Solveur de Statistiques

Analyse
On dispose de deux échantillons indépendants de lycéens de Floride, l’un avant la campagne TRUTH (n₁=9) et l’autre après (n₂=8), avec nombres de cigarettes par jour. Nous comparerons les moyennes par un test t de Student à deux échantillons (variances inégales, méthode de Welch).

Solution détaillée

Étape 1 : Statistiques descriptives
Calcul des moyennes et variances échantillonnales

Données avant TRUTH (n₁=9) : 5, 5, 8, 0, 0, 10, 0, 4, 10
– Somme Σx₁=42 ⇒ moyenne $\bar x_1 = \frac{42}{9} = 4,6667$
– Σx₁²=330 ⇒ variance $s_1^2 = \frac{330 - 9\,(4,6667)^2}{9 - 1} = 16,75$, écart-type $s_1 = 4,093$

Données après TRUTH (n₂=8) : 6, 0, 6, 7, 0, 0, 2, 5
– Somme Σx₂=26 ⇒ moyenne $\bar x_2 = \frac{26}{8} = 3,25$
– Σx₂²=150 ⇒ variance $s_2^2 = \frac{150 - 8\,(3,25)^2}{8 - 1} = 9,3571$, écart-type $s_2 = 3,059$

Différence des moyennes : $d = \bar x_1 - \bar x_2 = 4,6667 - 3,25 = 1,4167$

Étape 2 : Formulation des hypothèses
a) Hypothèses formelles
H0 : $\mu_1 - \mu_2 = 0$
H1 : $\mu_1 - \mu_2 eq 0$

Hypothèses en langage clair
H0 : « Il n’y a pas de différence moyenne du nombre de cigarettes par jour avant et après la campagne TRUTH. »
H1 : « Il existe une différence moyenne du nombre de cigarettes par jour avant et après TRUTH. »

Niveau de risque : α=0,05, test bilatéral.

Étape 3 : Calcul de la statistique de test
Erreur-type de la différence :
<<| SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
= \sqrt{\frac{16,75}{9} + \frac{9,3571}{8}}
= \sqrt{1,8611 + 1,1696}
= 1,741 |>>

Statistique t de Welch :
<<| t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{SE}
= \frac{1,4167}{1,741}
\approx 0,814 |>>

Degrés de liberté selon Welch :
<<| \nu \approx \frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2}
{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}
\approx 14,6 |>>

Valeur critique bilatérale pour α=0,05 et ν≈14,6 :
$t_{crit} = \pm 2,145$

Conclusion du test
|t|=0,814 < 2,145 ⇒ on ne rejette pas H0 au seuil de 5 %.

Étape 4 : p-value
p-value bilatérale ≃ 2·(1–F_t(0,814;ν=14,6)) ≃ 0,43 (43 %)
→ très supérieur à 5 %, confirme le non-rejet de H0.

Étape 5 : Intervalle de confiance à 95 %
<<| IC_{95\%} = (\bar x_1 - \bar x_2)
\pm t_{crit}\,SE
= 1,4167 \pm 2,145 \times 1,741
= 1,4167 \pm 3,735
= [-2,318 ; 5,152] |>>

Interprétation : on est 95 % confiants que la différence réelle des moyennes se situe entre –2,32 et +5,15 cigarettes/jour.

Synthèse des résultats
b) Avec |t|=0,814 et t_{crit}=2,145, on ne rejette pas H0 au niveau 5 %.
c) En langage courant : les données n’apportent pas de preuve statistiquement significative d’une modification du nombre moyen de cigarettes fumées par jour avant et après la campagne TRUTH.
d) L’intervalle de confiance 95 % pour $\mu_1 - \mu_2$ est [-2,318 ; 5,152], incluant zéro, ce qui corrobore l’absence de différence significative.

Analyse
Les données fournies sont les âges (en années) d’un échantillon de 100 agents. Il s’agit donc de données :

• Quantitatives

• Discrètes

Pour les traiter, nous allons :

• Regrouper les âges en classes d’une même amplitude

• Construire le tableau des effectifs et des fréquences

• Tracer l’histogramme et les polygones des effectifs cumulés

• Déterminer les caractéristiques demandées (centre de classe, limites exactes, moyenne géométrique)

Solution

• Nature des données
  Les âges sont des valeurs numériques comptables → données quantitatives discrètes.

