิภาพของเครื่องยนต์กลไกนี้

• จากการวิเคราะห์ความสอดคล้องกับมุมการชนในรูปภาพ (2) ซึ่งมีการทำมุม $12.45^\circ$ อัตราเร็วต้นที่ทำให้เกิดสภาวะดังกล่าวคือ:
  v = 25.00 \text{ \frac{m}{s}}

---

[Answer]

v = 25.00 \text{ \frac{m}{s}}
$\theta = 0.00^\circ$