ตัวแก้โจทย์สถิติ

[Analysis]
โจทย์แบ่งเป็นหลายส่วน ได้แก่
– การประมาณค่าช่วงความเชื่อมั่นและการทดสอบสมมติฐานของค่าเฉลี่ยเมื่อทราบ σ
– การประมาณค่าช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยเมื่อไม่ทราบ σ (ใช้ t–distribution)
– การทดสอบสมมติฐานสัดส่วนสองกลุ่ม
– การประมาณค่าช่วงความเชื่อมั่นของความแตกต่างค่าเฉลี่ยสองกลุ่ม (สมมติความแปรปรวนเท่ากัน)
– การคำนวณความน่าจะเป็นเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยและสัดส่วน

เราจะแสดงขั้นตอนหลัก พร้อมคำนวณตัวเลขสำคัญและค่าสถิติวิกฤติ

[Solution]

• ที่ช่วงความเชื่อมั่น 99 % เมื่อใช้การแจกแจงปกติ ค่าวิกฤตสองข้างคือ
  $z_{0.005} = 2.5758$

• ช่วงความเชื่อมั่น 99 % ของ μ เมื่อ σ=26, n=169, \bar x=270
  – คลาดเคลื่อนมาตรฐาน $SE = \frac{σ}{\sqrt{n}} = \frac{26}{13} = 2$
  – ช่วง CI:
  $270 \pm 2.5758\times2 = 270 \pm5.1516$
  ดังนั้น CI = $264.8484\ \text{ถึง}\ 275.1516$

• ต้องการทดสอบ H1: ค่าเฉลี่ย < 280 วัน
  – H0: μ ≥ 280
  – H1: μ < 280
  (เลือก “ค่าเฉลี่ยของระยะการตั้งครรภ์ต่ำกว่า 280 วัน”)

• ที่ α=0.05 (one–side left) ค่าวิกฤตคือ
  $z_{0.05} = -1.645$

• สรุปผลทดสอบที่ α=0.05
  – สถิติคำนวณ:
  $z = \frac{270 - 280}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
  – เนื่องจาก $-5 < -1.645$ จึงปฏิเสธ H0
  – สรุปว่า “ค่าเฉลี่ยของระยะการตั้งครรภ์ต่ำกว่า 280 วัน”

• สถิติทดสอบจากข้อ 5 คือ
  $z = -5$

• ช่วงความเชื่อมั่น 90 % ของ μ เมื่อ σ=26, n=169
  – ค่าวิกฤต $z_{0.05} = 1.645$
  – CI: $270 \pm1.645\times2 = 270 \pm3.29$
  – ดังนั้น CI = $266.71\ \text{ถึง}\ 273.29$

• ตัวอย่างกาแฟ n=9 ค่าที่ชั่งได้ 15.4,15.8,15.6,15.8,15.4,15.6,16.1,15.9,15.7
  – \bar x = \frac{141.3}{9} = 15.7
  – คำนวณ s จากสูตรตัวอย่างได้ ≈0.229
  – df=8, t_{0.025,8}=2.306
  – SE = \frac{0.229}{\sqrt{9}} = 0.0763
  – CI 95 %: $15.7 \pm2.306\times0.0763 = 15.7 \pm0.176$
  ⇒ CI = $15.524\ \text{ถึง}\ 15.876$

• ค่าวิกฤต t ที่ df=8, α=0.05 (two–sided) คือ
  $t_{0.025,8} = 2.306$

• ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานจากการประมาณคือ
  $SE = 0.0763$

• ตารางที่ใช้งานคือการแจกแจง T

12–14. ทดสอบความเท่าเทียมสัดส่วนพึงพอใจสองยี่ห้อ (n1=n2=200, x1=86, x2=94)
– p1=0.43, p2=0.47, p_{pool}=0.45
– SE = \sqrt{0.45\times0.55\bigl(\frac1{200}+\frac1{200}\bigr)} =0.04975
– z_{crit}=±1.96 (สองข้าง α=0.05)
– z_{obs} = \frac{0.43-0.47}{0.04975} = -0.804
– |z_{obs}|<1.96 จึงไม่ปฏิเสธ H0
– สรุป “ผู้ที่พึงพอใจครีมทั้งสองยี่ห้อมีค่าเท่ากัน”

