Risolutore di Matematica

[Problem]
Laura ha versato in una caraffa 13 dl di acqua. Durante la giornata ne beve 0,5 l. Quanti decilitri di acqua sono avanzati nella caraffa?

[Image]
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[Analysis]
Si tratta di un problema di conversione di unità di misura (litri in decilitri) e di successiva sottrazione.

[Solution]
Passo 1: Convertire 0,5 l in dl
$0,5\;\mathrm l = 0,5 \times 10\;\mathrm{dl} = 5\;\mathrm{dl}$

Passo 2: Calcolare la quantità rimanente sottraendo i decilitri bevuti da quelli iniziali
$13\;\mathrm{dl} - 5\;\mathrm{dl} = 8\;\mathrm{dl}$

[Answer]
Sono avanzati $8\;\mathrm{dl}$ di acqua nella caraffa.

Ecco la risoluzione dettagliata del problema di geometria.

[Problem]
In un cilindro l'altezza è $\frac{5}{4}$ del raggio e l'area totale è $72\pi \text{ cm}^2$. Calcola il volume del cilindro.

[Analysis]
Si tratta di un problema di geometria solida riguardante un cilindro. Conosciamo la relazione tra l'altezza $h$ e il raggio $r$ e il valore dell'area della superficie totale $A_t$. L'obiettivo è trovare le dimensioni della base e l'altezza per poi calcolare il volume $V$.
Il metodo prevede:

• Esprimere l'area totale in funzione del solo raggio $r$, sostituendo l'altezza con la frazione data.

• Risolvere l'equazione per trovare il raggio.

• Calcolare l'altezza.

• Applicare la formula del volume: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$.

[Solution]
Indichiamo con $r$ il raggio della base e con $h$ l'altezza del cilindro. Sappiamo che:
$h = \frac{5}{4}r$

L'area totale $A_t$ di un cilindro è data dalla somma dell'area laterale e delle due basi:
$A_t = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Sostituiamo i valori noti e l'espressione di $h$ nell'equazione dell'area totale:
$72\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{5}{4}r \right)$

Possiamo semplificare dividendo tutti i termini per $\pi$:
$72 = 2r^2 + \frac{10}{4}r^2$

Semplifichiamo la frazione $\frac{10}{4}$ in $\frac{5}{2}$:
$72 = 2r^2 + \frac{5}{2}r^2$

Sommiamo i termini con $r^2$ trovando il minimo comune denominatore:
$72 = \frac{4 + 5}{2}r^2$
$72 = \frac{9}{2}r^2$

Isoliamo $r^2$:
$r^2 = 72 \cdot \frac{2}{9}$
$r^2 = 8 \cdot 2 = 16$

Calcoliamo il raggio $r$:
$r = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}$

Ora calcoliamo l'altezza $h$ usando la relazione iniziale:
$h = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5 \text{ cm}$

Infine, calcoliamo il volume $V$ del cilindro:
$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$
$V = \pi \cdot 4^2 \cdot 5$
$V = \pi \cdot 16 \cdot 5$
$V = 80\pi \text{ cm}^3$

[Answer]
Il volume del cilindro è $80\pi \text{ cm}^3$ (circa $251,33 \text{ cm}^3$).

Ecco la risoluzione dettagliata del problema.

[Problem]
Le dimensioni di un rettangolo sono l'una il triplo dell'altra e la loro differenza misura 10 cm. Calcola l'area laterale, l'area totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del rettangolo attorno al suo lato maggiore.

[Analysis]
Il problema può essere suddiviso in due fasi principali:

• Geometria piana: Determinare le dimensioni del rettangolo (base e altezza) utilizzando le relazioni fornite (una dimensione è il triplo dell'altra e la loro differenza è 10 cm).

• Geometria solida: La rotazione completa di un rettangolo attorno a un suo lato genera un cilindro. In questo caso, ruotando attorno al lato maggiore, il lato maggiore diventerà l'altezza del cilindro ($h$), mentre il lato minore diventerà il raggio di base ($r$). Utilizzeremo quindi le formule del cilindro per calcolare l'area laterale ($A_L$), l'area totale ($A_T$) e il volume ($V$).

