Solveur de Mathématiques

[Problem]
Construis le symétrique du segment [AB] par rapport au point C (placé sur ledit segment). Montrer le résultat en figure.

[Analysis]
Il s’agit d’une construction de symétrie centrale : on cherche les points A′ et B′ tels que C soit le milieu de [AA′] et de [BB′]. Pour cela on utilisera la propriété vectorielle $\vec{CA′} = -\vec{CA}$ et $\vec{CB′} = -\vec{CB}$.

[Solution]
Étape 1 : Construction de A′
Operation : Définir A′ tel que
$\vec{CA′} + \vec{CA} = \vec{0}$
Ce qui donne
$\vec{CA′} = -\vec{CA}$
Construction géométrique :

• Tracer la droite passant par C et A.

• Reporter le segment CA de l’autre côté de C en utilisant un compas : placer A′ sur la droite AC prolongée de façon que CA = CA′.

Étape 2 : Construction de B′
Operation : Définir B′ tel que
$\vec{CB′} + \vec{CB} = \vec{0}$
Ce qui donne
$\vec{CB′} = -\vec{CB}$
Construction géométrique :

• Tracer la droite passant par C et B.

• Reporter le segment CB de l’autre côté de C en utilisant un compas : placer B′ sur la droite CB prolongée de sorte que CB = CB′.

Étape 3 : Tracer le segment symétrique
Operation : Relier A′ à B′ pour obtenir le segment symétrique de [AB].

On obtient ainsi la figure où C est le milieu des segments [AA′] et [BB′], et [A′B′] est le symétrique de [AB] par rapport à C.

[Answer]
Le symétrique de $[AB]$ par rapport au point C est le segment $[A′B′]$, avec
$A′ = 2C - A$ et $B′ = 2C - B$.

[Problem]
Construis le symétrique du segment [AB] par rapport au point C (placé sur ledit segment).

[Analysis]
Il s’agit d’une symétrie centrale de centre C. Pour tout point X, son image X′ par cette symétrie vérifie que C est le milieu de [XX′]. On construira donc les images A′ et B′ de A et de B puis on reliera A′ et B′.

[Solution]

• Propriété de la symétrie centrale
  On sait que C est le milieu de [AA′], ce qui s’écrit
  $\vec{CA′} = -,\vec{CA}$

• Construction de A′
  – On trace la droite passant par C et parallèle à la droite AC.
  – Sur cette droite, on reporte la longueur CA dans le sens opposé à C→A pour obtenir A′.

• Vérification de la relation vectorielle pour A′
  Après tracé, on a bien
  $\overrightarrow{CA′} = -,\overrightarrow{CA}$

• Construction de B′
  Par le même procédé, on trace la droite passant par C et parallèle à CB, puis on reporte la longueur CB dans le sens opposé à C→B pour obtenir B′.

• Vérification de la relation vectorielle pour B′
  On a alors
  $\overrightarrow{CB′} = -,\overrightarrow{CB}$

• Obtention du symétrique du segment
  Le symétrique de [AB] par rapport à C est le segment joignant A′ et B′, c’est-à-dire [A′B′].

[Answer]
Le symétrique du segment [AB] par rapport à C est le segment $[A′B′]$, où A′ et B′ sont construits de telle sorte que
$\vec{CA′} = -,\vec{CA}$ et $\vec{CB′} = -,\vec{CB}$.