Risolutore di Economia

Analisi
Si tratta di un classico modello ricardiano a due paesi (H e F), un fattore (lavoro), due beni (Elettrodomestici E e Cappelli C).
Approccio:

• Costruire le FP (PPF) di entrambi i paesi

• Calcolare i costi opportunità e i prezzi relativi in autarchia

• Individuare i vantaggi comparati e la specializzazione sotto scambio

• Derivare qualitativamente le curve di eccesso di domanda di C

• Analizzare l’equilibrio di commercio internazionale a $P_{C}/P_{E}=0.2$

• Calcolare i salari reali in autarchia e sotto scambio, in termini di E e di C

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Soluzione

1. Frontiere delle possibilità produttive (PPF)
Paese H:
<<|a^{H}{E}=4,;a^{H}{C}=0.5,;L^{H}=2000|>>
– Produzione massima di Elettrodomestici:
<<|E^{H}{\max}=L^{H}/a^{H}{E}=2000/4=500|>>
– Produzione massima di Cappelli:
<<|C^{H}{\max}=L^{H}/a^{H}{C}=2000/0.5=4000|>>
Equazione PPF_H:
<<|C=-\frac{a^{H}{C}}{a^{H}{E}},E+C^{H}_{\max}=-8,E+4000|>>

Paese F:
<<|a^{F}{E}=2,;a^{F}{C}=1,;L^{F}=400|>>
– <<|E^{F}{\max}=400/2=200|>>
– <<|C^{F}{\max}=400/1=400|>>
Equazione PPF_F:
$C=-\tfrac{1}{2},E + 400$

2. Costi opportunità e prezzi relativi in autarchia
Costo opportunità di C in termini di E:
Paese H:
<<|OC^{H}{C}=\frac{a^{H}{C}}{a^{H}{E}}=\frac{0.5}{4}=0.125|>>
⇒ <<|P{C}/P_{E}=0.125|>>

Paese F:
<<|OC^{F}{C}=\frac{1}{2}=0.5|>>
⇒ <<|P{C}/P_{E}=0.5|>>

3. Vantaggi comparati
– H ha costo più basso nella produzione di C ⇒ vantaggio comparato in C
– F ha costo più basso in E ⇒ vantaggio comparato in E

4. Curve di eccesso di domanda di C
Definiamo per ciascun paese
<<|Z^{i}{C}(p)=D^{i}{C}(p)-S^{i}{C}(p),,;i\in{H,F}|>>
Poiché in autarchia consumo=produzione, <<|Z^{i}{C}(p_{\rm aut})=0|>>.
Qualitativamente:

• Per H: se $p = P_{C}/P_{E}$
  • se $p<0.125$ C troppo “caro” → H produce E e importa C ⇒ <<|Z^{H}{C}(p)>0|>>
  • se <<|p>0.125|>> H produce C ed esporta C ⇒ <<|Z^{H}{C}(p)<0|>>

• Per F:
  • se $p<0.5$ F produce C ed esporta C ⇒ <<|Z^{F}{C}(p)<0|>>
  • se <<|p>0.5|>> F produce E e importa C ⇒ <<|Z^{F}{C}(p)>0|>>

L’equilibrio mondiale soddisfa
<<|Z^{H}{C}(p)+Z^{F}{C}(p)=0|>>
che avviene in un intervallo $0.125<p<0.5$.

5. Specializzazione e scambi a <<|P_{C}/P_{E}=0.2|>>
$0.125<0.2<0.5$ ⇒
– H: <<|0.2>OC^{H}{C}|>> ⇒ specializza in C
– F: <<|0.2<OC^{F}{C}|>> ⇒ specializza in E
Pattern di scambio:
– H esporta Cappelli, importa Elettrodomestici
– F esporta Elettrodomestici, importa Cappelli

6. Salari reali in autarchia e sotto scambio
Nominale: <<|w^{i}=P_{j}/a^{i}{j}|>> per il bene in cui si specializza o nel marginale.
Impostiamo <<|P{E}=1|>>, in autarchia $P_{C}^{H}=0.125,;P_{C}^{F}=0.5$

