Risolutore di Economia

Analisi

Si tratta di due applicazioni di matematica finanziaria:

• Accumulazione di una rendita per ottenere un obiettivo futuro.

• Valutazione del valore attuale di un fabbricato con flussi di cassa variabili e una rendita perpetua finale, usando tassi di sconto e di capitalizzazione distinti.

Soluzione

Problema 3

Calcolare la rata annua $A$ che, a tasso $i = 3$ e durata $n = 30$ anni, accumula un montante $FV = 100,000€$.

Step 1 – Formula dell’accumulazione di una rendita posticipata:
$,FV = A \times \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i},$

Step 2 – Isoliamo $A$:
$,A = FV \times \frac{i}{(1 + i)^{n} - 1},$

Step 3 – Sostituzioni numeriche:
$,A = 100,000 \times \frac{0.03}{(1.03)^{30} - 1},$

Step 4 – Calcolo numerico:
$(1.03)^{30} \approx 2.42726$
$(1.03)^{30} - 1 \approx 1.42726$
$,A \approx 100,000 \times \frac{0.03}{1.42726} \approx 2,102.55€$

Problema 4

Flussi di cassa del fabbricato:

• Anni 1–2: $+10,000€$ all’anno

• Anni 3–5: $−50,000€$ all’anno

• Anni ≥ 6: rendita perpetua posticipata di $20,000€$ all’anno

Tassi:

• Sconto ordinario $i = 3$

• Capitalizzazione perpetuità $r = 1{,}8$

Step 1 – Valore attuale dei flussi anni 1–2:
$,PV_{1 - 2} = 10,000 \bigl(\tfrac{1}{1.03} + \tfrac{1}{1.03^{2}}\bigr)\approx 19,134.70€$

Step 2 – Valore attuale dei flussi anni 3–5:
$,PV_{3 - 5} = -50,000 \bigl(\tfrac{1}{1.03^{3}} + \tfrac{1}{1.03^{4}} + \tfrac{1}{1.03^{5}}\bigr)\approx -133,337.00€$

Step 3 – Valore di capitale della rendita perpetua a fine anno 5:
$,K_{5} = \frac{20,000}{0.018}\approx 1,111,111.11€$

Step 4 – Sconto di $K_{5}$ a oggi:
$,PV_{\infty} = \frac{1,111,111.11}{1.03^{5}}\approx 958,263.00€$

Step 5 – Somma dei valori attuali:
$,PV_{tot} = PV_{1 - 2} + PV_{3 - 5} + PV_{\infty}\approx 19,134.70 - 133,337.00 + 958,263.00 \approx 844,060.70€$

Risposta

• Rata annua per accumulare $100,000€$ in 30 anni a $3$:
  $A \approx 2,102.55€$

• Valore attuale del fabbricato:
  $PV_{tot} \approx 844,060.70€$

Analisi
Il problema richiede di determinare il valore attuale di un fabbricato scontando i redditi futuri, che si articolano in tre fasi:

• Anni 1–2: reddito positivo di € 10 000/anno.

• Anni 3–5: spese (reddito negativo) di € 50 000/anno.

• Anni 6 in poi: reddito perpetuo, pari al doppio di prima della ristrutturazione (2·€ 10 000=€ 20 000).

Si dispone di:

• tasso di crescita dei volumi (inflazione) $i = 3$

• tasso di capitalizzazione reale $r = 1{,}8$

Applichiamo il metodo “Fisher” per ottenere il tasso nominale $R$ e poi scontiamo i singoli flussi + la rendita perpetua.

Soluzione

• Calcolo del tasso nominale $R$
  ­
  ­– $1 + i=1{,}03$
  ­– $1 + r=1{,}018$
  ­– $R=(1 + i),(1 + r)-1 = 1{,}03\cdot1{,}018 - 1=0{,}04854\approx4{,}854$

• Definizione dei flussi di cassa $CF_t$
  ­
  ­– $CF_1 = CF_2=+10,000$
  ­– $CF_3 = CF_4=CF_5=-50,000$
  ­– $CF_t=+20,000$ per ogni $t\ge6$ (perpetuo)

• Sconto dei flussi discreti (anni 1–5)
  ­
  ­• $PV_1=\dfrac{10,000}{(1 + R)^1}=\dfrac{10,000}{1{,}04854}=9 537{,}78$
  ­• $PV_2=\dfrac{10,000}{(1 + R)^2}=\dfrac{10,000}{1{,}04854^2}=9 094{,}52$
  ­• $PV_3=\dfrac{-50,000}{(1 + R)^3}=-43 691{,}64$
  ­• $PV_4=\dfrac{-50,000}{(1 + R)^4}=-41 657{,}71$
  ­• $PV_5=\dfrac{-50,000}{(1 + R)^5}=-39 737{,}05$

