Solveur de Statistiques

Analyse
On dispose de deux échantillons indépendants de lycéens de Floride, l’un avant la campagne TRUTH (n₁=9) et l’autre après (n₂=8), avec nombres de cigarettes par jour. Nous comparerons les moyennes par un test t de Student à deux échantillons (variances inégales, méthode de Welch).

Solution détaillée

Étape 1 : Statistiques descriptives
Calcul des moyennes et variances échantillonnales

Données avant TRUTH (n₁=9) : 5, 5, 8, 0, 0, 10, 0, 4, 10
– Somme Σx₁=42 ⇒ moyenne $\bar x_1 = \frac{42}{9} = 4,6667$
– Σx₁²=330 ⇒ variance $s_1^2 = \frac{330 - 9,(4,6667)^2}{9 - 1} = 16,75$, écart-type $s_1 = 4,093$

Données après TRUTH (n₂=8) : 6, 0, 6, 7, 0, 0, 2, 5
– Somme Σx₂=26 ⇒ moyenne $\bar x_2 = \frac{26}{8} = 3,25$
– Σx₂²=150 ⇒ variance $s_2^2 = \frac{150 - 8,(3,25)^2}{8 - 1} = 9,3571$, écart-type $s_2 = 3,059$

Différence des moyennes : $d = \bar x_1 - \bar x_2 = 4,6667 - 3,25 = 1,4167$

Étape 2 : Formulation des hypothèses
a) Hypothèses formelles
H0 : $\mu_1 - \mu_2 = 0$
H1 : $\mu_1 - \mu_2 eq 0$

Hypothèses en langage clair
H0 : « Il n’y a pas de différence moyenne du nombre de cigarettes par jour avant et après la campagne TRUTH. »
H1 : « Il existe une différence moyenne du nombre de cigarettes par jour avant et après TRUTH. »

Niveau de risque : α=0,05, test bilatéral.

Étape 3 : Calcul de la statistique de test
Erreur-type de la différence :
<<| SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
= \sqrt{\frac{16,75}{9} + \frac{9,3571}{8}}
= \sqrt{1,8611 + 1,1696}
= 1,741 |>>

Statistique t de Welch :
<<| t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{SE}
= \frac{1,4167}{1,741}
\approx 0,814 |>>

Degrés de liberté selon Welch :
<<| \nu \approx \frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2}
{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}
\approx 14,6 |>>

Valeur critique bilatérale pour α=0,05 et ν≈14,6 :
$t_{crit} = \pm 2,145$

Conclusion du test
|t|=0,814 < 2,145 ⇒ on ne rejette pas H0 au seuil de 5 %.

Étape 4 : p-value
p-value bilatérale ≃ 2·(1–F_t(0,814;ν=14,6)) ≃ 0,43 (43 %)
→ très supérieur à 5 %, confirme le non-rejet de H0.

Étape 5 : Intervalle de confiance à 95 %
<<| IC_{95%} = (\bar x_1 - \bar x_2)
\pm t_{crit},SE
= 1,4167 \pm 2,145 \times 1,741
= 1,4167 \pm 3,735
= [-2,318 ; 5,152] |>>

Interprétation : on est 95 % confiants que la différence réelle des moyennes se situe entre –2,32 et +5,15 cigarettes/jour.

Synthèse des résultats
b) Avec |t|=0,814 et t_{crit}=2,145, on ne rejette pas H0 au niveau 5 %.
c) En langage courant : les données n’apportent pas de preuve statistiquement significative d’une modification du nombre moyen de cigarettes fumées par jour avant et après la campagne TRUTH.
d) L’intervalle de confiance 95 % pour $\mu_1 - \mu_2$ est [-2,318 ; 5,152], incluant zéro, ce qui corrobore l’absence de différence significative.