• Regroupement en classes

  • Age minimum = 15, maximum = 90 → amplitude totale $A = 90 - 15 = 75$

  • Nombre de classes choisi ≃ √100 = 10 → intervalle de classe ≃ 75/10 = 7,5, arrondi à 8 (impair)

  • On prend largeur de classe $h = 8$ et première classe commençant à 15

  On obtient les 9 classes suivantes :
  <<|{
  Classe n° | Intervalle | Effectif
  1 | $15 – 23$ | 13
  2 | $24 – 32$ | 24
  3 | $33 – 41$ | 13
  4 | $42 – 50$ | 8
  5 | $51 – 59$ | 8
  6 | $60 – 68$ | 13
  7 | $69 – 77$ | 12
  8 | $78 – 86$ | 5
  9 | $87 – 95$ | 4
  |}>>
  Vérification : somme des effectifs = 100.

• Fréquences relatives
  Pour chaque classe,
  $f_i = \frac{n_i}{N}$ et en pourcentage $100\,f_i\%$

  Par exemple pour la classe 1 :
  $f_1 = \frac{13}{100} = 0{,}13 = 13\%$
  (Mêmes calculs pour les autres classes.)

• Représentations graphiques

  • Histogramme des effectifs simples (barres de largeur 8, hauteurs = effectifs)

  • Polygone des effectifs cumulés croissants et décroissants

• Valeur centrale de la 5ᵉ classe
  La 5ᵉ classe est $51 – 59$.
  Son centre = $\frac{51 + 59}{2} = 55$.

• Limites exactes de la 7ᵉ classe
  Pour des classes contiguës, on prend 0,5 unité avant/après chaque borne :

  • Limite inférieure exacte = $69 - 0{,}5 = 68{,}5$

  • Limite supérieure exacte = $77 + 0{,}5 = 77{,}5$

• Moyenne géométrique de la distribution
  On calcule $\overline G = \Bigl(\prod_{i = 1}^N x_i\Bigr)^{\frac{1}{N}}$
  → $\overline G \approx 41{,}68$

Réponse finale
La moyenne géométrique des âges est
$\overline G \approx 41{,}68$ années.

[Analysis]
Nous disposons de deux jeux de données univariées (nombre de vols en juin 2025 et en août 2025) pour cinq aéroports. L’objectif est de réaliser des statistiques descriptives (effectif, somme, moyenne, médiane, étendue, variance, écart-type, coefficient de variation) pour chaque mois, d’analyser l’évolution entre juin et août (différence absolue, taux de croissance) et, le cas échéant, d’étudier la relation entre les deux séries (covariance, corrélation).

[Solution]

• Recueil et présentation des données
  • Aéroports et nombre de vols
  T/C : 7 (juin), 14 (août)
  DJE : 94 (juin), 99 (août)
  SFA : 0 (juin), 0 (août)
  MIR : 49 (juin), 69 (août)
  NBE : 103 (juin), 116 (août)

• Statistiques pour juin 2025
  2.1. Effectif
  N = 5

  2.2. Somme
  S = 7 + 94 + 0 + 49 + 103 = 253

  2.3. Moyenne
  <<| \overline{x}{\text{juin}} = \frac{1}{N}\sum{i=1}^{N} x_i = \frac{253}{5} = 50{,}6 |>>

  2.4. Médiane
  Valeurs triées : 0, 7, 49, 94, 103 → médiane = 49

  2.5. Étendue
  min = 0, max = 103 → étendue = 103 − 0 = 103

  2.6. Variance (population)
  <<| \sigma^2_{\text{juin}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x}{\text{juin}})^2 = \frac{9093}{5} \approx 1818{,}6 |>>
  (on trouve {\displaystyle \sum (x_i-\overline x{\text{juin}})^2=9093})

  2.7. Écart-type (population)
  $\sigma_{\text{juin}} = \sqrt{\sigma^2_{\text{juin}}} \approx 42{,}64$

  2.8. Coefficient de variation
  <<| \text{CV}{\text{juin}} = \frac{\sigma{\text{juin}}}{\overline{x}_{\text{juin}}} \approx \frac{42{,}64}{50{,}6} \approx 0{,}843 \;(84{,}3\%) |>>

• Statistiques pour août 2025
  3.1. Effectif
  N = 5

  3.2. Somme
  S = 14 + 99 + 0 + 69 + 116 = 298

  3.3. Moyenne
  $\overline{x}_{\text{août}} = \frac{298}{5} = 59{,}6$

  3.4. Médiane
  Valeurs triées : 0, 14, 69, 99, 116 → médiane = 69

  3.5. Étendue
  min = 0, max = 116 → étendue = 116

  3.6. Variance (population)
  $\sigma^2_{\text{août}} = \frac{1}{5}\sum (x_i - \overline{x}_{\text{août}})^2 \approx \frac{10452{,}84}{5} = 2090{,}57$

