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Testo generato da AI

  • INPUT

    Un'indagine epidemiologica condotta su 10.000 maschi in età 40 | 60 anni ha evidenziato, tra l'altro, che la pressione arteriosa minima (P.A.m. in mmHg) si distribuisce normalmente con media 84 e varianza 16). Si determini la frequenza relativa dei soggetti con P.A.m. a) compresa tra 86 e 90 b) superiore a 91

    OUTPUT

    Analisi
    Il problema richiede di calcolare, per una variabile casuale X che segue una distribuzione normale con media 84 e varianza 16, le probabilità
    a) che X sia compresa tra 86 e 90
    b) che X sia maggiore di 91
    Si procede calcolando gli z-score corrispondenti e usando la funzione di ripartizione standard Φ del N(0,1).

    Soluzione
    Passo 1 – Parametri della normale
    Calcoliamo la deviazione standard:
    σ = √1616 = 44
    La nostra X è dunque X~N(8484,424^2).

    Passo 2 – Caso a): P(86 ≤ X ≤ 90)

    • z1 = (86 – 84)/4 = 0.50.5

    • z2 = (90 – 84)/4 = 1.51.5

    • P(86 ≤ X ≤ 90) = Φ(1.51.5) – Φ(0.50.5)
      – da tavole o software: Φ(0.50.5) ≈ 0.69150.6915, Φ(1.51.5) ≈ 0.93320.9332
      – differenza = 0.93320.6915=0.24170.9332 – 0.6915 = 0.2417

    Passo 3 – Caso b): P(X > 91)

    • z = (91 – 84)/4 = 1.751.75

    • P(X > 91) = 1 – Φ(1.751.75)
      – da tavole: Φ(1.751.75) ≈ 0.95990.9599
      – complemento = 10.9599=0.04011 – 0.9599 = 0.0401

    Risposta
    a) La frequenza relativa attesa di soggetti con P.A.m. tra 86 e 90 mmHg è circa
    0.24170.2417 (24.17%)

    b) La frequenza relativa attesa di soggetti con P.A.m. superiore a 91 mmHg è circa
    0.04010.0401 (4.01%)

  • INPUT

    Un'indagine epidemiologica condotta su 10.000 maschi in età 40 | 60 anni ha evidenziato, tra l'altro, che la pressione arteriosa minima (P.A.m. in mmHg) si distribuisce normalmente con media 84 e varianza 16). Si determini la frequenza relativa dei soggetti con P.A.m. a) compresa tra 86 e 90 b) superiore a 91

    OUTPUT

    [Analysis]
    Si tratta di un problema di probabilità con distribuzione normale. Dato che la pressione arteriosa minima (X) è normalmente distribuita con media e varianza note, useremo la standardizzazione e la tavola della distribuzione normale standard per calcolare:

    • a) (P(86 \le X \le 90))

    • b) (P(X > 91))

    [Solution]

    • Parametri della distribuzione normale di (X):
      • media: μ=84\mu = 84
      • varianza: σ2=16\sigma^2 = 16 ⇒ deviazione standard σ=16=4\sigma = \sqrt{16} = 4

    • Calcolo degli z-score:
      • Per (X=86):
      z1=86μσ=86844=0.5z_1 = \frac{86 - \mu}{\sigma} = \frac{86 - 84}{4} = 0.5
      • Per (X=90):
      z2=90μσ=90844=1.5z_2 = \frac{90 - \mu}{\sigma} = \frac{90 - 84}{4} = 1.5
      • Per (X=91):
      z3=91μσ=91844=1.75z_3 = \frac{91 - \mu}{\sigma} = \frac{91 - 84}{4} = 1.75

    • Uso della funzione di ripartizione della normale standard (\Phi(z)):
      • Valori noti da tavola:
      Φ(0.5)0.6915,Φ(1.5)0.9332,Φ(1.75)0.9599\Phi(0.5) \approx 0.6915,\quad \Phi(1.5) \approx 0.9332,\quad \Phi(1.75) \approx 0.9599

    • Calcolo delle probabilità richieste:
      a) Probabilità che (X) sia compreso tra 86 e 90:
      P(86X90)=Φ(z2)Φ(z1)=0.93320.6915=0.2417P(86 \le X \le 90) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1) = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417
      b) Probabilità che (X) sia superiore a 91:
      P(X>91)=1Φ(z3)=10.9599=0.0401P(X > 91) = 1 - \Phi(z_3) = 1 - 0.9599 = 0.0401

    [Answer]
    a) Frequenza relativa di soggetti con (86 \le \mathrm{P.A.m.} \le 90):
    0.24170.2417 (≈ 24.17 %)

    b) Frequenza relativa di soggetti con (\mathrm{P.A.m.} > 91):
    0.04010.0401 (≈ 4.01 %)

  • INPUT

    See attached files

    OUTPUT

    [Analysis]
    Si tratta di un problema di indici sintetici di prezzo e di calcolo della spesa a prezzi costanti.
    Per compilare la tabella e rispondere alle domande occorrono i dati di quantità e prezzo dei singoli beni per il 2023 e il 2024.

    Senza queste informazioni di base (prezzi e quantità per ciascun prodotto) non è possibile:

    • calcolare le spese a prezzi 2024 per ciascun anno (aggregando quantità 2023 e 2024 a prezzi 2024);

    • determinare gli indici di prezzo (NI prezzi);

    • valutare la variazione percentuale della spesa a prezzi costanti 2024.

    Vi prego di fornire la tabella completa con prezzi e quantità dei beni per poter svolgere il calcolo step-by-step.

