Solveur de Statistiques

Analyse
On dispose de deux échantillons indépendants de lycéens de Floride, l’un avant la campagne TRUTH (n₁=9) et l’autre après (n₂=8), avec nombres de cigarettes par jour. Nous comparerons les moyennes par un test t de Student à deux échantillons (variances inégales, méthode de Welch).

Solution détaillée

Étape 1 : Statistiques descriptives
Calcul des moyennes et variances échantillonnales

Données avant TRUTH (n₁=9) : 5, 5, 8, 0, 0, 10, 0, 4, 10
– Somme Σx₁=42 ⇒ moyenne $\bar x_1 = \frac{42}{9} = 4,6667$
– Σx₁²=330 ⇒ variance $s_1^2 = \frac{330 - 9\,(4,6667)^2}{9 - 1} = 16,75$, écart-type $s_1 = 4,093$

Données après TRUTH (n₂=8) : 6, 0, 6, 7, 0, 0, 2, 5
– Somme Σx₂=26 ⇒ moyenne $\bar x_2 = \frac{26}{8} = 3,25$
– Σx₂²=150 ⇒ variance $s_2^2 = \frac{150 - 8\,(3,25)^2}{8 - 1} = 9,3571$, écart-type $s_2 = 3,059$

Différence des moyennes : $d = \bar x_1 - \bar x_2 = 4,6667 - 3,25 = 1,4167$

Étape 2 : Formulation des hypothèses
a) Hypothèses formelles
H0 : $\mu_1 - \mu_2 = 0$
H1 : $\mu_1 - \mu_2 eq 0$

Hypothèses en langage clair
H0 : « Il n’y a pas de différence moyenne du nombre de cigarettes par jour avant et après la campagne TRUTH. »
H1 : « Il existe une différence moyenne du nombre de cigarettes par jour avant et après TRUTH. »

Niveau de risque : α=0,05, test bilatéral.

Étape 3 : Calcul de la statistique de test
Erreur-type de la différence :
<<| SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
= \sqrt{\frac{16,75}{9} + \frac{9,3571}{8}}
= \sqrt{1,8611 + 1,1696}
= 1,741 |>>

Statistique t de Welch :
<<| t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{SE}
= \frac{1,4167}{1,741}
\approx 0,814 |>>

Degrés de liberté selon Welch :
<<| \nu \approx \frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2}
{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}
\approx 14,6 |>>

Valeur critique bilatérale pour α=0,05 et ν≈14,6 :
$t_{crit} = \pm 2,145$

Conclusion du test
|t|=0,814 < 2,145 ⇒ on ne rejette pas H0 au seuil de 5 %.

Étape 4 : p-value
p-value bilatérale ≃ 2·(1–F_t(0,814;ν=14,6)) ≃ 0,43 (43 %)
→ très supérieur à 5 %, confirme le non-rejet de H0.

Étape 5 : Intervalle de confiance à 95 %
<<| IC_{95\%} = (\bar x_1 - \bar x_2)
\pm t_{crit}\,SE
= 1,4167 \pm 2,145 \times 1,741
= 1,4167 \pm 3,735
= [-2,318 ; 5,152] |>>

Interprétation : on est 95 % confiants que la différence réelle des moyennes se situe entre –2,32 et +5,15 cigarettes/jour.

Synthèse des résultats
b) Avec |t|=0,814 et t_{crit}=2,145, on ne rejette pas H0 au niveau 5 %.
c) En langage courant : les données n’apportent pas de preuve statistiquement significative d’une modification du nombre moyen de cigarettes fumées par jour avant et après la campagne TRUTH.
d) L’intervalle de confiance 95 % pour $\mu_1 - \mu_2$ est [-2,318 ; 5,152], incluant zéro, ce qui corrobore l’absence de différence significative.