  3.7. Écart-type (population)
  $\sigma_{\text{août}} = \sqrt{2090{,}57} \approx 45{,}73$

  3.8. Coefficient de variation
  $\text{CV}_{\text{août}} = \frac{45{,}73}{59{,}6} \approx 0{,}767 \;(76{,}7\%)$

• Analyse comparative juin vs août
  4.1. Totaux et variations globales
  Total juin = 253, total août = 298 → augmentation de 45 vols
  Taux de croissance global : $\frac{298 - 253}{253}\approx 0{,}178 \;(17{,}8\%)$

  4.2. Taux de croissance par aéroport
  T/C : $\frac{14 - 7}{7}=1{,}00\;(100\%)$
  DJE : $\frac{99 - 94}{94}\approx 0{,}0532\;(5{,}32\%)$
  SFA : stagnation (0→0)
  MIR : $\frac{69 - 49}{49}\approx 0{,}4082\;(40{,}82\%)$
  NBE : $\frac{116 - 103}{103}\approx 0{,}1262\;(12{,}62\%)$

• Corrélation entre juin et août
  5.1. Covariance (population)
  <<| \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} (x_i-\overline{x}{\text{juin}})(y_i-\overline{x}{\text{août}})\approx 1930{,}52 |>>

  5.2. Coefficient de corrélation
  $r = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_{\text{juin}}\;\sigma_{\text{août}}}\approx \frac{1930{,}52}{42{,}64\times 45{,}73}\approx 0{,}99$
  Forte corrélation positive entre le nombre de vols en juin et en août.

[Answer]
Résumé des statistiques principales :
• Juin : N=5, somme=253, moyenne $50{,}6$, médiane 49, étendue 103, σ≈42{,}64, CV≈84,3 %.
• Août : N=5, somme=298, moyenne $59{,}6$, médiane 69, étendue 116, σ≈45{,}73, CV≈76,7 %.
• Croissance globale ≈17,8 %, variabilité mensuelle élevée, très forte corrélation (r≈0,99) entre les deux mois.

Analyse

Il s’agit d’un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés.
On calculera :

• le point moyen G,

• les sommes de carrés $$S_{xx},S_{yy},S_{xy}$$,

• le coefficient de corrélation $$r$$,

• la droite de régression de $$y$$ en $$x$$,

• des prévisions.

Solution

• Représentation du nuage
  On place les points
  $(10;40),(15;50),(20;65),(25;75),(30;90)$
  et le point moyen G obtenu ci-dessous.

• Point moyen G
  $\bar{x} = \frac{10 + 15 + 20 + 25 + 30}{5} = 20$
  $\bar{y} = \frac{40 + 50 + 65 + 75 + 90}{5} = 64$
  Donc $G(20;64)$.

• Calcul des sommes de carrés
  On dresse le tableau des écarts et produits :

  xᵢ	yᵢ	xᵢ−20	yᵢ−64	(xᵢ−20)(yᵢ−64)	(xᵢ−20)²	(yᵢ−64)²
  10	40	−10	−24	240	100	576
  15	50	−5	−14	70	25	196
  20	65	0	1	0	0	1
  25	75	5	11	55	25	121
  30	90	10	26	260	100	676

  $S_{xy} = \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 625$
  $S_{xx} = \sum (x_i-\bar{x})^2 = 250$
  $S_{yy} = \sum (y_i-\bar{y})^2 = 1570$

• Coefficient de corrélation
  <<|r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}
  = \frac{625}{\sqrt{250\times1570}}
  \approx 0{,}9976|>>
  Interprétation : corrélation linéaire très forte positive.

• Droite de régression de y en x
  Pente : $a = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{625}{250} = 2{,}5$
  Ordonnée à l’origine : $b = \bar{y} - a\,\bar{x} = 64 - 2{,}5\times20 = 14$
  Équation : $y = 2{,}5\,x + 14$.

• Prévisions
  a) Pour une dépense de 40000 € (soit $x = 40$ k€) :
  $y = 2{,}5\times40 + 14 = 114$ k€ (soit 114 000 €).
  b) Pour avoir $y > 125$ k€ :
  <<|2{,}5\,x + 14 > 125
  \iff x > \frac{125 - 14}{2{,}5} = 44{,}4|>> k€
  Il faut donc dépenser au moins 44 400 €.

Réponse

• Point moyen : $G(20;64)$

• Coefficient de corrélation : $r \approx 0{,}9976$ (très forte corrélation positive)

• Droite de régression : $y = 2{,}5\,x + 14$

• Pour 40 000 € : $y = 114\,\text{(soit 114 000 €)}$

• Dépense minimale pour dépasser 125 000 € : $44\,400 €$