  • INPUT

    Una indatina epidemiologica condotta su 10.000 maschi in età 40 7 60 anni ha evidenziato tra l'altro, che la pressione arteriosa minima o diastolica (P.A.m. in mmHg) si distribuisce normalmente con media 84 e varianza 1 6. Si determini la frequenza relativa dei soggetti con P.A.m:

    • Compresa tra 86 e 90 • Compresa tra 83 e 85 • Superiore a 91 • Inferiore a 90 • Compresa tra 78 e 83 • La P.A.m. massima del 10% dei soggetti più ipotesi • La P.A.m.del 5% dei soggetti più ipertesi

    OUTPUT

    Analysis
    Il problema riguarda una variabile casuale X (pressione arteriosa minima in mmHg) distribuita normalmente con
    • media μ=84\mu = 84
    • varianza σ2=16\sigma^2 = 16, quindi deviazione standard σ=4\sigma = 4
    Per calcolare le frequenze relative e i percentili usiamo la standardizzazione
    Z=XμσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}
    e le tabelle della distribuzione normale standard.

    Solution

    • Calcolo di P(86<X<90)P(86 < X < 90)
      a) Standardizziamo i limiti:
      z1=86844=0.5,z2=90844=1.5z_1 = \frac{86 - 84}{4} = 0.5,\quad z_2 = \frac{90 - 84}{4} = 1.5
      b) Usiamo la funzione di ripartizione Φ(z)\Phi(z):
      P(86<X<90)=Φ(1.5)Φ(0.5)P(86 < X < 90) = \Phi(1.5) - \Phi(0.5)
      Dalle tabelle: Φ(1.5)0.9332, Φ(0.5)0.6915\Phi(1.5)\approx 0.9332,\ \Phi(0.5)\approx 0.6915
      P(86<X<90)=0.93320.6915=0.2417\boxed{P(86 < X < 90) = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417}

    • Calcolo di P(83<X<85)P(83 < X < 85)
      a) Standardizziamo:
      z1=83844=0.25,z2=85844=0.25z_1 = \frac{83 - 84}{4} = -0.25,\quad z_2 = \frac{85 - 84}{4} = 0.25
      b)
      P(83<X<85)=Φ(0.25)Φ(0.25)P(83 < X < 85) = \Phi(0.25) - \Phi(-0.25)
      Φ(0.25)0.5987, Φ(0.25)=10.5987=0.4013\Phi(0.25)\approx 0.5987,\ \Phi(-0.25)=1 - 0.5987 = 0.4013
      P(83<X<85)=0.59870.4013=0.1974\boxed{P(83 < X < 85) = 0.5987 - 0.4013 = 0.1974}

    • Calcolo di P(X>91)P(X > 91)
      a) z=91844=1.75z = \frac{91 - 84}{4} = 1.75
      b) P(X>91)=1Φ(1.75)P(X > 91) = 1 - \Phi(1.75), con Φ(1.75)0.9599\Phi(1.75)\approx 0.9599
      P(X>91)=10.9599=0.0401\boxed{P(X > 91) = 1 - 0.9599 = 0.0401}

    • Calcolo di P(X<90)P(X < 90)
      a) z=90844=1.5z = \frac{90 - 84}{4} = 1.5
      b) P(X<90)=Φ(1.5)0.9332P(X < 90) = \Phi(1.5) \approx 0.9332
      P(X<90)=0.9332\boxed{P(X < 90) = 0.9332}

    • Calcolo di P(78<X<83)P(78 < X < 83)
      a) z1=78844=1.5,z2=83844=0.25z_1 = \frac{78 - 84}{4} = -1.5,\quad z_2 = \frac{83 - 84}{4} = -0.25
      b) P(78<X<83)=Φ(0.25)Φ(1.5)P(78 < X < 83) = \Phi(-0.25) - \Phi(-1.5)
      Φ(0.25)=0.4013, Φ(1.5)=10.9332=0.0668\Phi(-0.25)=0.4013,\ \Phi(-1.5)=1 - 0.9332 = 0.0668
      P(78<X<83)=0.40130.0668=0.3345\boxed{P(78 < X < 83) = 0.4013 - 0.0668 = 0.3345}

    • P.A.m. massima del 10% dei soggetti più ipertesi (90° percentile)
      Cerchiamo x0.90x_{0.90} tale che P(Xx0.90)=0.90P(X \le x_{0.90})=0.90.
      Dalla tabella z0.901.2816z_{0.90}\approx 1.2816.
      x0.90=μ+z0.90,σ=84+1.28164=84+5.1264=89.1264x_{0.90} = \mu + z_{0.90},\sigma = 84 + 1.2816\cdot 4 = 84 + 5.1264 = 89.1264
      x0.9089.13 mmHg\boxed{x_{0.90}\approx 89.13\text{ mmHg}}

    • P.A.m. del 5% dei soggetti più ipertesi (95° percentile)
      z0.951.645z_{0.95}\approx 1.645
      x0.95=84+1.6454=84+6.58=90.58x_{0.95} = 84 + 1.645\cdot 4 = 84 + 6.58 = 90.58
      x0.9590.58 mmHg\boxed{x_{0.95}\approx 90.58\text{ mmHg}}

    Answer
    Le frequenze relative e i valori percentile sono:
    • P(86<X<90) = 0.2417
    • P(83<X<85) = 0.1974
    • P(X>91) = 0.0401
    • P(X<90) = 0.9332
    • P(78<X<83)= 0.3345
    • 90° percentile x0.9089.13 mmHgx_{0.90}\approx 89.13\text{ mmHg}
    • 95° percentile x0.9590.58 mmHgx_{0.95}\approx 90.58\text{ mmHg}

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