محلّل الفيزياء

[تحليل المشكلة]

هذا السؤال يتعلق بفيزياء البصريات الموجية، وتحديداً "تجربة الشق المزدوج ليونج" (Young's Double-Slit Experiment). لدراسة العوامل التي تؤثر على اتساع هدب التداخل (أو المسافة بين هدبتين متتاليتين من نفس النوع)، نستخدم القانون الأساسي للتداخل في هذه التجربة.

القانون المستخدم هو:
$\Delta y = \frac{\lambda \cdot R}{d}$

حيث:

• $\Delta y$: هي المسافة بين مركزي هدبتين متتاليتين من نفس النوع (اتساع الهدبة).

• $\lambda$: هو الطول الموجي للضوء المستخدم.

• $R$: هي المسافة بين حاجز الشق المزدوج وحائل استقبال الهدب.

• $d$: هي المسافة بين الشقين (المصدرين الضوئيين المترابطين).

[الحل]

بناءً على العلاقة الرياضية $\Delta y = \frac{\lambda \cdot R}{d}$، سنقوم بتحليل الخيارات المعطاة لنرى أي منها لا يؤثر على $\Delta y$:

• الخيار (أ): المسافة بين المصدرين الضوئيين المترابطين ($d$)
  من القانون، نجد أن $\Delta y$ تتناسب عكسياً مع $d$. إذاً، اتساع الهدب يعتمد على هذه المسافة.

• الخيار (ب): المسافة بين حاجز الشق المزدوج وحائل استقبال الهدب ($R$)
  من القانون، نجد أن $\Delta y$ تتناسب طردياً مع $R$. إذاً، اتساع الهدب يعتمد على هذه المسافة.

• الخيار (ج): الطول الموجي للضوء المستخدم في التجربة ($\lambda$)
  من القانون، نجد أن $\Delta y$ تتناسب طردياً مع $\lambda$. إذاً، اتساع الهدب يعتمد على الطول الموجي.

• الخيار (د): المسافة بين حاجز الشق المزدوج ومصدر الضوء
  هذه المسافة لا تظهر في القانون الرياضي لحساب اتساع الهدب $\Delta y$. على الرغم من أن موقع مصدر الضوء بالنسبة للشقين قد يؤثر على شدة الإضاءة أو وضوح الهدب في ظروف معينة، إلا أنه لا يدخل في تحديد المسافة الفاصلة بين الهدب (اتساع الهدب) بمجرد حدوث التداخل.

[الإجابة]

الإجابة الصحيحة هي (د) المسافة بين حاجز الشق المزدوج ومصدر الضوء.

اتساع هدب التداخل $\Delta y$ لا يعتمد على المسافة بين المصدر الضوئي الأصلي وحاجز الشقين.

بناءً على الصورة المقدمة، إليك حل المسألة رقم (6) بالتفصيل:

[تحليل المسألة]

المسألة تتعلق بـ حفظ الطاقة الميكانيكية. بما أن السطح أفقي وأملس (بدون احتكاك)، فإن الطاقة الميكانيكية الكلية للنظام (النابض والكتلة) تظل ثابتة. تتحول طاقة الوضع المرونية المخزنة في النابض عند ضغطه إلى طاقة حركة للكتلة وطاقة وضع مرونية متبقية عند الموضع الجديد.

المعطيات:

• ثابت النابض: k = 500 \text{ \frac{N}{m}}

• الكتلة: $m = 2 \text{ kg}$

• الضغط الابتدائي للنابض: $x_1 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$

• السرعة الابتدائية: v_1 = 0 \text{ \frac{m}{s}} (لأن الكتلة أُطلقت من السكون)

• الضغط النهائي للنابض: $x_2 = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$

• المطلوب: إيجاد السرعة النهائية $v_2$.

القوانين المستخدمة:

• طاقة الوضع المرونية: $U_s = \frac{1}{2} k x^2$

• طاقة الحركة: $K = \frac{1}{2} m v^2$

• قانون حفظ الطاقة: $K_1 + U_{s1} = K_2 + U_{s2}$

[الحل]

الخطوة 1: تطبيق قانون حفظ الطاقة الميكانيكية
بما أن النظام معزول ولا يوجد احتكاك، فإن:
$\frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} k x_1^2 = \frac{1}{2} m v_2^2 + \frac{1}{2} k x_2^2$

الخطوة 2: التعويض بالقيم المعروفة
بما أن السرعة الابتدائية $v_1 = 0$، فإن طاقة الحركة الابتدائية تساوي صفراً. يمكننا أيضاً تبسيط المعادلة بضرب جميع الأطراف في 2:
$m(0)^2 + k x_1^2 = m v_2^2 + k x_2^2$
$(500)(0.1)^2 = (2) v_2^2 + (500)(0.05)^2$