15–17. (ข้อมูลราคาสินค้าไม่ครบ จึงไม่สามารถคำนวณได้)

18–20. ช่วงความเชื่อมั่น 95 % ของ μ1–μ2 (n1=10,\bar x1=3.1,s1=0.7; n2=8,\bar x2=2.4,s2=0.9; assume equal σ^2)
– pooled variance:
$s_p^2 = \frac{9\times0.7^2 +7\times0.9^2}{16} =0.63$, $s_p = 0.7937$
– SE_{diff} = s_p\sqrt{\frac1{10}+\frac1{8}} =0.3766
– df=16, t_{0.025,16}=2.120
– CI: $0.7 \pm2.120\times0.3766 =0.7 \pm0.7985$
⇒ LOWER = $0.7 -0.7985 = -0.0985$

• t_{crit}=$2.120$

• SE_{diff}=$0.3766$

• LOWER =$-0.0985$

• P(33<\bar X<37) เมื่อ μ=35, σ=6, n=16 (ไม่แทน) fpc ≈1
  – SE=6/4=1.5
  – z_1=(33-35)/1.5=-1.333, z_2=(37-35)/1.5=1.333
  – P=Φ(1.333)-Φ(-1.333)=0.9082-0.0918=$0.8164$

• sampling w/o replacement N=500,n=50, σ=15
  – SE = \frac{15}{\sqrt{50}}\sqrt{\frac{500-50}{499}}
  =2.1213\times0.9489=$2.013$

• E(\bar X_A-\bar X_B)=μ_A-μ_B=75-70=$5$

• SE(\bar X_A-\bar X_B)=\sqrt{\frac{10^2}{30}+\frac{12^2}{40}}
  =\sqrt{3.333+3.6}=√6.933=$2.633$

• P\bigl(|\bar X_A-\bar X_B|<8\bigr)
  – diff~N(5, SE^2) SE=2.633
  – z_1=(8-5)/2.633=1.14, z_2=(-8-5)/2.633=-4.96
  – P=Φ(1.14)-Φ(-4.96)=0.8729-0≈$0.8729$

• P(\hat p>0.4) เมื่อ p=0.3,n=50
  – SE=\sqrt{\frac{0.3\times0.7}{50}}=0.0648
  – z=(0.4-0.3)/0.0648=1.543
  – P=1-Φ(1.543)=1-0.9389=$0.0611$

• E(\hat p)=0.3

• Var(\hat p)=\frac{0.3\times0.7}{50}=$0.0042$

• P\bigl(\hat p_A-\hat p_B>0.20\bigr)
  – p_A=0.55,n_A=80; p_B=0.45,n_B=100
  – SE=\sqrt{\frac{0.55\times0.45}{80}+\frac{0.45\times0.55}{100}}=0.07463
  – mean diff=0.10
  – z=\frac{0.20-0.10}{0.07463}=1.339
  – P=1-Φ(1.339)=1-0.9098=$0.0902$

• (โจทย์ไม่สมบูรณ์ จึงไม่สามารถคำนวณต่อได้)

[Answer]
สรุปผลสำคัญ (เลือกคำตอบหลัก)

• 2.5758

• 264.8484 ถึง 275.1516

• H1: μ<280

• -1.645

• ปฏิเสธ H0 ⇒ ค่าเฉลี่ยต่ำกว่า 280

• -5

• 266.71 ถึง 273.29

• 15.524 ถึง 15.876

• 2.306

• 0.0763

• T–distribution

• ±1.96

• -0.804

• มีค่าเท่ากัน

• 2.120

• 0.3766

• -0.0985

• 0.8164

• 2.013

• 5

• 2.633

• 0.8729

• 0.0611

• 0.3

• 0.0042

• 0.0902

Analysis
ปัญหานี้เป็นการหาค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง (sample variance) โดยใช้สูตร
$s^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} \bigl(x_{i} - \bar{x}\bigr)^{2}}{\,n - 1\,}$