[Solution]
Passaggio 1: Calcolo delle dimensioni del rettangolo
Siano $b$ e $a$ le due dimensioni del rettangolo. Sappiamo che:
$a = 3b$
$a - b = 10 \text{ cm}$

Sostituiamo la prima relazione nella seconda:
$3b - b = 10$
$2b = 10$
$b = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$

Ora troviamo la dimensione maggiore:
$a = 3 \cdot 5 = 15 \text{ cm}$

Le dimensioni del rettangolo sono quindi $5 \text{ cm}$ e $15 \text{ cm}$.

Passaggio 2: Identificazione delle caratteristiche del cilindro
Facendo ruotare il rettangolo attorno al lato maggiore ($15 \text{ cm}$):

• Il raggio di base del cilindro è $r = 5 \text{ cm}$.

• L'altezza del cilindro è $h = 15 \text{ cm}$.

Passaggio 3: Calcolo dell'area laterale
L'area laterale del cilindro si calcola con la formula $A_L = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$:
$A_L = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 15 = 150\pi \text{ cm}^2$
Utilizzando $\pi \approx 3,14$:
$A_L \approx 150 \cdot 3,14 = 471 \text{ cm}^2$

Passaggio 4: Calcolo dell'area totale
L'area totale è data dalla somma dell'area laterale e delle due aree di base ($A_B = \pi \cdot r^2$):
$A_B = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ cm}^2$
$A_T = A_L + 2 \cdot A_B$
$A_T = 150\pi + 2 \cdot 25\pi = 150\pi + 50\pi = 200\pi \text{ cm}^2$
Utilizzando $\pi \approx 3,14$:
$A_T \approx 200 \cdot 3,14 = 628 \text{ cm}^2$

Passaggio 5: Calcolo del volume
Il volume si calcola con la formula $V = A_B \cdot h$:
$V = 25\pi \cdot 15 = 375\pi \text{ cm}^3$
Utilizzando $\pi \approx 3,14$:
$V \approx 375 \cdot 3,14 = 1177,5 \text{ cm}^3$

[Answer]
I risultati del solido ottenuto (cilindro) sono:

• Area laterale: $150\pi \text{ cm}^2$ (circa $471 \text{ cm}^2$)

• Area totale: $200\pi \text{ cm}^2$ (circa $628 \text{ cm}^2$)

• Volume: $375\pi \text{ cm}^3$ (circa $1177,5 \text{ cm}^3$)

Ecco la risoluzione dettagliata del problema di geometria.

[Problem]
Un cilindro ha l'area laterale di $52\pi$ greco cm² e l'area totale interna di $390\pi$ greco cm². Calcolare il volume del cilindro?

[Analysis]
Per risolvere questo problema, dobbiamo seguire questi passaggi:

• Trovare l'area delle due basi sottraendo l'area laterale dall'area totale.

• Determinare l'area di una singola base.

• Calcolare il raggio della base partendo dalla sua area.

• Determinare l'altezza del cilindro utilizzando la formula dell'area laterale.

• Calcolare il volume finale utilizzando l'area della base e l'altezza.

[Solution]
Passaggio 1: Calcolare l'area delle due basi.
L'area totale $A_T$ è la somma dell'area laterale $A_L$ e dell'area delle due basi $2 \cdot A_B$. Quindi:
$2 \cdot A_B = A_T - A_L$
$2 \cdot A_B = 390\pi - 52\pi = 338\pi \text{ cm}^2$

Passaggio 2: Calcolare l'area di una singola base.
Dividiamo l'area delle due basi per due:
$A_B = \frac{338\pi}{2} = 169\pi \text{ cm}^2$

Passaggio 3: Calcolare il raggio della base.
Sapendo che l'area del cerchio è $A_B = \pi \cdot r^2$, ricaviamo il raggio:
$r = \sqrt{\frac{A_B}{\pi}}$
$r = \sqrt{\frac{169\pi}{\pi}} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$

Passaggio 4: Calcolare l'altezza del cilindro.
Usiamo la formula dell'area laterale $A_L = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$ per trovare l'altezza $h$:
$h = \frac{A_L}{2 \cdot \pi \cdot r}$
$h = \frac{52\pi}{2 \cdot \pi \cdot 13} = \frac{52\pi}{26\pi} = 2 \text{ cm}$

Passaggio 5: Calcolare il volume del cilindro.
Il volume $V$ si ottiene moltiplicando l'area della base per l'altezza:
$V = A_B \cdot h$
$V = 169\pi \cdot 2 = 338\pi \text{ cm}^3$

[Answer]
Il volume del cilindro è $338\pi \text{ cm}^3$.