Risolutore di Statistica

[Analisi]
Si tratta di un esercizio misto che comprende:

• Stima intervallare per una proporzione (vaccinati con terza dose).

• Test di bontà di adattamento alla distribuzione normale (chi-quadro).

• Proprietà dei stimatori puntuali (consistenza, non distorsione).

[Soluzione]

1) Stima intervallare per la proporzione di vaccinati con terza dose
Dati: numero totale di cittadini $n$ = 16, numero di vaccinati con 3° dose $X$ = 8 ⇒ $\hat p = \frac{X}{n} = \frac{8}{16} = 0.5$.

1.a)
Estremi dell’intervallo di confidenza di livello (1−α) per $\hat p$ con approssimazione normale:
<<|
\hat p \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}
\sqrt{\frac{\hat p,(1-\hat p)}{n}}
|>>

1.b)
Condizioni per l’affidabilità dell’intervallo (almeno due):

• ☐ La numerosità del campione è sufficientemente elevata e le frequenze dei casi con 3 dosi non troppo piccole ($n\hat p \ge 5$ e $n(1-\hat p)\ge5$).

• ☐ La distribuzione della variabile (binomiale) si approssima alla normale (regola della radice).

1.c)
Per il 90% di confidenza: $z_{0.95}=1.645$,
<<|
\mathrm{SE}
= \sqrt{\frac{0.5,(1-0.5)}{16}}
=0.125
|>>
Margine di errore: $1.645 \times 0.125 = 0.2056$.
Intervallo:
<<|
\bigl[,0.5 - 0.2056,;0.5 + 0.2056\bigr]
= [,0.2944,;0.7056,]
\approx[,0.294,;0.706,]
|>>

2) Test di bontà di adattamento alla normale
Si suddivide la variabile in $k = 4$ classi: «≤36», «36–37.5», «37.5–38.5», «>38.5».

2.a)
Si utilizza il test di chi-quadrato:
<<|
\chi^2
= \sum_{i=1}^{k}
\frac{(n_i - n_{i0})^2}{,n_{i0},}
|>>

2.b)

• $n_i$ rappresenta le frequenze di classe osservate nel campione.

• $n_{i0}$ rappresenta le frequenze di classe attese in caso $H_0$ vera.

• $k$ è il numero delle classi utilizzate per la distribuzione della variabile.

2.c)
Stanti $k = 4$ classi e stimando media e varianza dal campione, i gradi di libertà sono $k - 1 - 2 = 1$.
Valore del test (supponendo $\chi^2_{\text{calc}} = 0.432$) e soglia critica al 5%:
$\chi^2_{0.95,,1} = 3.84$.

3) Proprietà di uno stimatore puntuale <<|T|>>

• Definizione:
  «T è una funzione dei dati campionari che si può calcolare anche senza conoscere $\theta$.»

• Consistenza:
  <<|
  \lim_{n\to\infty}\mathrm{Var}(T)=0
  \quad\text{e}\quad
  \lim_{n\to\infty}E(T)=\theta
  |>>

• Non distorsione:
  <<|
  E(T)=\theta
  |>

[Risposta]

1.a) Estremi:
<<|
\hat p \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
|>>

1.b)

• La numerosità del campione è sufficientemente elevata e $n\hat p$ e $n(1-\hat p)$ non troppo piccoli.

• La distribuzione approssima la normale.

1.c) Intervallo 90%:
<<|
[,0.294,;0.706,]
|>>

2.a) Test chi-quadro:
<<|
\chi^2 = \sum_{i=1}^{4}\frac{(n_i-n_{i0})^2}{n_{i0}}
|>>

2.b)
$n_i$: frequenze osservate;
$n_{i0}$: frequenze attese sotto $H_0$;
$k$: numero di classi (4).

2.c)
$\chi^2_{\mathrm{calc}}=0.432,\quad \chi^2_{0.95,1}=3.84$

• Stimatore $T$

• definibile come funzione dei dati campionari senza conoscere $\theta$

• consistente se $\lim Var(T)=0$ e $\lim E(T)=\theta$

• non distorto se $E(T)=\theta$

Analisi
Il problema richiede di calcolare, per una variabile casuale X che segue una distribuzione normale con media 84 e varianza 16, le probabilità
a) che X sia compresa tra 86 e 90
b) che X sia maggiore di 91
Si procede calcolando gli z-score corrispondenti e usando la funzione di ripartizione standard Φ del N(0,1).