วิธีทำ

• คำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่าง $\bar{x}$

• คำนวณส่วนเบี่ยงเบน $x_{i} - \bar{x}$

• ยกกำลังสองส่วนเบี่ยงเบน $\bigl(x_{i} - \bar{x}\bigr)^{2}$

• รวมผลลัพธ์ยกกำลังสองทั้งหมด

• หารด้วย $n - 1$ เพื่อให้ได้ค่าความแปรปรวน $s^{2}$

Solution

• ข้อมูลตัวอย่าง (จำนวน $n = 10$)
  38, 42, 44, 49, 51, 53, 56, 60, 68, 68

• ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
  $\bar{x} = \frac{38 + 42 + 44 + 49 + 51 + 53 + 56 + 60 + 68 + 68}{10} = \frac{529}{10} = 52.9$

• จัดทำตารางคำนวณ

  xi │ xi − x̄ │ (xi − x̄)²
  ──────┼────────┼───────────
  38 │ −14.9 │ 222.01
  42 │ −10.9 │ 118.81
  44 │ −8.9 │ 79.21
  49 │ −3.9 │ 15.21
  51 │ −1.9 │ 3.61
  53 │ 0.1 │ 0.01
  56 │ 3.1 │ 9.61
  60 │ 7.1 │ 50.41
  68 │ 15.1 │ 228.01
  68 │ 15.1 │ 228.01

• ผลรวมของค่ายกกำลังสอง
  $\sum (x_{i} - \bar{x})^{2} = 954.90$

• ค่าความแปรปรวนตัวอย่าง
  $s^{2} = \frac{954.90}{10 - 1} = \frac{954.90}{9} \approx 106.10$

Answer
ค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างคือ
$s^{2} \approx 106.10$

วิเคราะห์ (Analysis)
ข้อมูลเป็นน้ำหนักนักเรียน 10 คน ต้องการหา ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จึงใช้วิธีคำนวณค่าเฉลี่ย คำนวณผลต่างยกกำลังสองรวม แล้วหาค่าเฉลี่ยยกกำลังสอง (ความแปรปรวน) และสแควรูท (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

วิธีทำ (Solution)

• คำนวณผลรวมและค่าเฉลี่ย
  $\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{10} x_i}{10} = \frac{42 + 53 + 68 + 49 + 68 + 56 + 44 + 38 + 60 + 51}{10} = \frac{529}{10} = 52.9$

• คำนวณผลต่างและยกกำลังสอง
  • $(42 - 52.9)^2 = 118.81$
  • $(53 - 52.9)^2 = 0.01$
  • $(68 - 52.9)^2 = 228.01$
  • $(49 - 52.9)^2 = 15.21$
  • $(68 - 52.9)^2 = 228.01$
  • $(56 - 52.9)^2 = 9.61$
  • $(44 - 52.9)^2 = 79.21$
  • $(38 - 52.9)^2 = 222.01$
  • $(60 - 52.9)^2 = 50.41$
  • $(51 - 52.9)^2 = 3.61$

• หาผลรวมของกำลังสอง
  $\sum_{i = 1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = 118.81 + 0.01 + 228.01 + 15.21 + 228.01 + 9.61 + 79.21 + 222.01 + 50.41 + 3.61 = 954.90$

• คำนวณความแปรปรวน (Sample variance)
  $s^2 = \frac{\sum_{i = 1}^{10} (x_i - \bar{x})^2}{10 - 1} = \frac{954.90}{9} \approx 106.10$

• คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Sample standard deviation)
  $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{106.10} \approx 10.30$

คำตอบ (Answer)
ความแปรปรวน $s^2 \approx 106.10$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $s \approx 10.30$