الخطوة 3: إجراء الحسابات العددية

• حساب الطرف الأيسر (الطاقة الابتدائية):
  $500 \times 0.01 = 5 \text{ J}$

• حساب طاقة الوضع عند الضغط الثاني:
  $500 \times 0.0025 = 1.25 \text{ J}$

تصبح المعادلة:
$5 = 2 v_2^2 + 1.25$

الخطوة 4: حل المعادلة لإيجاد السرعة $v_2$
نطرح 1.25 من الطرفين:
$2 v_2^2 = 5 - 1.25$
$2 v_2^2 = 3.75$

نقسم على 2:
$v_2^2 = \frac{3.75}{2} = 1.875$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:
v_2 = \sqrt{1.875} \approx 1.369 \text{ \frac{m}{s}}

ملاحظة: يبدو أن هناك تقريباً في الخيارات، لنعد الحساب بدقة أكبر أو نتأكد من التحويلات.
بإعادة الحساب:
v_2 = 1.369 \text{ \frac{m}{s}}

إذا نظرنا للخيارات المتاحة:
A) 0.56 m/s
B) 0.97 m/s
C) 1.25 m/s
D) 1.77 m/s

دعونا نراجع الحسابات:
$v_2 = \sqrt{1.875} = 1.369$. هذا الرقم هو الأقرب إلى الخيار (C) إذا كان هناك خطأ مطبعي بسيط في السؤال أو الخيارات، ولكن لنراجع إذا كان المطلوب هو السرعة القصوى (عند $x = 0$):
v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}} x_1 = \sqrt{\frac{500}{2}} \times 0.1 = \sqrt{250} \times 0.1 = 15.81 \times 0.1 = 1.58 \text{ \frac{m}{s}}.

بالتدقيق في الحساب مرة أخرى:
$v_2 = \sqrt{1.369^2}$... لحظة، لنحسب $\sqrt{1.875}$ بدقة: هي تقريباً $1.37$.
الخيار الأقرب منطقياً في سياق اختبارات متعددة الخيارات لهذه القيم هو 1.37 (والذي قد يكون مكتوباً كـ 1.25 في حال وجود اختلاف طفيف في الثوابت). ولكن رياضياً الناتج هو 1.37 \text{ \frac{m}{s}}.

[الإجابة]

بناءً على الحسابات الدقيقة، السرعة هي:
v = 1.37 \text{ \frac{m}{s}}

(ملاحظة: إذا كانت الإجابة المطلوبة من ضمن الخيارات المحددة، فالخيار C هو الأقرب من حيث الرتبة، ولكن الحساب الدقيق يعطي 1.37).

[التحليل]

المسألة تطلب حساب عزم القوة (Moment of Force) حول النقطة $O$. من خلال الرسم، نلاحظ المعطيات التالية:

• القوة: مقدارها $F = 500 \text{ N}$ وتؤثر عند نهاية أنبوب منحني.

• الهندسة: الأنبوب عبارة عن قوس دائري نصف قطره $r = 3 \text{ m}$.

• الموقع: النقطة $O$ تقع عند قاعدة الأنبوب على اليسار، ومركز القوس يقع على بعد $3 \text{ m}$ أفقيًا من $O$.

• الزاوية: نقطة تأثير القوة تقع عند زاوية $45^\circ$ مع الأفقي بالنسبة لمركز القوس، والقوة نفسها موجهة على امتداد نصف القطر (أي بزاوية $45^\circ$ مع الأفقي).

سنستخدم مبدأ تحليل القوة إلى مركباتها الأفقية والرأسية (نظرية فارينون) لحساب العزم الكلي حول النقطة $O$.

[الحل]

الخطوة 1: تحديد إحداثيات نقطة تأثير القوة (A) بالنسبة للنقطة O
نعتبر مركز القوس هو النقطة $C$. بما أن النقطة $O$ والمركز $C$ يقعان على نفس الخط الأفقي، فإن المسافة بينهما تساوي نصف القطر $3 \text{ m}$.
إحداثيات النقطة $A$ (نقطة تأثير القوة) بالنسبة للنقطة $O$ هي:

• المسافة الأفقية (ذراع المركبة الرأسية):
  $d_x = 3 + 3 \cos 45^\circ$
  $d_x = 3 + 3(0.7071) = 5.1213 \text{ m}$

• المسافة الرأسية (ذراع المركبة الأفقية):
  $d_y = 3 \sin 45^\circ$
  $d_y = 3(0.7071) = 2.1213 \text{ m}$

الخطوة 2: تحليل القوة إلى مركباتها الأفقية والرأسية
بما أن القوة تميل بزاوية $45^\circ$ مع الأفقي:

• المركبة الأفقية: $F_x = 500 \cos 45^\circ = 500(0.7071) = 353.55 \text{ N}$ (باتجاه اليمين)

• المركبة الرأسية: $F_y = 500 \sin 45^\circ = 500(0.7071) = 353.55 \text{ N}$ (باتجاه الأعلى)

الخطوة 3: حساب العزم حول النقطة O
نطبق قانون العزم $M_O = \sum (F \cdot d)$، مع اعتبار الاتجاه عكس عقارب الساعة (CCW) موجباً:

• المركبة $F_y$ تسبب دوراناً عكس عقارب الساعة (موجب).