• Valore della rendita perpetua al tempo $t = 5$
  ­
  ­– Valore a $t = 5$: $V_{5}=\dfrac{CF_{6}}{R}=\dfrac{20,000}{0{,}04854}=412 056{,}36$
  ­– Riporto a $t = 0$: $PV_{\mathrm{perpetuo}}=\dfrac{V_{5}}{(1 + R)^5}=\dfrac{412 056{,}36}{1{,}04854^5}=204 290{,}76$

• Somma dei valori attuali
  ­
  ­• $PV_{\mathrm{discreti}}=9 537{,}78 + 9 094{,}52 - 43 691{,}64 - 41 657{,}71 - 39 737{,}05=-106 453{,}10$
  ­• $PV_{\mathrm{totale}}=PV_{\mathrm{discreti}}+PV_{\mathrm{perpetuo}}=-106 453{,}10 + 204 290{,}76 = 97 837{,}66$

Risposta
Il valore attuale del fabbricato è circa
$97 837{,}66\text{ €}$.

[Analysis]
Il problema richiede la redazione dei seguenti budget:

• Budget delle vendite

• Budget della produzione

• Budget delle materie prime

• Budget degli acquisti

• Budget della manodopera diretta

Utilizzeremo il modello di contabilità industriale per determinare per ciascun variante (TX, TY, TZ):

• le vendite programmate trimestrali e il fatturato

• le quantità da produrre in base a vendite, scorte iniziali e scorte finali

• i consumi di materia prima e le relative esigenze di acquisto

• i fabbisogni di ore di manodopera e il loro costo

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[Solution]

a. Budget delle vendite

Trimestre	Vendite TX (u.)	Vendite TY (u.)	Vendite TZ (u.)	Fatturato TX (€)	Fatturato TY (€)	Fatturato TZ (€)	Fatturato Totale (€)
1°	7 000	11 000	5 600	<<	7 000·2 000=14 000 000	>>	<<
2°	6 400	8 000	3 200	<<	6 400·2 000=12 800 000	>>	<<
3°	7 200	7 600	4 300	<<	7 200·2 000=14 400 000	>>	<<
4°	8 000	12 000	6 900	<<	8 000·2 000=16 000 000	>>	<<
Totale	28 600	38 600	20 000	57 200 000	96 500 000	53 ,?=?	207 700 000

Prezzi unitari: TX=$2 000€$, TY=$2 500€$, TZ=$2 700€$

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b. Budget della produzione

Dati iniziali di scorte prodotti:

• Scorte iniziali TX=3 600 u.

• Scorte iniziali TY=4 200 u.

• Scorte iniziali TZ=5 000 u.

Scorte finali programmate = scorte iniziali ·1,10

• Scorte finali TX=$3 600·1,10 = 3 960$ u.

• Scorte finali TY=$4 200·1,10 = 4 620$ u.

• Scorte finali TZ=$5 000·1,10 = 5 500$ u.

Quantità da produrre = vendite annue + scorte finali – scorte iniziali

Variante	Vendite totali (u.)	Scorte iniziali (u.)	Scorte finali (u.)	Produzione (u.)
TX	28 600	3 600	3 960	<<
TY	38 600	4 200	4 620	<<
TZ	20 000	5 000	5 500	<<
Totale				88 480 u.

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c. Budget delle materie prime

Fabbisogno kg per unità:

• TX=120 kg, TY=140 kg, TZ=160 kg.

Consumo = produzione · kg/unità

Variante	Produzione (u.)	kg/u.	Consumo (kg)
TX	28 960	120	<<
TY	39 020	140	<<
TZ	20 500	160	<<
Totale			12 218 000 kg

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d. Budget degli acquisti di materia prima

Scorte iniziali MP=3 000 kg
Scorte finali MP=$3 000·1,15 = 3 450$ kg

Quantità da acquistare = consumo + scorte finali – scorte iniziali
= $12 218 000 + 3 450–3 000 = 12 218 450$ kg

Costo unitario = $15 €/kg$

Costo acquisti = $12 218 450·15 = 183 276 750 €$

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e. Budget della manodopera diretta

Fabbisogno ore per unità:

• TX=2 h, TY=3 h, TZ=5 h.

Ore totali = produzione · ore/unità

Variante	Produzione (u.)	h/u.	Ore tot.
TX	28 960	2	<<
TY	39 020	3	<<
TZ	20 500	5	<<
Totale			277 480 h

Costo orario = $33 €/h$

Costo manodopera = $277 480·33 = 9 159 840 €$

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[Answer]

• Produzione annua TX=$28 960 u.$, TY=$39 020 u.$, TZ=$20 500 u.$.

• Acquisto MP=$12 218 450 kg$ per $183 276 750 €$.

• Ore MD=$277 480 h$ per $9 159 840 €$.