Risolutore di Statistica

Analisi
Il problema richiede di calcolare, per una variabile casuale X che segue una distribuzione normale con media 84 e varianza 16, le probabilità
a) che X sia compresa tra 86 e 90
b) che X sia maggiore di 91
Si procede calcolando gli z-score corrispondenti e usando la funzione di ripartizione standard Φ del N(0,1).

Soluzione
Passo 1 – Parametri della normale
Calcoliamo la deviazione standard:
σ = √$16$ = $4$
La nostra X è dunque X~N($84$,$4^2$).

Passo 2 – Caso a): P(86 ≤ X ≤ 90)

• z1 = (86 – 84)/4 = $0.5$

• z2 = (90 – 84)/4 = $1.5$

• P(86 ≤ X ≤ 90) = Φ($1.5$) – Φ($0.5$)
  – da tavole o software: Φ($0.5$) ≈ $0.6915$, Φ($1.5$) ≈ $0.9332$
  – differenza = $0.9332 – 0.6915 = 0.2417$

Passo 3 – Caso b): P(X > 91)

• z = (91 – 84)/4 = $1.75$

• P(X > 91) = 1 – Φ($1.75$)
  – da tavole: Φ($1.75$) ≈ $0.9599$
  – complemento = $1 – 0.9599 = 0.0401$

Risposta
a) La frequenza relativa attesa di soggetti con P.A.m. tra 86 e 90 mmHg è circa
$0.2417$ (24.17%)

b) La frequenza relativa attesa di soggetti con P.A.m. superiore a 91 mmHg è circa
$0.0401$ (4.01%)

[Analysis]
Si tratta di un problema di probabilità con distribuzione normale. Dato che la pressione arteriosa minima (X) è normalmente distribuita con media e varianza note, useremo la standardizzazione e la tavola della distribuzione normale standard per calcolare:

• a) (P(86 \le X \le 90))

• b) (P(X > 91))

[Solution]

• Parametri della distribuzione normale di (X):
  • media: $\mu = 84$
  • varianza: $\sigma^2 = 16$ ⇒ deviazione standard $\sigma = \sqrt{16} = 4$

• Calcolo degli z-score:
  • Per (X=86):
  $z_1 = \frac{86 - \mu}{\sigma} = \frac{86 - 84}{4} = 0.5$
  • Per (X=90):
  $z_2 = \frac{90 - \mu}{\sigma} = \frac{90 - 84}{4} = 1.5$
  • Per (X=91):
  $z_3 = \frac{91 - \mu}{\sigma} = \frac{91 - 84}{4} = 1.75$

• Uso della funzione di ripartizione della normale standard (\Phi(z)):
  • Valori noti da tavola:
  $\Phi(0.5) \approx 0.6915,\quad \Phi(1.5) \approx 0.9332,\quad \Phi(1.75) \approx 0.9599$

• Calcolo delle probabilità richieste:
  a) Probabilità che (X) sia compreso tra 86 e 90:
  $P(86 \le X \le 90) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1) = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417$
  b) Probabilità che (X) sia superiore a 91:
  $P(X > 91) = 1 - \Phi(z_3) = 1 - 0.9599 = 0.0401$

[Answer]
a) Frequenza relativa di soggetti con (86 \le \mathrm{P.A.m.} \le 90):
$0.2417$ (≈ 24.17 %)

b) Frequenza relativa di soggetti con (\mathrm{P.A.m.} > 91):
$0.0401$ (≈ 4.01 %)

[Analysis]
Si tratta di un problema di indici sintetici di prezzo e di calcolo della spesa a prezzi costanti.
Per compilare la tabella e rispondere alle domande occorrono i dati di quantità e prezzo dei singoli beni per il 2023 e il 2024.

Senza queste informazioni di base (prezzi e quantità per ciascun prodotto) non è possibile:

• calcolare le spese a prezzi 2024 per ciascun anno (aggregando quantità 2023 e 2024 a prezzi 2024);

• determinare gli indici di prezzo (NI prezzi);

• valutare la variazione percentuale della spesa a prezzi costanti 2024.