• المركبة $F_x$ تسبب دوراناً مع عقارب الساعة (سالب).

$M_O = (F_y \cdot d_x) - (F_x \cdot d_y)$
$M_O = (353.55 \times 5.1213) - (353.55 \times 2.1213)$

يمكن تبسيط الحساب بأخذ العامل المشترك:
$M_O = 353.55 \times (5.1213 - 2.1213)$
$M_O = 353.55 \times 3$
$M_O = 1060.65 \text{ N}\cdot\text{m}$

(ملاحظة: يمكن حلها بطريقة أسرع بملاحظة أن القوة تمر بمركز القوس، لذا فإن عزمها حول المركز يساوي صفراً، ويتبقى فقط عزمها الناتج عن المسافة بين O والمركز، وهو $M_O = 3 \times F \sin 45^\circ$).

[الجواب]

عزم القوة حول النقطة $O$ هو:
$M_O = 1.06 \text{ kN}\cdot\text{m}$ (عكس عقارب الساعة)

أهلاً بك. بصفتي خبيراً في حل مسائل الفيزياء، سأقوم بحل هذه المسألة المتعلقة بمقاومة الموصلات الكهربائية بالتفصيل.

[التحليل]

تتناول هذه المسألة موضوع المقاومة الكهربائية لموصل أومي وكيفية تأثرها بتغير أبعاده الهندسية. المبدأ الأساسي هنا هو أنه عند "سحب" السلك، يتغير طوله ومساحة مقطعه، ولكن يظل حجم السلك ثابتاً.

المبادئ والقوانين المستخدمة:

• قانون المقاومة الكهربائية: $R = \rho \frac{L}{A}$ حيث أن $\rho$ هي المقاومة النوعية للمادة، و $L$ هو طول السلك، و $A$ هي مساحة مقطعه.

• قانون الحجم: $V = L \times A$. وبما أن المادة لا تتغير والحجم ثابت عند السحب، فإن العلاقة بين الطول والمساحة تكون عكسية: $L_1 A_1 = L_2 A_2$.

[الحل]

الخطوة الأولى: تحديد المعطيات والحالة الابتدائية
لنفترض أن الطول الأصلي للسلك هو $L_1$، ومساحة مقطعه الأصلية هي $A_1$، ومقاومته هي $R_1 = R$.
المقاومة في الحالة الأولى تُعطى بالعلاقة:
$R = \rho \frac{L_1}{A_1}$

الخطوة الثانية: تحديد التغيرات في الطول والمساحة
أخبرتنا المسألة أن السلك سُحب بحيث زاد طوله لثلاثة أمثاله، أي أن الطول الجديد $L_2$ هو:
$L_2 = 3 L_1$
بما أن الحجم ثابت ($V_1 = V_2$)، نستخدم علاقة التناسب العكسي لإيجاد مساحة المقطع الجديدة $A_2$:
$L_1 A_1 = L_2 A_2$
$L_1 A_1 = (3 L_1) A_2$
بقسمة الطرفين على $3 L_1$، نحصل على:
$A_2 = \frac{A_1}{3}$
وهذا يعني أن مساحة المقطع قلت إلى الثلث.

الخطوة الثالثة: حساب المقاومة الجديدة
نعوض بالقيم الجديدة للطول والمساحة في قانون المقاومة للحصول على المقاومة الجديدة $R_2$:
$R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2}$
بالتعويض عن $L_2 = 3 L_1$ وعن $A_2 = \frac{A_1}{3}$:
$R_2 = \rho \frac{3 L_1}{\frac{A_1}{3}}$
مقام المقام يصبح بسطاً، لذا نضرب $3$ في البسط:
$R_2 = 9 \left( \rho \frac{L_1}{A_1} \right)$

الخطوة الرابعة: المقارنة مع المقاومة الأصلية
بما أن $R = \rho \frac{L_1}{A_1}$، فإن:
$R_2 = 9 R$

[الإجابة]

بناءً على الخطوات السابقة، فإن مقاومة السلك تصبح 9 أمثال قيمتها الأصلية.

الإجابة الصحيحة هي الخيار (د):
$9 R$