Analyse
Les données fournies sont les âges (en années) d’un échantillon de 100 agents. Il s’agit donc de données :

• Quantitatives

• Discrètes

Pour les traiter, nous allons :

• Regrouper les âges en classes d’une même amplitude

• Construire le tableau des effectifs et des fréquences

• Tracer l’histogramme et les polygones des effectifs cumulés

• Déterminer les caractéristiques demandées (centre de classe, limites exactes, moyenne géométrique)

Solution

• Nature des données
  Les âges sont des valeurs numériques comptables → données quantitatives discrètes.

• Regroupement en classes

  • Age minimum = 15, maximum = 90 → amplitude totale $A = 90 - 15 = 75$

  • Nombre de classes choisi ≃ √100 = 10 → intervalle de classe ≃ 75/10 = 7,5, arrondi à 8 (impair)

  • On prend largeur de classe $h = 8$ et première classe commençant à 15

  On obtient les 9 classes suivantes :
  <<|{
  Classe n° | Intervalle | Effectif
  1 | $15 – 23$ | 13
  2 | $24 – 32$ | 24
  3 | $33 – 41$ | 13
  4 | $42 – 50$ | 8
  5 | $51 – 59$ | 8
  6 | $60 – 68$ | 13
  7 | $69 – 77$ | 12
  8 | $78 – 86$ | 5
  9 | $87 – 95$ | 4
  |}>>
  Vérification : somme des effectifs = 100.

• Fréquences relatives
  Pour chaque classe,
  $f_i = \frac{n_i}{N}$ et en pourcentage $100\,f_i\%$

  Par exemple pour la classe 1 :
  $f_1 = \frac{13}{100} = 0{,}13 = 13\%$
  (Mêmes calculs pour les autres classes.)

• Représentations graphiques

  • Histogramme des effectifs simples (barres de largeur 8, hauteurs = effectifs)

  • Polygone des effectifs cumulés croissants et décroissants

• Valeur centrale de la 5ᵉ classe
  La 5ᵉ classe est $51 – 59$.
  Son centre = $\frac{51 + 59}{2} = 55$.

• Limites exactes de la 7ᵉ classe
  Pour des classes contiguës, on prend 0,5 unité avant/après chaque borne :

  • Limite inférieure exacte = $69 - 0{,}5 = 68{,}5$

  • Limite supérieure exacte = $77 + 0{,}5 = 77{,}5$

• Moyenne géométrique de la distribution
  On calcule $\overline G = \Bigl(\prod_{i = 1}^N x_i\Bigr)^{\frac{1}{N}}$
  → $\overline G \approx 41{,}68$

Réponse finale
La moyenne géométrique des âges est
$\overline G \approx 41{,}68$ années.

[Analysis]
Nous disposons de deux jeux de données univariées (nombre de vols en juin 2025 et en août 2025) pour cinq aéroports. L’objectif est de réaliser des statistiques descriptives (effectif, somme, moyenne, médiane, étendue, variance, écart-type, coefficient de variation) pour chaque mois, d’analyser l’évolution entre juin et août (différence absolue, taux de croissance) et, le cas échéant, d’étudier la relation entre les deux séries (covariance, corrélation).

[Solution]

• Recueil et présentation des données
  • Aéroports et nombre de vols
  T/C : 7 (juin), 14 (août)
  DJE : 94 (juin), 99 (août)
  SFA : 0 (juin), 0 (août)
  MIR : 49 (juin), 69 (août)
  NBE : 103 (juin), 116 (août)

• Statistiques pour juin 2025
  2.1. Effectif
  N = 5

  2.2. Somme
  S = 7 + 94 + 0 + 49 + 103 = 253

  2.3. Moyenne
  <<| \overline{x}{\text{juin}} = \frac{1}{N}\sum{i=1}^{N} x_i = \frac{253}{5} = 50{,}6 |>>

  2.4. Médiane
  Valeurs triées : 0, 7, 49, 94, 103 → médiane = 49

  2.5. Étendue
  min = 0, max = 103 → étendue = 103 − 0 = 103

  2.6. Variance (population)
  <<| \sigma^2_{\text{juin}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x}{\text{juin}})^2 = \frac{9093}{5} \approx 1818{,}6 |>>
  (on trouve {\displaystyle \sum (x_i-\overline x{\text{juin}})^2=9093})

