Risolutore di Economia

[Analisi]
L’esercizio richiede di applicare i seguenti modelli economico-finanziari:

• ROE “al lordo” e “al netto” d’imposta tramite la leva finanziaria.

• Calcolo dell’Economic Value Added (EVA) considerando il costo del capitale proprio (ke = 10 %) e del debito (kd).

• Determinazione del profitto economico in t+1 includendo:

  • nuovi acquisti esterni (20 000)

  • costo opportunità del locale (6 000)

  • nuovo indebitamento (10 000 al tasso kd)

• Grado di integrazione verticale (GIV) come rapporto fra contributo interno e totale degli approvvigionamenti.

[Soluzione passo-passo]

a) ROE al lordo e al netto d’imposta

• Calcoli preliminari:
  – $EBIT = Ricavi - Consumi - Costo\ del\ lavoro - Ammortamenti$
  $\quad = 90,000 - 50,000 - 20,000 - 10,000 = 10,000$
  – $ROI = \tfrac{EBIT}{Investito\ netto}$
  $\quad = \tfrac{10,000}{100,000} = 10$
  – $kd = \tfrac{Oneri\ finanziari}{Debiti}$
  $\quad = \tfrac{3,000}{60,000} = 5$
  – Aliquota d’imposta $T = \tfrac{2,800}{7,000} = 40$

• Leva finanziaria: $\frac{D}{E} = \tfrac{60,000}{40,000} = 1{,}5$

• ROE al lordo d’imposta (prima delle imposte):
  $\displaystyle ROE_{lordo} = ROI + (ROI - kd),\tfrac{D}{E}$
  $\quad = 0{,}10 + (0{,}10 - 0{,}05)\times1{,}5 = 0{,}175 = 17{,}5$

• ROE al netto d’imposta (dopo le imposte):
  – kd post-tax = $kd,(1 - T) = 5$
  $\displaystyle ROE_{netto} = ROI\times(1 - T);+;\bigl(ROI\times(1 - T)-kd(1 - T)\bigr),\tfrac{D}{E}$
  $\quad = 0{,}10\times0{,}6 + (0{,}06 - 0{,}03)\times1{,}5 = 0{,}105 = 10{,}5$

b) Economic Value Added (EVA)

• $NOPAT = EBIT,(1 - T) = 10,000\times0{,}6 = 6,000$

• WACC:
  $\displaystyle WACC = ke,\tfrac{E}{V} + kd(1 - T),\tfrac{D}{V}$
  $\quad = 10$

• $\displaystyle EVA = NOPAT - WACC \times Investito\ netto$
  $\quad = 6,000 - 0{,}058\times100,000 = 6,000 - 5,800 = 200$

c) Profitto economico al tempo t+1

• Nuova struttura P&L:

  • Ricavi = 120 000

  • Consumi = 50 000 + 20 000 = 70 000

  • Costo del lavoro = 20 000

  • Ammortamenti = 10 000

  • Costo opportunità locale = 6 000
    – $EBIT_{t + 1} = 120,000 - 70,000 - 20,000 - 10,000 - 6,000 = 14,000$

  • Oneri finanziari = 3 000 + (10 000×5 %) = 3 500
    – $Utile\ ante\ imposte = 14,000 - 3,500 = 10,500$
    – Imposte = 40 % × 10 500 = 4 200
    – $Utile\ netto = 10,500 - 4,200 = 6,300$

• Nuovo impiegato di capitale:

  • Equity_{t+1} = 40 000 + 6 000 = 46 000

  • Debiti_{t+1} = 60 000 + 10 000 = 70 000

  • Investito_{t+1} = 116 000

• NOPAT_{t+1} = 14 000×0,6 = 8 400

• Profitto economico (= EVA_{t+1}):
  $\displaystyle EVA_{t + 1} = NOPAT_{t + 1} - \bigl(ke;E_{t + 1} + kd(1 - T);D_{t + 1}\bigr)$
  $\quad = 8,400 - \bigl(0{,}10\times46,000 + 0{,}03\times70,000\bigr) = 8,400 - (4,600 + 2,100) = 1,700$

d) Grado di Integrazione Verticale (GIV)
– Definizione: rapporto tra contributo interno e totale dei fattori intermedi.
t: nessun fattore interno ⇒ $GIV_t = 0$
t+1: fattori interni = 6 000; fattori esterni = 20 000 ⇒
$\displaystyle GIV_{t + 1} = \frac{6,000}{6,000 + 20,000}\approx23{,}08$