Paese H in autarchia:
<<|w^{H}=\frac{P_{E}}{a^{H}{E}}=\frac{1}{4}=0.25|>>
Reale in termini di E: <<|w^{H}{E}=\tfrac{w^{H}}{P_{E}}=0.25|>>
Reale in termini di C: <<|w^{H}{C}=\tfrac{w^{H}}{P{C}^{H}}=\tfrac{0.25}{0.125}=2|>>

Paese F in autarchia:
Coerenza dei prezzi richiede <<|\tfrac{P_{E}}{a^{F}{E}}=\tfrac{P{C}^{F}}{a^{F}{C}}|>>
Controllo: <<|1/2=0.5/1=0.5|>> ⇒
<<|w^{F}=0.5|>>
Reale in termini di E: <<|w^{F}{E}=0.5|>>
Reale in termini di C: $w^{F}_{C}=\tfrac{0.5}{0.5}=1$

Con il commercio a $P_{C}/P_{E}=0.2$:
– H (produce C): <<|w^{H}=\tfrac{P_{C}}{a^{H}{C}}=\tfrac{0.2}{0.5}=0.4|>>
• <<|w^{H}{E}=0.4|>>, <<|w^{H}{C}=\tfrac{0.4}{0.2}=2|>>
– F (produce E): <<|w^{F}=\tfrac{P{E}}{a^{F}{E}}=\tfrac{1}{2}=0.5|>>
• <<|w^{F}{E}=0.5|>>, $w^{F}_{C}=\tfrac{0.5}{0.2}=2.5$

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Risposta

• Prezzi relativi in autarchia:
  – H: $P_{C}/P_{E}=0.125$
  – F: $P_{C}/P_{E}=0.5$

• Vantaggi comparati:
  – H in Cappelli, F in Elettrodomestici

• Equilibrio di scambio: $0.125<p<0.5$, scelto $p = 0.2$
  – H specializza in C (esporta C, importa E)
  – F specializza in E (esporta E, importa C)

• Salari reali:
  – In autarchia H: $w_{E}=0.25,;w_{C}=2$; F: $w_{E}=0.5,;w_{C}=1$
  – Con commercio ($p = 0.2$) H: $w_{E}=0.4,;w_{C}=2$; F: $w_{E}=0.5,;w_{C}=2.5$

Entrambi i paesi ottengono un miglioramento del salario reale in almeno un bene:
– H migliora in E (da 0.25 a 0.4)
– F migliora in C (da 1 a 2.5)

Analisi

Si tratta di due applicazioni di matematica finanziaria:

• Accumulazione di una rendita per ottenere un obiettivo futuro.

• Valutazione del valore attuale di un fabbricato con flussi di cassa variabili e una rendita perpetua finale, usando tassi di sconto e di capitalizzazione distinti.

Soluzione

Problema 3

Calcolare la rata annua $A$ che, a tasso $i = 3$ e durata $n = 30$ anni, accumula un montante $FV = 100,000€$.

Step 1 – Formula dell’accumulazione di una rendita posticipata:
$,FV = A \times \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i},$

Step 2 – Isoliamo $A$:
$,A = FV \times \frac{i}{(1 + i)^{n} - 1},$

Step 3 – Sostituzioni numeriche:
$,A = 100,000 \times \frac{0.03}{(1.03)^{30} - 1},$

Step 4 – Calcolo numerico:
$(1.03)^{30} \approx 2.42726$
$(1.03)^{30} - 1 \approx 1.42726$
$,A \approx 100,000 \times \frac{0.03}{1.42726} \approx 2,102.55€$

Problema 4

Flussi di cassa del fabbricato:

• Anni 1–2: $+10,000€$ all’anno

• Anni 3–5: $−50,000€$ all’anno

• Anni ≥ 6: rendita perpetua posticipata di $20,000€$ all’anno

Tassi:

• Sconto ordinario $i = 3$

• Capitalizzazione perpetuità $r = 1{,}8$

Step 1 – Valore attuale dei flussi anni 1–2:
$,PV_{1 - 2} = 10,000 \bigl(\tfrac{1}{1.03} + \tfrac{1}{1.03^{2}}\bigr)\approx 19,134.70€$

Step 2 – Valore attuale dei flussi anni 3–5:
$,PV_{3 - 5} = -50,000 \bigl(\tfrac{1}{1.03^{3}} + \tfrac{1}{1.03^{4}} + \tfrac{1}{1.03^{5}}\bigr)\approx -133,337.00€$

Step 3 – Valore di capitale della rendita perpetua a fine anno 5:
$,K_{5} = \frac{20,000}{0.018}\approx 1,111,111.11€$

Step 4 – Sconto di $K_{5}$ a oggi:
$,PV_{\infty} = \frac{1,111,111.11}{1.03^{5}}\approx 958,263.00€$

Step 5 – Somma dei valori attuali:
$,PV_{tot} = PV_{1 - 2} + PV_{3 - 5} + PV_{\infty}\approx 19,134.70 - 133,337.00 + 958,263.00 \approx 844,060.70€$

Risposta

• Rata annua per accumulare $100,000€$ in 30 anni a $3$:
  $A \approx 2,102.55€$

• Valore attuale del fabbricato:
  $PV_{tot} \approx 844,060.70€$

Analisi
Il problema richiede di determinare il valore attuale di un fabbricato scontando i redditi futuri, che si articolano in tre fasi:

• Anni 1–2: reddito positivo di € 10 000/anno.

• Anni 3–5: spese (reddito negativo) di € 50 000/anno.

• Anni 6 in poi: reddito perpetuo, pari al doppio di prima della ristrutturazione (2·€ 10 000=€ 20 000).

Si dispone di:

• tasso di crescita dei volumi (inflazione) $i = 3$

• tasso di capitalizzazione reale $r = 1{,}8$

Applichiamo il metodo “Fisher” per ottenere il tasso nominale $R$ e poi scontiamo i singoli flussi + la rendita perpetua.

Soluzione

• Calcolo del tasso nominale $R$
  ­
  ­– $1 + i=1{,}03$
  ­– $1 + r=1{,}018$
  ­– $R=(1 + i),(1 + r)-1 = 1{,}03\cdot1{,}018 - 1=0{,}04854\approx4{,}854$

• Definizione dei flussi di cassa $CF_t$
  ­
  ­– $CF_1 = CF_2=+10,000$
  ­– $CF_3 = CF_4=CF_5=-50,000$
  ­– $CF_t=+20,000$ per ogni $t\ge6$ (perpetuo)

• Sconto dei flussi discreti (anni 1–5)
  ­
  ­• $PV_1=\dfrac{10,000}{(1 + R)^1}=\dfrac{10,000}{1{,}04854}=9 537{,}78$
  ­• $PV_2=\dfrac{10,000}{(1 + R)^2}=\dfrac{10,000}{1{,}04854^2}=9 094{,}52$
  ­• $PV_3=\dfrac{-50,000}{(1 + R)^3}=-43 691{,}64$
  ­• $PV_4=\dfrac{-50,000}{(1 + R)^4}=-41 657{,}71$
  ­• $PV_5=\dfrac{-50,000}{(1 + R)^5}=-39 737{,}05$

• Valore della rendita perpetua al tempo $t = 5$
  ­
  ­– Valore a $t = 5$: $V_{5}=\dfrac{CF_{6}}{R}=\dfrac{20,000}{0{,}04854}=412 056{,}36$
  ­– Riporto a $t = 0$: $PV_{\mathrm{perpetuo}}=\dfrac{V_{5}}{(1 + R)^5}=\dfrac{412 056{,}36}{1{,}04854^5}=204 290{,}76$

• Somma dei valori attuali
  ­
  ­• $PV_{\mathrm{discreti}}=9 537{,}78 + 9 094{,}52 - 43 691{,}64 - 41 657{,}71 - 39 737{,}05=-106 453{,}10$
  ­• $PV_{\mathrm{totale}}=PV_{\mathrm{discreti}}+PV_{\mathrm{perpetuo}}=-106 453{,}10 + 204 290{,}76 = 97 837{,}66$

Risposta
Il valore attuale del fabbricato è circa
$97 837{,}66\text{ €}$.