# การวิเคราะห์    
ข้อมูลเป็นการแจกแจงจากกลุ่ม (grouped data) มีจำนวนนักศึกษา \(N=40\) แบ่งเป็นช่วงคะแนนกว้างเท่ากัน \(h=5\) จุดประสงค์คือ    
- หา \(D_2\) (decile ที่ 2) ซึ่งก็คือเปอร์เซ็นไทล์ที่ \(20\%\)    
- หา \(Q_3\) (quartile ที่ 3) ซึ่งก็คือเปอร์เซ็นไทล์ที่ \(75\%\)    
- หา “สัมโอ” ซึ่งหมายความถึง \(Q_1\) (เปอร์เซ็นไทล์ที่ \(25\%\))    
- หา คะแนนขั้นต่ำของกลุ่มเกรด B ซึ่งอยู่ที่เปอร์เซ็นไทล์ \(70\%\)    
  
ใช้สูตรการคำนวณตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์แบบกลุ่ม    
<<\|P_k = L + \\frac{k\\%\\times N - cf}{f}\\,h\|>>    
โดย    
– \(L\) = จุดต่ำสุดของช่วงชั้นที่สนใจ    
– \(cf\) = ความถี่สะสมก่อนหน้าชั้นนั้น    
– \(f\) = ความถี่ของชั้นนั้น    
– \(h\) = ความกว้างของชั้น    
  
---  
  
# ขั้นตอนการคำนวณ  
  
## 1. เตรียมความถี่สะสม    
| ช่วงคะแนน | ความถี่ \(f\) | ความถี่สะสมก่อนหน้า \(cf\) |  
|:---------:|:------------:|:---------------------------:|  
| 1–5    | 2  | 0   |  
| 6–10   | 3  | 2   |  
| 11–15  | 5  | 5   |  
| 16–20  | 16 | 10  |  
| 21–25  | 11 | 26  |  
| 26–30  | 3  | 37  |  
  
---  
  
## 2. หา \(D_2\) (เปอร์เซ็นไทล์ 20%)    
- ตำแหน่ง = \(0.2\times40 = 8\)    
- ชั้นที่ 8 อยู่ในช่วง 11–15    
  - \(L=11,\;cf=5,\;f=5,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<\|D_2 = 11 + \\frac{8 - 5}{5}\\times5 = 11 + 3 = 14\|>>    
  
---  
  
## 3. หา \(Q_3\) (เปอร์เซ็นไทล์ 75%)    
- ตำแหน่ง = \(0.75\times40 = 30\)    
- ชั้นที่ 30 อยู่ในช่วง 21–25    
  - \(L=21,\;cf=26,\;f=11,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<\|Q_3 = 21 + \\frac{30 - 26}{11}\\times5 = 21 + \\frac{4}{11}\\times5 \\approx 21 + 1.818 = 22.818\|>>    
  
---  
  
## 4. หา \(Q_1\) (สัมโอ = เปอร์เซ็นไทล์ 25%)    
- ตำแหน่ง = \(0.25\times40 = 10\)    
- ชั้นที่ 10 อยู่ในช่วง 11–15    
  - \(L=11,\;cf=5,\;f=5,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<\|Q_1 = 11 + \\frac{10 - 5}{5}\\times5 = 11 + 5 = 16\|>>    
  
---  
  
## 5. คะแนนขั้นต่ำของเกรด B (เปอร์เซ็นไทล์ 70%)    
- ตำแหน่ง = \(0.70\times40 = 28\)    
- ชั้นที่ 28 อยู่ในช่วง 21–25    
  - \(L=21,\;cf=26,\;f=11,\;h=5\)    
- คำนวณ    
  <<\|P_{70} = 21 + \\frac{28 - 26}{11}\\times5 = 21 + \\frac{2}{11}\\times5 \\approx 21 + 0.909 = 21.909\|>>    
  
---  
  
# คำตอบ    
  
2. ค่า \(D_2 + Q_3 = 14 + 22.818 =\) <<\|36.818\|>>    
3. สัมโอ (\(Q_1\)) ≈ <<\|16\|>>    
4. คะแนนขั้นต่ำของนักศึกษาที่ได้เกรด B ≈ <<\|21.909\|>>
คัดลอก