[Risposte Finali]

a)

• ROE lordo = $17{,}5$

• ROE netto = $10{,}5$

b) EVA = $200$

c) Profitto economico t+1 = $1,700$

d)

• GIV_t = $0$

• GIV_{t+1} = $23{,}08$

Analisi
Si tratta di un classico modello ricardiano a due paesi (H e F), un fattore (lavoro), due beni (Elettrodomestici E e Cappelli C).
Approccio:

• Costruire le FP (PPF) di entrambi i paesi

• Calcolare i costi opportunità e i prezzi relativi in autarchia

• Individuare i vantaggi comparati e la specializzazione sotto scambio

• Derivare qualitativamente le curve di eccesso di domanda di C

• Analizzare l’equilibrio di commercio internazionale a $P_{C}/P_{E}=0.2$

• Calcolare i salari reali in autarchia e sotto scambio, in termini di E e di C

Soluzione

1. Frontiere delle possibilità produttive (PPF)
Paese H:
<<|a^{H}{E}=4,;a^{H}{C}=0.5,;L^{H}=2000|>>
– Produzione massima di Elettrodomestici:
<<|E^{H}{\max}=L^{H}/a^{H}{E}=2000/4=500|>>
– Produzione massima di Cappelli:
<<|C^{H}{\max}=L^{H}/a^{H}{C}=2000/0.5=4000|>>
Equazione PPF_H:
<<|C=-\frac{a^{H}{C}}{a^{H}{E}},E+C^{H}_{\max}=-8,E+4000|>>

Paese F:
<<|a^{F}{E}=2,;a^{F}{C}=1,;L^{F}=400|>>
– <<|E^{F}{\max}=400/2=200|>>
– <<|C^{F}{\max}=400/1=400|>>
Equazione PPF_F:
$C=-\tfrac{1}{2},E + 400$

2. Costi opportunità e prezzi relativi in autarchia
Costo opportunità di C in termini di E:
Paese H:
<<|OC^{H}{C}=\frac{a^{H}{C}}{a^{H}{E}}=\frac{0.5}{4}=0.125|>>
⇒ <<|P{C}/P_{E}=0.125|>>

Paese F:
<<|OC^{F}{C}=\frac{1}{2}=0.5|>>
⇒ <<|P{C}/P_{E}=0.5|>>

3. Vantaggi comparati
– H ha costo più basso nella produzione di C ⇒ vantaggio comparato in C
– F ha costo più basso in E ⇒ vantaggio comparato in E

4. Curve di eccesso di domanda di C
Definiamo per ciascun paese
<<|Z^{i}{C}(p)=D^{i}{C}(p)-S^{i}{C}(p),,;i\in{H,F}|>>
Poiché in autarchia consumo=produzione, <<|Z^{i}{C}(p_{\rm aut})=0|>>.
Qualitativamente:

• Per H: se $p = P_{C}/P_{E}$
  • se $p<0.125$ C troppo “caro” → H produce E e importa C ⇒ <<|Z^{H}{C}(p)>0|>>
  • se <<|p>0.125|>> H produce C ed esporta C ⇒ <<|Z^{H}{C}(p)<0|>>

• Per F:
  • se $p<0.5$ F produce C ed esporta C ⇒ <<|Z^{F}{C}(p)<0|>>
  • se <<|p>0.5|>> F produce E e importa C ⇒ <<|Z^{F}{C}(p)>0|>>

L’equilibrio mondiale soddisfa
<<|Z^{H}{C}(p)+Z^{F}{C}(p)=0|>>
che avviene in un intervallo $0.125<p<0.5$.

