Risolutore di Statistica

Analisi

Il problema riguarda l'Esercizio N. 2, che studia la distribuzione del numero di ore trascorse davanti alla TV ($X$) per un campione di anziani, suddiviso per genere. L'analisi si concentra sul sottocampione delle donne.

• Tipo di problema: Statistica descrittiva univariata, calcolo di indici di variabilità

• Metodo: Calcolo della differenza media di Gini (indice di concentrazione/dispersione) per dati individuali con ripetizione

• Dati: Per le donne: $2, 3, 3, 4, 5$ ore ($n = 5$)

Soluzione

Punto a) Differenza media di Gini con ripetizione

La differenza media di Gini con ripetizione è definita come la media aritmetica dei valori assoluti delle differenze tra tutte le coppie possibili di osservazioni (inclusi i confronti di ciascuna unità con sé stessa, che danno differenza nulla).

La formula è:
$\Delta = \frac{\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} |x_i - x_j|}{n^2}$

Passo 1: Costruzione della tabella delle differenze assolute $|x_i - x_j|$

I dati sono: $x_1 = 2, x_2 = 3, x_3 = 3, x_4 = 4, x_5 = 5$

Passo 2: Calcolo della somma totale delle differenze
$\sum_{i = 1}^{5} \sum_{j = 1}^{5} |x_i - x_j| = 7 + 4 + 4 + 5 + 8 = 28$

Passo 3: Calcolo dell'indice
$\Delta = \frac{28}{5^2} = \frac{28}{25} = 1.12$

Nota: Se si considerasse la definizione "senza ripetizione" (solo coppie $i \neq j$, denominatore $n(n-1) = 20$), il risultato sarebbe $1.4$. Tuttavia, con la specifica "con ripetizione", il denominatore corretto è $n^2 = 25$.

Punto b) Unità di misura

La differenza media di Gini è una media di differenze assolute dello stesso carattere $X$. Poiché $X$ è misurato in ore, anche la differenza media è espressa in numero di ore (o semplicemente ore).

Punto c) Categoria di indici

La differenza media di Gini appartiene alla categoria degli indici di variabilità (o dispersione) assoluti. Misura quanto le unità statistiche differiscono tra loro rispetto alla modalità del carattere osservato.

Punto d) Campo di variazione

Il campo di variazione (range) è la differenza tra il valore massimo e il valore minimo della distribuzione:
$R = x_{\max} - x_{\min} = 5 - 2 = 3 \text{ ore}$

Punto e) Verosimiglianza dello scarto quadratico medio

Lo scarto quadratico medio (deviazione standard) è definito come la radice quadrata della varianza, che è una media di scarti quadratici. Poiché i quadrati sono sempre non negativi, la varianza è sempre $\geq 0$, e conseguentemente lo scarto quadratico medio è sempre non negativo ($\geq 0$).

Un valore di $-0.5$ ore è impossibile matematicamente. Pertanto, non è verosimile affermare che lo scarto quadratico medio sia pari a $-0.5$ ore; la risposta corretta è no.

Risposta finale

a) La differenza media di Gini con ripetizione per le donne è:
$\Delta = \frac{28}{25} = 1.12 \text{ ore}$

b) L'unità di misura è il numero di ore (ore).

c) L'indice appartiene alla categoria degli indici di variabilità/dispersione assoluti.

d) Il campo di variazione è:
$R = 3 \text{ ore}$

e) No, non è verosimile. Lo scarto quadratico medio non può assumere valori negativi, essendo sempre $\geq 0$.

[Analisi]
Si tratta di un esercizio misto che comprende:

• Stima intervallare per una proporzione (vaccinati con terza dose).

• Test di bontà di adattamento alla distribuzione normale (chi-quadro).

• Proprietà dei stimatori puntuali (consistenza, non distorsione).

[Soluzione]

1) Stima intervallare per la proporzione di vaccinati con terza dose
Dati: numero totale di cittadini $n$ = 16, numero di vaccinati con 3° dose $X$ = 8 ⇒ $\hat p = \frac{X}{n} = \frac{8}{16} = 0.5$.

1.a)
Estremi dell’intervallo di confidenza di livello (1−α) per $\hat p$ con approssimazione normale:
<<|
\hat p \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}
\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}
|>>

1.b)
Condizioni per l’affidabilità dell’intervallo (almeno due):

• ☐ La numerosità del campione è sufficientemente elevata e le frequenze dei casi con 3 dosi non troppo piccole ($n\hat p \ge 5$ e $n(1-\hat p)\ge5$).

• ☐ La distribuzione della variabile (binomiale) si approssima alla normale (regola della radice).

1.c)
Per il 90% di confidenza: $z_{0.95}=1.645$,
<<|
\mathrm{SE}
= \sqrt{\frac{0.5\,(1-0.5)}{16}}
=0.125
|>>
Margine di errore: $1.645 \times 0.125 = 0.2056$.
Intervallo:
<<|
\bigl[\,0.5 - 0.2056,\;0.5 + 0.2056\bigr]
= [\,0.2944,\;0.7056\,]
\approx[\,0.294,\;0.706\,]
|>>

2) Test di bontà di adattamento alla normale
Si suddivide la variabile in $k = 4$ classi: «≤36», «36–37.5», «37.5–38.5», «>38.5».