[Analysis]
Il problema richiede la redazione dei seguenti budget:

• Budget delle vendite

• Budget della produzione

• Budget delle materie prime

• Budget degli acquisti

• Budget della manodopera diretta

Utilizzeremo il modello di contabilità industriale per determinare per ciascun variante (TX, TY, TZ):

• le vendite programmate trimestrali e il fatturato

• le quantità da produrre in base a vendite, scorte iniziali e scorte finali

• i consumi di materia prima e le relative esigenze di acquisto

• i fabbisogni di ore di manodopera e il loro costo

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[Solution]

a. Budget delle vendite

Trimestre	Vendite TX (u.)	Vendite TY (u.)	Vendite TZ (u.)	Fatturato TX (€)	Fatturato TY (€)	Fatturato TZ (€)	Fatturato Totale (€)
1°	7 000	11 000	5 600	<<	7 000·2 000=14 000 000	>>	<<
2°	6 400	8 000	3 200	<<	6 400·2 000=12 800 000	>>	<<
3°	7 200	7 600	4 300	<<	7 200·2 000=14 400 000	>>	<<
4°	8 000	12 000	6 900	<<	8 000·2 000=16 000 000	>>	<<
Totale	28 600	38 600	20 000	57 200 000	96 500 000	53 ,?=?	207 700 000

Prezzi unitari: TX=$2 000€$, TY=$2 500€$, TZ=$2 700€$

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b. Budget della produzione

Dati iniziali di scorte prodotti:

• Scorte iniziali TX=3 600 u.

• Scorte iniziali TY=4 200 u.

• Scorte iniziali TZ=5 000 u.

Scorte finali programmate = scorte iniziali ·1,10

• Scorte finali TX=$3 600·1,10 = 3 960$ u.

• Scorte finali TY=$4 200·1,10 = 4 620$ u.

• Scorte finali TZ=$5 000·1,10 = 5 500$ u.

Quantità da produrre = vendite annue + scorte finali – scorte iniziali

Variante	Vendite totali (u.)	Scorte iniziali (u.)	Scorte finali (u.)	Produzione (u.)
TX	28 600	3 600	3 960	<<
TY	38 600	4 200	4 620	<<
TZ	20 000	5 000	5 500	<<
Totale				88 480 u.

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c. Budget delle materie prime

Fabbisogno kg per unità:

• TX=120 kg, TY=140 kg, TZ=160 kg.

Consumo = produzione · kg/unità

Variante	Produzione (u.)	kg/u.	Consumo (kg)
TX	28 960	120	<<
TY	39 020	140	<<
TZ	20 500	160	<<
Totale			12 218 000 kg

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d. Budget degli acquisti di materia prima

Scorte iniziali MP=3 000 kg
Scorte finali MP=$3 000·1,15 = 3 450$ kg

Quantità da acquistare = consumo + scorte finali – scorte iniziali
= $12 218 000 + 3 450–3 000 = 12 218 450$ kg

Costo unitario = $15 €/kg$

Costo acquisti = $12 218 450·15 = 183 276 750 €$

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e. Budget della manodopera diretta

Fabbisogno ore per unità:

• TX=2 h, TY=3 h, TZ=5 h.

Ore totali = produzione · ore/unità

Variante	Produzione (u.)	h/u.	Ore tot.
TX	28 960	2	<<
TY	39 020	3	<<
TZ	20 500	5	<<
Totale			277 480 h

Costo orario = $33 €/h$

Costo manodopera = $277 480·33 = 9 159 840 €$

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[Answer]

• Produzione annua TX=$28 960 u.$, TY=$39 020 u.$, TZ=$20 500 u.$.

• Acquisto MP=$12 218 450 kg$ per $183 276 750 €$.

• Ore MD=$277 480 h$ per $9 159 840 €$.