Vi prego di fornire la tabella completa con prezzi e quantità dei beni per poter svolgere il calcolo step-by-step.

Analysis
Il problema riguarda una variabile casuale X (pressione arteriosa minima in mmHg) distribuita normalmente con
• media $\mu = 84$
• varianza $\sigma^2 = 16$, quindi deviazione standard $\sigma = 4$
Per calcolare le frequenze relative e i percentili usiamo la standardizzazione
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
e le tabelle della distribuzione normale standard.

Solution

• Calcolo di $P(86 < X < 90)$
  a) Standardizziamo i limiti:
  $z_1 = \frac{86 - 84}{4} = 0.5,\quad z_2 = \frac{90 - 84}{4} = 1.5$
  b) Usiamo la funzione di ripartizione $\Phi(z)$:
  $P(86 < X < 90) = \Phi(1.5) - \Phi(0.5)$
  Dalle tabelle: $\Phi(1.5)\approx 0.9332,\ \Phi(0.5)\approx 0.6915$
  $\boxed{P(86 < X < 90) = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417}$

• Calcolo di $P(83 < X < 85)$
  a) Standardizziamo:
  $z_1 = \frac{83 - 84}{4} = -0.25,\quad z_2 = \frac{85 - 84}{4} = 0.25$
  b)
  $P(83 < X < 85) = \Phi(0.25) - \Phi(-0.25)$
  $\Phi(0.25)\approx 0.5987,\ \Phi(-0.25)=1 - 0.5987 = 0.4013$
  $\boxed{P(83 < X < 85) = 0.5987 - 0.4013 = 0.1974}$

• Calcolo di $P(X > 91)$
  a) $z = \frac{91 - 84}{4} = 1.75$
  b) $P(X > 91) = 1 - \Phi(1.75)$, con $\Phi(1.75)\approx 0.9599$
  $\boxed{P(X > 91) = 1 - 0.9599 = 0.0401}$

• Calcolo di $P(X < 90)$
  a) $z = \frac{90 - 84}{4} = 1.5$
  b) $P(X < 90) = \Phi(1.5) \approx 0.9332$
  $\boxed{P(X < 90) = 0.9332}$

• Calcolo di $P(78 < X < 83)$
  a) $z_1 = \frac{78 - 84}{4} = -1.5,\quad z_2 = \frac{83 - 84}{4} = -0.25$
  b) $P(78 < X < 83) = \Phi(-0.25) - \Phi(-1.5)$
  $\Phi(-0.25)=0.4013,\ \Phi(-1.5)=1 - 0.9332 = 0.0668$
  $\boxed{P(78 < X < 83) = 0.4013 - 0.0668 = 0.3345}$

• P.A.m. massima del 10% dei soggetti più ipertesi (90° percentile)
  Cerchiamo $x_{0.90}$ tale che $P(X \le x_{0.90})=0.90$.
  Dalla tabella $z_{0.90}\approx 1.2816$.
  $x_{0.90} = \mu + z_{0.90},\sigma = 84 + 1.2816\cdot 4 = 84 + 5.1264 = 89.1264$
  $\boxed{x_{0.90}\approx 89.13\text{ mmHg}}$

• P.A.m. del 5% dei soggetti più ipertesi (95° percentile)
  $z_{0.95}\approx 1.645$
  $x_{0.95} = 84 + 1.645\cdot 4 = 84 + 6.58 = 90.58$
  $\boxed{x_{0.95}\approx 90.58\text{ mmHg}}$

Answer
Le frequenze relative e i valori percentile sono:
• P(86<X<90) = 0.2417
• P(83<X<85) = 0.1974
• P(X>91) = 0.0401
• P(X<90) = 0.9332
• P(78<X<83)= 0.3345
• 90° percentile $x_{0.90}\approx 89.13\text{ mmHg}$
• 95° percentile $x_{0.95}\approx 90.58\text{ mmHg}$