2.a)
Si utilizza il test di chi-quadrato:
<<|
\chi^2
= \sum_{i=1}^{k}
\frac{(n_i - n_{i0})^2}{\,n_{i0}\,}
|>>

2.b)

• $n_i$ rappresenta le frequenze di classe osservate nel campione.

• $n_{i0}$ rappresenta le frequenze di classe attese in caso $H_0$ vera.

• $k$ è il numero delle classi utilizzate per la distribuzione della variabile.

2.c)
Stanti $k = 4$ classi e stimando media e varianza dal campione, i gradi di libertà sono $k - 1 - 2 = 1$.
Valore del test (supponendo $\chi^2_{\text{calc}} = 0.432$) e soglia critica al 5%:
$\chi^2_{0.95,\,1} = 3.84$.

3) Proprietà di uno stimatore puntuale $T$

• Definizione:
  «T è una funzione dei dati campionari che si può calcolare anche senza conoscere $\theta$.»

• Consistenza:
  <<|
  \lim_{n\to\infty}\mathrm{Var}(T)=0
  \quad\text{e}\quad
  \lim_{n\to\infty}E(T)=\theta
  |>>

• Non distorsione:
  <<|
  E(T)=\theta
  |>

[Risposta]

1.a) Estremi:
<<|
\hat p \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
|>>

1.b)

• La numerosità del campione è sufficientemente elevata e $n\hat p$ e $n(1-\hat p)$ non troppo piccoli.

• La distribuzione approssima la normale.

1.c) Intervallo 90%:
<<|
[\,0.294,\;0.706\,]
|>>

2.a) Test chi-quadro:
<<|
\chi^2 = \sum_{i=1}^{4}\frac{(n_i-n_{i0})^2}{n_{i0}}
|>>

2.b)
$n_i$: frequenze osservate;
$n_{i0}$: frequenze attese sotto $H_0$;
$k$: numero di classi (4).

2.c)
$\chi^2_{\mathrm{calc}}=0.432,\quad \chi^2_{0.95,1}=3.84$

• Stimatore $T$

• definibile come funzione dei dati campionari senza conoscere $\theta$

• consistente se $\lim Var(T)=0$ e $\lim E(T)=\theta$

• non distorto se $E(T)=\theta$

[Analysis]
Il problema richiede di completare la tabella delle frequenze assolute e percentuali relative ai risultati di un certo numero di lanci di un dado. Dato che è nota la frequenza assoluta per il numero 2 (18) e la corrispondente frequenza percentuale (12 %), possiamo ricavare il numero totale dei lanci e da questo calcolare le frequenze mancanti.

[Solution]
Passo 1: Determinazione del numero totale dei lanci (n)
Usiamo la relazione
$18 = 12\% \times n$
quindi
$n = \frac{18}{0{,}12} = 150$.

Passo 2: Calcolo delle frequenze assolute mancanti

• Numero 1: $\text{freq}_1 = 24\% \times 150 = 36$

• Numero 5: $\text{freq}_5 = 14\% \times 150 = 21$

• Numero 3: dato $\text{freq}_3 = 48$, già noto

• Numero 4: dato $\text{freq}_4 = 15$, già noto

• Numero 6: $\text{freq}_6 = 150 - (36 + 18 + 48 + 15 + 21) = 12$

Passo 3: Calcolo delle frequenze percentuali mancanti

• Numero 3: $\frac{48}{150}\times 100\% = 32\%$

• Numero 4: $\frac{15}{150}\times 100\% = 10\%$

• Numero 6: $\frac{12}{150}\times 100\% = 8\%$

[Answer]
Tabella completata:

Numero uscito | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
Frequenza assoluta | $36$ | $18$ | $48$ | $15$ | $21$ | $12$
Frequenza percentuale | $24\%$ | $12\%$ | $32\%$ | $10\%$ | $14\%$ | $8\%$

Analisi
Il problema richiede di calcolare, per una variabile casuale X che segue una distribuzione normale con media 84 e varianza 16, le probabilità
a) che X sia compresa tra 86 e 90
b) che X sia maggiore di 91
Si procede calcolando gli z-score corrispondenti e usando la funzione di ripartizione standard Φ del N(0,1).

Soluzione
Passo 1 – Parametri della normale
Calcoliamo la deviazione standard:
σ = √$16$ = $4$
La nostra X è dunque X~N($84$,$4^2$).

Passo 2 – Caso a): P(86 ≤ X ≤ 90)

• z1 = (86 – 84)/4 = $0.5$

• z2 = (90 – 84)/4 = $1.5$

• P(86 ≤ X ≤ 90) = Φ($1.5$) – Φ($0.5$)
  – da tavole o software: Φ($0.5$) ≈ $0.6915$, Φ($1.5$) ≈ $0.9332$
  – differenza = $0.9332 – 0.6915 = 0.2417$

Passo 3 – Caso b): P(X > 91)

• z = (91 – 84)/4 = $1.75$

• P(X > 91) = 1 – Φ($1.75$)
  – da tavole: Φ($1.75$) ≈ $0.9599$
  – complemento = $1 – 0.9599 = 0.0401$

Risposta
a) La frequenza relativa attesa di soggetti con P.A.m. tra 86 e 90 mmHg è circa
$0.2417$ (24.17%)

b) La frequenza relativa attesa di soggetti con P.A.m. superiore a 91 mmHg è circa
$0.0401$ (4.01%)