Soluzione
Passo 1 – Parametri della normale
Calcoliamo la deviazione standard:
σ = √$16$ = $4$
La nostra X è dunque X~N($84$,$4^2$).

Passo 2 – Caso a): P(86 ≤ X ≤ 90)

• z1 = (86 – 84)/4 = $0.5$

• z2 = (90 – 84)/4 = $1.5$

• P(86 ≤ X ≤ 90) = Φ($1.5$) – Φ($0.5$)
  – da tavole o software: Φ($0.5$) ≈ $0.6915$, Φ($1.5$) ≈ $0.9332$
  – differenza = $0.9332 – 0.6915 = 0.2417$

Passo 3 – Caso b): P(X > 91)

• z = (91 – 84)/4 = $1.75$

• P(X > 91) = 1 – Φ($1.75$)
  – da tavole: Φ($1.75$) ≈ $0.9599$
  – complemento = $1 – 0.9599 = 0.0401$

Risposta
a) La frequenza relativa attesa di soggetti con P.A.m. tra 86 e 90 mmHg è circa
$0.2417$ (24.17%)

b) La frequenza relativa attesa di soggetti con P.A.m. superiore a 91 mmHg è circa
$0.0401$ (4.01%)

[Analysis]
Si tratta di un problema di probabilità con distribuzione normale. Dato che la pressione arteriosa minima (X) è normalmente distribuita con media e varianza note, useremo la standardizzazione e la tavola della distribuzione normale standard per calcolare:

• a) (P(86 \le X \le 90))

• b) (P(X > 91))

[Solution]

• Parametri della distribuzione normale di (X):
  • media: $\mu = 84$
  • varianza: $\sigma^2 = 16$ ⇒ deviazione standard $\sigma = \sqrt{16} = 4$

• Calcolo degli z-score:
  • Per (X=86):
  $z_1 = \frac{86 - \mu}{\sigma} = \frac{86 - 84}{4} = 0.5$
  • Per (X=90):
  $z_2 = \frac{90 - \mu}{\sigma} = \frac{90 - 84}{4} = 1.5$
  • Per (X=91):
  $z_3 = \frac{91 - \mu}{\sigma} = \frac{91 - 84}{4} = 1.75$

• Uso della funzione di ripartizione della normale standard (\Phi(z)):
  • Valori noti da tavola:
  $\Phi(0.5) \approx 0.6915,\quad \Phi(1.5) \approx 0.9332,\quad \Phi(1.75) \approx 0.9599$

• Calcolo delle probabilità richieste:
  a) Probabilità che (X) sia compreso tra 86 e 90:
  $P(86 \le X \le 90) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1) = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417$
  b) Probabilità che (X) sia superiore a 91:
  $P(X > 91) = 1 - \Phi(z_3) = 1 - 0.9599 = 0.0401$

[Answer]
a) Frequenza relativa di soggetti con (86 \le \mathrm{P.A.m.} \le 90):
$0.2417$ (≈ 24.17 %)

b) Frequenza relativa di soggetti con (\mathrm{P.A.m.} > 91):
$0.0401$ (≈ 4.01 %)

[Analysis]
Si tratta di un problema di indici sintetici di prezzo e di calcolo della spesa a prezzi costanti.
Per compilare la tabella e rispondere alle domande occorrono i dati di quantità e prezzo dei singoli beni per il 2023 e il 2024.

Senza queste informazioni di base (prezzi e quantità per ciascun prodotto) non è possibile:

• calcolare le spese a prezzi 2024 per ciascun anno (aggregando quantità 2023 e 2024 a prezzi 2024);

• determinare gli indici di prezzo (NI prezzi);

• valutare la variazione percentuale della spesa a prezzi costanti 2024.

Vi prego di fornire la tabella completa con prezzi e quantità dei beni per poter svolgere il calcolo step-by-step.