ตัวแก้โจทย์สถิติ

Analysis
ปัญหานี้เป็นการหาค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง (sample variance) โดยใช้สูตร
$s^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} \bigl(x_{i} - \bar{x}\bigr)^{2}}{,n - 1,}$

วิธีทำ

• คำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่าง $\bar{x}$

• คำนวณส่วนเบี่ยงเบน $x_{i} - \bar{x}$

• ยกกำลังสองส่วนเบี่ยงเบน $\bigl(x_{i} - \bar{x}\bigr)^{2}$

• รวมผลลัพธ์ยกกำลังสองทั้งหมด

• หารด้วย $n - 1$ เพื่อให้ได้ค่าความแปรปรวน $s^{2}$

Solution

• ข้อมูลตัวอย่าง (จำนวน $n = 10$)
  38, 42, 44, 49, 51, 53, 56, 60, 68, 68

• ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
  $\bar{x} = \frac{38 + 42 + 44 + 49 + 51 + 53 + 56 + 60 + 68 + 68}{10} = \frac{529}{10} = 52.9$

• จัดทำตารางคำนวณ

  xi │ xi − x̄ │ (xi − x̄)²
  ──────┼────────┼───────────
  38 │ −14.9 │ 222.01
  42 │ −10.9 │ 118.81
  44 │ −8.9 │ 79.21
  49 │ −3.9 │ 15.21
  51 │ −1.9 │ 3.61
  53 │ 0.1 │ 0.01
  56 │ 3.1 │ 9.61
  60 │ 7.1 │ 50.41
  68 │ 15.1 │ 228.01
  68 │ 15.1 │ 228.01

• ผลรวมของค่ายกกำลังสอง
  $\sum (x_{i} - \bar{x})^{2} = 954.90$

• ค่าความแปรปรวนตัวอย่าง
  $s^{2} = \frac{954.90}{10 - 1} = \frac{954.90}{9} \approx 106.10$

Answer
ค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างคือ
$s^{2} \approx 106.10$

วิเคราะห์ (Analysis)
ข้อมูลเป็นน้ำหนักนักเรียน 10 คน ต้องการหา ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จึงใช้วิธีคำนวณค่าเฉลี่ย คำนวณผลต่างยกกำลังสองรวม แล้วหาค่าเฉลี่ยยกกำลังสอง (ความแปรปรวน) และสแควรูท (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

วิธีทำ (Solution)

• คำนวณผลรวมและค่าเฉลี่ย
  $\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{10} x_i}{10} = \frac{42 + 53 + 68 + 49 + 68 + 56 + 44 + 38 + 60 + 51}{10} = \frac{529}{10} = 52.9$

• คำนวณผลต่างและยกกำลังสอง
  • $(42 - 52.9)^2 = 118.81$
  • $(53 - 52.9)^2 = 0.01$
  • $(68 - 52.9)^2 = 228.01$
  • $(49 - 52.9)^2 = 15.21$
  • $(68 - 52.9)^2 = 228.01$
  • $(56 - 52.9)^2 = 9.61$
  • $(44 - 52.9)^2 = 79.21$
  • $(38 - 52.9)^2 = 222.01$
  • $(60 - 52.9)^2 = 50.41$
  • $(51 - 52.9)^2 = 3.61$

• หาผลรวมของกำลังสอง
  $\sum_{i = 1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = 118.81 + 0.01 + 228.01 + 15.21 + 228.01 + 9.61 + 79.21 + 222.01 + 50.41 + 3.61 = 954.90$

• คำนวณความแปรปรวน (Sample variance)
  $s^2 = \frac{\sum_{i = 1}^{10} (x_i - \bar{x})^2}{10 - 1} = \frac{954.90}{9} \approx 106.10$

• คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Sample standard deviation)
  $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{106.10} \approx 10.30$

คำตอบ (Answer)
ความแปรปรวน $s^2 \approx 106.10$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $s \approx 10.30$

# การวิเคราะห์    
ข้อมูลเป็นการแจกแจงจากกลุ่ม (grouped data) มีจำนวนนักศึกษา \(N=40\) แบ่งเป็นช่วงคะแนนกว้างเท่ากัน \(h=5\) จุดประสงค์คือ    
- หา \(D_2\) (decile ที่ 2) ซึ่งก็คือเปอร์เซ็นไทล์ที่ \(20\%\)    
- หา \(Q_3\) (quartile ที่ 3) ซึ่งก็คือเปอร์เซ็นไทล์ที่ \(75\%\)    
- หา “สัมโอ” ซึ่งหมายความถึง \(Q_1\) (เปอร์เซ็นไทล์ที่ \(25\%\))    
- หา คะแนนขั้นต่ำของกลุ่มเกรด B ซึ่งอยู่ที่เปอร์เซ็นไทล์ \(70\%\)    
  
ใช้สูตรการคำนวณตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์แบบกลุ่ม    
<<|P_k = L + \frac{k\%\times N - cf}{f}\,h|>>    
โดย    
– \(L\) = จุดต่ำสุดของช่วงชั้นที่สนใจ    
– \(cf\) = ความถี่สะสมก่อนหน้าชั้นนั้น    
– \(f\) = ความถี่ของชั้นนั้น    
– \(h\) = ความกว้างของชั้น    
  