  2.7. Écart-type (population)
  $\sigma_{\text{juin}} = \sqrt{\sigma^2_{\text{juin}}} \approx 42{,}64$

  2.8. Coefficient de variation
  <<| \text{CV}{\text{juin}} = \frac{\sigma{\text{juin}}}{\overline{x}_{\text{juin}}} \approx \frac{42{,}64}{50{,}6} \approx 0{,}843 \;(84{,}3\%) |>>

• Statistiques pour août 2025
  3.1. Effectif
  N = 5

  3.2. Somme
  S = 14 + 99 + 0 + 69 + 116 = 298

  3.3. Moyenne
  $\overline{x}_{\text{août}} = \frac{298}{5} = 59{,}6$

  3.4. Médiane
  Valeurs triées : 0, 14, 69, 99, 116 → médiane = 69

  3.5. Étendue
  min = 0, max = 116 → étendue = 116

  3.6. Variance (population)
  $\sigma^2_{\text{août}} = \frac{1}{5}\sum (x_i - \overline{x}_{\text{août}})^2 \approx \frac{10452{,}84}{5} = 2090{,}57$

  3.7. Écart-type (population)
  $\sigma_{\text{août}} = \sqrt{2090{,}57} \approx 45{,}73$

  3.8. Coefficient de variation
  $\text{CV}_{\text{août}} = \frac{45{,}73}{59{,}6} \approx 0{,}767 \;(76{,}7\%)$

• Analyse comparative juin vs août
  4.1. Totaux et variations globales
  Total juin = 253, total août = 298 → augmentation de 45 vols
  Taux de croissance global : $\frac{298 - 253}{253}\approx 0{,}178 \;(17{,}8\%)$

  4.2. Taux de croissance par aéroport
  T/C : $\frac{14 - 7}{7}=1{,}00\;(100\%)$
  DJE : $\frac{99 - 94}{94}\approx 0{,}0532\;(5{,}32\%)$
  SFA : stagnation (0→0)
  MIR : $\frac{69 - 49}{49}\approx 0{,}4082\;(40{,}82\%)$
  NBE : $\frac{116 - 103}{103}\approx 0{,}1262\;(12{,}62\%)$

• Corrélation entre juin et août
  5.1. Covariance (population)
  <<| \mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} (x_i-\overline{x}{\text{juin}})(y_i-\overline{x}{\text{août}})\approx 1930{,}52 |>>

  5.2. Coefficient de corrélation
  $r = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_{\text{juin}}\;\sigma_{\text{août}}}\approx \frac{1930{,}52}{42{,}64\times 45{,}73}\approx 0{,}99$
  Forte corrélation positive entre le nombre de vols en juin et en août.

[Answer]
Résumé des statistiques principales :
• Juin : N=5, somme=253, moyenne $50{,}6$, médiane 49, étendue 103, σ≈42{,}64, CV≈84,3 %.
• Août : N=5, somme=298, moyenne $59{,}6$, médiane 69, étendue 116, σ≈45{,}73, CV≈76,7 %.
• Croissance globale ≈17,8 %, variabilité mensuelle élevée, très forte corrélation (r≈0,99) entre les deux mois.

À l'attention de Monsieur le Directeur Général,

Voici une synthèse décisionnelle concernant l'arbitrage entre l'acquisition de terminaux de paiement (GAB) et la location via le prestataire unique HTS. Cette étude s'appuie sur une analyse statistique et financière des flux de trésorerie (Cash-Flows) actualisés au taux directeur de la Banque d'Algérie.

[Analysis]

L'objectif est de déterminer le mode de financement le plus rentable pour la banque BDL sur un horizon de 5 ans. La méthode statistique utilisée est celle de la Valeur Actuelle Nette (VAN).

