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  • ENTRÉE

    Construis le symétrique du segment [AB] par rapport au point C (placé sur ledit segment). Montrer le résultat en figure.

    SORTIE

    [Problem]
    Construis le symétrique du segment [AB] par rapport au point C (placé sur ledit segment). Montrer le résultat en figure.

    [Analysis]
    Il s’agit d’une construction de symétrie centrale : on cherche les points A′ et B′ tels que C soit le milieu de [AA′] et de [BB′]. Pour cela on utilisera la propriété vectorielle CA=CA\vec{CA′} = -\vec{CA} et CB=CB\vec{CB′} = -\vec{CB}.

    [Solution]
    Étape 1 : Construction de A′
    Operation : Définir A′ tel que
    CA+CA=0\vec{CA′} + \vec{CA} = \vec{0}
    Ce qui donne
    CA=CA\vec{CA′} = -\vec{CA}
    Construction géométrique :

    • Tracer la droite passant par C et A.

    • Reporter le segment CA de l’autre côté de C en utilisant un compas : placer A′ sur la droite AC prolongée de façon que CA = CA′.

    Étape 2 : Construction de B′
    Operation : Définir B′ tel que
    CB+CB=0\vec{CB′} + \vec{CB} = \vec{0}
    Ce qui donne
    CB=CB\vec{CB′} = -\vec{CB}
    Construction géométrique :

    • Tracer la droite passant par C et B.

    • Reporter le segment CB de l’autre côté de C en utilisant un compas : placer B′ sur la droite CB prolongée de sorte que CB = CB′.

    Étape 3 : Tracer le segment symétrique
    Operation : Relier A′ à B′ pour obtenir le segment symétrique de [AB].

    On obtient ainsi la figure où C est le milieu des segments [AA′] et [BB′], et [A′B′] est le symétrique de [AB] par rapport à C.

    [Answer]
    Le symétrique de [AB][AB] par rapport au point C est le segment [AB][A′B′], avec
    A=2CAA′ = 2C - A et B=2CBB′ = 2C - B.

  • ENTRÉE

    Construis le symétrique du segment [AB] par rapport au point C (placé sur ledit segment).

    SORTIE

    [Problem]
    Construis le symétrique du segment [AB] par rapport au point C (placé sur ledit segment).

    [Analysis]
    Il s’agit d’une symétrie centrale de centre C. Pour tout point X, son image X′ par cette symétrie vérifie que C est le milieu de [XX′]. On construira donc les images A′ et B′ de A et de B puis on reliera A′ et B′.

    [Solution]

    • Propriété de la symétrie centrale
      On sait que C est le milieu de [AA′], ce qui s’écrit
      CA=,CA\vec{CA′} = -,\vec{CA}

    • Construction de A′
      – On trace la droite passant par C et parallèle à la droite AC.
      – Sur cette droite, on reporte la longueur CA dans le sens opposé à C→A pour obtenir A′.

    • Vérification de la relation vectorielle pour A′
      Après tracé, on a bien
      CA=,CA\overrightarrow{CA′} = -,\overrightarrow{CA}

    • Construction de B′
      Par le même procédé, on trace la droite passant par C et parallèle à CB, puis on reporte la longueur CB dans le sens opposé à C→B pour obtenir B′.

    • Vérification de la relation vectorielle pour B′
      On a alors
      CB=,CB\overrightarrow{CB′} = -,\overrightarrow{CB}

    • Obtention du symétrique du segment
      Le symétrique de [AB] par rapport à C est le segment joignant A′ et B′, c’est-à-dire [A′B′].

    [Answer]
    Le symétrique du segment [AB] par rapport à C est le segment [AB][A′B′], où A′ et B′ sont construits de telle sorte que
    CA=,CA\vec{CA′} = -,\vec{CA} et CB=,CB\vec{CB′} = -,\vec{CB}.

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