5. Specializzazione e scambi a <<|P_{C}/P_{E}=0.2|>>
$0.125<0.2<0.5$ ⇒
– H: <<|0.2>OC^{H}{C}|>> ⇒ specializza in C
– F: <<|0.2<OC^{F}{C}|>> ⇒ specializza in E
Pattern di scambio:
– H esporta Cappelli, importa Elettrodomestici
– F esporta Elettrodomestici, importa Cappelli

6. Salari reali in autarchia e sotto scambio
Nominale: <<|w^{i}=P_{j}/a^{i}{j}|>> per il bene in cui si specializza o nel marginale.
Impostiamo <<|P{E}=1|>>, in autarchia $P_{C}^{H}=0.125,;P_{C}^{F}=0.5$

Paese H in autarchia:
<<|w^{H}=\frac{P_{E}}{a^{H}{E}}=\frac{1}{4}=0.25|>>
Reale in termini di E: <<|w^{H}{E}=\tfrac{w^{H}}{P_{E}}=0.25|>>
Reale in termini di C: <<|w^{H}{C}=\tfrac{w^{H}}{P{C}^{H}}=\tfrac{0.25}{0.125}=2|>>

Paese F in autarchia:
Coerenza dei prezzi richiede <<|\tfrac{P_{E}}{a^{F}{E}}=\tfrac{P{C}^{F}}{a^{F}{C}}|>>
Controllo: <<|1/2=0.5/1=0.5|>> ⇒
<<|w^{F}=0.5|>>
Reale in termini di E: <<|w^{F}{E}=0.5|>>
Reale in termini di C: $w^{F}_{C}=\tfrac{0.5}{0.5}=1$

Con il commercio a $P_{C}/P_{E}=0.2$:
– H (produce C): <<|w^{H}=\tfrac{P_{C}}{a^{H}{C}}=\tfrac{0.2}{0.5}=0.4|>>
• <<|w^{H}{E}=0.4|>>, <<|w^{H}{C}=\tfrac{0.4}{0.2}=2|>>
– F (produce E): <<|w^{F}=\tfrac{P{E}}{a^{F}{E}}=\tfrac{1}{2}=0.5|>>
• <<|w^{F}{E}=0.5|>>, $w^{F}_{C}=\tfrac{0.5}{0.2}=2.5$

Risposta

• Prezzi relativi in autarchia:
  – H: $P_{C}/P_{E}=0.125$
  – F: $P_{C}/P_{E}=0.5$

• Vantaggi comparati:
  – H in Cappelli, F in Elettrodomestici

• Equilibrio di scambio: $0.125<p<0.5$, scelto $p = 0.2$
  – H specializza in C (esporta C, importa E)
  – F specializza in E (esporta E, importa C)

• Salari reali:
  – In autarchia H: $w_{E}=0.25,;w_{C}=2$; F: $w_{E}=0.5,;w_{C}=1$
  – Con commercio ($p = 0.2$) H: $w_{E}=0.4,;w_{C}=2$; F: $w_{E}=0.5,;w_{C}=2.5$

Entrambi i paesi ottengono un miglioramento del salario reale in almeno un bene:
– H migliora in E (da 0.25 a 0.4)
– F migliora in C (da 1 a 2.5)

Analisi

Si tratta di due applicazioni di matematica finanziaria:

• Accumulazione di una rendita per ottenere un obiettivo futuro.

• Valutazione del valore attuale di un fabbricato con flussi di cassa variabili e una rendita perpetua finale, usando tassi di sconto e di capitalizzazione distinti.

Soluzione

Problema 3

Calcolare la rata annua $A$ che, a tasso $i = 3$ e durata $n = 30$ anni, accumula un montante $FV = 100,000€$.

Step 1 – Formula dell’accumulazione di una rendita posticipata:
$,FV = A \times \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i},$

Step 2 – Isoliamo $A$:
$,A = FV \times \frac{i}{(1 + i)^{n} - 1},$

Step 3 – Sostituzioni numeriche:
$,A = 100,000 \times \frac{0.03}{(1.03)^{30} - 1},$

Step 4 – Calcolo numerico:
$(1.03)^{30} \approx 2.42726$
$(1.03)^{30} - 1 \approx 1.42726$
$,A \approx 100,000 \times \frac{0.03}{1.42726} \approx 2,102.55€$

Problema 4

Flussi di cassa del fabbricato:

• Anni 1–2: $+10,000€$ all’anno

• Anni 3–5: $−50,000€$ all’anno

• Anni ≥ 6: rendita perpetua posticipata di $20,000€$ all’anno

Tassi:

• Sconto ordinario $i = 3$

• Capitalizzazione perpetuità $r = 1{,}8$

Step 1 – Valore attuale dei flussi anni 1–2:
$,PV_{1 - 2} = 10,000 \bigl(\tfrac{1}{1.03} + \tfrac{1}{1.03^{2}}\bigr)\approx 19,134.70€$

Step 2 – Valore attuale dei flussi anni 3–5:
$,PV_{3 - 5} = -50,000 \bigl(\tfrac{1}{1.03^{3}} + \tfrac{1}{1.03^{4}} + \tfrac{1}{1.03^{5}}\bigr)\approx -133,337.00€$

Step 3 – Valore di capitale della rendita perpetua a fine anno 5:
$,K_{5} = \frac{20,000}{0.018}\approx 1,111,111.11€$

Step 4 – Sconto di $K_{5}$ a oggi:
$,PV_{\infty} = \frac{1,111,111.11}{1.03^{5}}\approx 958,263.00€$

Step 5 – Somma dei valori attuali:
$,PV_{tot} = PV_{1 - 2} + PV_{3 - 5} + PV_{\infty}\approx 19,134.70 - 133,337.00 + 958,263.00 \approx 844,060.70€$

Risposta

• Rata annua per accumulare $100,000€$ in 30 anni a $3$:
  $A \approx 2,102.55€$

• Valore attuale del fabbricato:
  $PV_{tot} \approx 844,060.70€$

Analisi
Il problema richiede di determinare il valore attuale di un fabbricato scontando i redditi futuri, che si articolano in tre fasi:

• Anni 1–2: reddito positivo di € 10 000/anno.

• Anni 3–5: spese (reddito negativo) di € 50 000/anno.

• Anni 6 in poi: reddito perpetuo, pari al doppio di prima della ristrutturazione (2·€ 10 000=€ 20 000).

Si dispone di:

• tasso di crescita dei volumi (inflazione) $i = 3$

• tasso di capitalizzazione reale $r = 1{,}8$

Applichiamo il metodo “Fisher” per ottenere il tasso nominale $R$ e poi scontiamo i singoli flussi + la rendita perpetua.

Soluzione

• Calcolo del tasso nominale $R$
  ­
  ­– $1 + i=1{,}03$
  ­– $1 + r=1{,}018$
  ­– $R=(1 + i),(1 + r)-1 = 1{,}03\cdot1{,}018 - 1=0{,}04854\approx4{,}854$

• Definizione dei flussi di cassa $CF_t$
  ­
  ­– $CF_1 = CF_2=+10,000$
  ­– $CF_3 = CF_4=CF_5=-50,000$
  ­– $CF_t=+20,000$ per ogni $t\ge6$ (perpetuo)

• Sconto dei flussi discreti (anni 1–5)
  ­
  ­• $PV_1=\dfrac{10,000}{(1 + R)^1}=\dfrac{10,000}{1{,}04854}=9 537{,}78$
  ­• $PV_2=\dfrac{10,000}{(1 + R)^2}=\dfrac{10,000}{1{,}04854^2}=9 094{,}52$
  ­• $PV_3=\dfrac{-50,000}{(1 + R)^3}=-43 691{,}64$
  ­• $PV_4=\dfrac{-50,000}{(1 + R)^4}=-41 657{,}71$
  ­• $PV_5=\dfrac{-50,000}{(1 + R)^5}=-39 737{,}05$

• Valore della rendita perpetua al tempo $t = 5$
  ­
  ­– Valore a $t = 5$: $V_{5}=\dfrac{CF_{6}}{R}=\dfrac{20,000}{0{,}04854}=412 056{,}36$
  ­– Riporto a $t = 0$: $PV_{\mathrm{perpetuo}}=\dfrac{V_{5}}{(1 + R)^5}=\dfrac{412 056{,}36}{1{,}04854^5}=204 290{,}76$

• Somma dei valori attuali
  ­
  ­• $PV_{\mathrm{discreti}}=9 537{,}78 + 9 094{,}52 - 43 691{,}64 - 41 657{,}71 - 39 737{,}05=-106 453{,}10$
  ­• $PV_{\mathrm{totale}}=PV_{\mathrm{discreti}}+PV_{\mathrm{perpetuo}}=-106 453{,}10 + 204 290{,}76 = 97 837{,}66$

Risposta
Il valore attuale del fabbricato è circa
$97 837{,}66\text{ €}$.