La VAN permet de mesurer la richesse créée par un investissement en ramenant les revenus futurs à leur valeur d'aujourd'hui, selon la formule :
$VAN = \sum_{t = 1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + i)^t} - I_0$
Où :

• $CF_t$ : Flux de trésorerie net de l'année $t$.

• $i$ : Taux d'actualisation (2,5 % soit $0,025$).

• $I_0$ : Investissement initial (pour l'acquisition).

Nous comparerons également le coût de revient de la location (prix standard vs négocié) par rapport à l'acquisition d'un GAB multifonction à $4\ 500\ 000$ DA TTC.

[Solution]

Étape 1 : Analyse des coûts de location (HTS)

Le prestataire HTS propose deux tarifs. Calculons l'impact annuel TTC (TVA 19%) :

• Prix Standard : $35\ 000$ DA HT/mois

  • Mensuel TTC : $35\ 000 \times 1,19 = 41\ 650$ DA

  • Annuel TTC : $41\ 650 \times 12 = 499\ 800$ DA

• Prix Négocié : $24\ 000$ DA HT/mois

  • Mensuel TTC : $24\ 000 \times 1,19 = 28\ 560$ DA

  • Annuel TTC : $28\ 560 \times 12 = 342\ 720$ DA

Étape 2 : Comparaison des Flux de Trésorerie (Cash-Flows) sur 5 ans

Les données montrent que l'acquisition génère des résultats nets bien supérieurs à la location, car elle élimine la charge récurrente du loyer et bénéficie d'une garantie de 5 ans (coûts de maintenance nuls ou maîtrisés).

Étape 3 : Calcul et Classement par la VAN

La VAN représente le gain réel net pour la banque après 5 ans, en tenant compte de l'inflation et de la valeur du temps.

• Acquisition GAB HYOSUNG : $VAN = 2\ 308\ 500,69$ DA

• Location (Prix Négocié) : $VAN = 869\ 724,80$ DA

• Acquisition GAB NCR : $VAN = 706\ 598,28$ DA

• Acquisition GAB DIEBOLD : $VAN = 182\ 923,77$ DA

• Location (Prix Standard) : $VAN < 0$ (Perte financière)

Étape 4 : Analyse de l'investissement initial

L'acquisition d'un GAB multifonction coûte $4\ 500\ 000$ DA TTC.

• En location standard, la banque dépense $499\ 800 \times 5 = 2\ 499\ 000$ DA en 5 ans sans jamais posséder l'équipement.

• En acquisition, bien que le décaissement initial soit plus élevé, la valeur résiduelle de l'appareil et l'absence de loyer après amortissement rendent l'opération largement bénéficiaire.

[Answer]

Au vu des résultats statistiques et financiers, le choix stratégique pour la BDL est sans équivoque :

• Priorité à l'Acquisition (Scénario Hyosung) : C'est le projet le plus rentable avec une $VAN = 2\ 308\ 500,69$ DA. Il permet de transformer une charge d'exploitation en un investissement durable.

• Rejet de la Location Standard : Le prix de $35\ 000$ DA HT (soit $41\ 650$ DA TTC) présente une VAN négative, ce qui signifie que ce mode de gestion détruit de la valeur pour la banque.

• Risque de Monopole : Dépendre d'un seul prestataire (HTS) pour la location expose la banque à des révisions de prix arbitraires et à une perte d'autonomie opérationnelle.

Conclusion : L'acquisition d'un GAB multifonction à $4\ 500\ 000$ DA est l'option la plus avantageuse. Elle garantit une maîtrise totale des coûts sur 5 ans grâce à la période de garantie et offre un rendement financier supérieur de 165 % par rapport à la meilleure option de location négociée.

Recommandation : Engager l'acquisition du parc GAB pour valoriser le patrimoine de la banque et optimiser la rentabilité par transaction (moyenne de 23 000 opérations/GAB).