---  
  
# ขั้นตอนการคำนวณ  
  
## 1. เตรียมความถี่สะสม    
| ช่วงคะแนน | ความถี่ \(f\) | ความถี่สะสมก่อนหน้า \(cf\) |  
|:---------:|:------------:|:---------------------------:|  
| 1–5    | 2  | 0   |  
| 6–10   | 3  | 2   |  
| 11–15  | 5  | 5   |  
| 16–20  | 16 | 10  |  
| 21–25  | 11 | 26  |  
| 26–30  | 3  | 37  |  
  
---  
  
## 2. หา \(D_2\) (เปอร์เซ็นไทล์ 20%)    
- ตำแหน่ง = \(0.2\times40 = 8\)    
- ชั้นที่ 8 อยู่ในช่วง 11–15    
  - \(L=11,\;cf=5,\;f=5,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<|D_2 = 11 + \frac{8 - 5}{5}\times5 = 11 + 3 = 14|>>    
  
---  
  
## 3. หา \(Q_3\) (เปอร์เซ็นไทล์ 75%)    
- ตำแหน่ง = \(0.75\times40 = 30\)    
- ชั้นที่ 30 อยู่ในช่วง 21–25    
  - \(L=21,\;cf=26,\;f=11,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<|Q_3 = 21 + \frac{30 - 26}{11}\times5 = 21 + \frac{4}{11}\times5 \approx 21 + 1.818 = 22.818|>>    
  
---  
  
## 4. หา \(Q_1\) (สัมโอ = เปอร์เซ็นไทล์ 25%)    
- ตำแหน่ง = \(0.25\times40 = 10\)    
- ชั้นที่ 10 อยู่ในช่วง 11–15    
  - \(L=11,\;cf=5,\;f=5,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<|Q_1 = 11 + \frac{10 - 5}{5}\times5 = 11 + 5 = 16|>>    
  
---  
  
## 5. คะแนนขั้นต่ำของเกรด B (เปอร์เซ็นไทล์ 70%)    
- ตำแหน่ง = \(0.70\times40 = 28\)    
- ชั้นที่ 28 อยู่ในช่วง 21–25    
  - \(L=21,\;cf=26,\;f=11,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<|P_{70} = 21 + \frac{28 - 26}{11}\times5 = 21 + \frac{2}{11}\times5 \approx 21 + 0.909 = 21.909|>>    
  
---  
  
# คำตอบ    
  
2. ค่า \(D_2 + Q_3 = 14 + 22.818 =\) <<|36.818|>>    
3. สัมโอ (\(Q_1\)) ≈ <<|16|>>    
4. คะแนนขั้นต่ำของนักศึกษาที่ได้เกรด B ≈ <<|21.909|>>
คัดลอก

[Analysis]    
ปัญหานี้เป็นการหาตำแหน่งควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนไทล์จากชุดข้อมูลเชิงอันดับ จึงใช้วิธี    
- เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก    
- ใช้สูตรตำแหน่ง    
- กรณีตำแหน่งไม่ลงตัวให้ทำการประมาณค่าโดยการแทรกเชิงเส้น (linear interpolation)    
  
[Solution]    
1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก    
   <<|2,3,6,9,9,10,13,13,16,16,16,17,19,20|>>    
   จำนวนข้อมูล <<|n=14|>>    
  
2. หา Q₁    
   - ตารางข้อมูลแบ่งเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันสำหรับ n คู่    
   - ช่วงล่าง 7 จำนวนแรกคือ <<|2,3,6,9,9,10,13|>>    
   - Q₁ คือ median ของช่วงล่าง ตำแหน่งที่ 4    
   - ดังนั้น    
     <<|Q_{1}=x_{(4)}=9|>>    
  
3. หา D₈ (80th percentile)    
   - ตำแหน่งตามสูตร <<|i=(n+1)\times\frac{8}{10}=15\times0.8=12|>>    
   - ตำแหน่งที่ 12 ของข้อมูลที่เรียงแล้วคือ 17    
   - ดังนั้น    
     <<|D_{8}=17|>>    
  
4. หา P₃₇ (37th percentile)    
   - ตำแหน่งตามสูตร <<|i=(n+1)\times0.37=15\times0.37=5.55|>>    
   - ตำแหน่ง 5 และ 6 คือ 9 กับ 10    
   - ประมาณค่าโดย interpolation    
     <<|P_{37}=x_{(5)}+(0.55)\times\bigl(x_{(6)}-x_{(5)}\bigr)=9+0.55\times(10-9)=9.55|>>    
  
5. หาคะแนนต่ำสุดในกลุ่ม 30% สูงสุด และเปรียบเทียบกับ D₈    
   - จำนวนกลุ่ม 30% สูงสุด = <<|0.3\times14=4.2|>> ≈ 5 คน    
   - 5 อันดับสูงสุดคือตำแหน่ง 10–14 ของชุดข้อมูล เรียงแล้วได้ <<|16,16,17,19,20|>>    
   - คะแนนต่ำสุดในกลุ่มนี้ = 16    
   - คะแนนต่างจาก D₈ = <<|D_{8}-16=17-16=1|>>    
  
[Answer]    
<<|Q_{1}=9,\quad D_{8}=17,\quad P_{37}\approx9.55,\quad\text{คะแนนต่ำสุดใน 30% สูงสุด น้อยกว่า }D_{8}\text{ อยู่ }1\text{ คะแนน}|>>    
คัดลอก