Risolutore di Matematica

[Problem]
Laura ha versato in una caraffa 13 dl di acqua. Durante la giornata ne beve 0,5 l. Quanti decilitri di acqua sono avanzati nella caraffa?

[Image]
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[Analysis]
Si tratta di un problema di conversione di unità di misura (litri in decilitri) e di successiva sottrazione.

[Solution]
Passo 1: Convertire 0,5 l in dl
$0,5\;\mathrm l = 0,5 \times 10\;\mathrm{dl} = 5\;\mathrm{dl}$

Passo 2: Calcolare la quantità rimanente sottraendo i decilitri bevuti da quelli iniziali
$13\;\mathrm{dl} - 5\;\mathrm{dl} = 8\;\mathrm{dl}$

[Answer]
Sono avanzati $8\;\mathrm{dl}$ di acqua nella caraffa.

Ecco la risoluzione dettagliata del problema.

[Problem]
Le dimensioni di un rettangolo sono l'una il triplo dell'altra e la loro differenza misura 10 cm. Calcola l'area laterale, l'area totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del rettangolo attorno al suo lato maggiore.

[Analysis]
Il problema può essere suddiviso in due fasi principali:

1. Geometria piana: Determinare le dimensioni del rettangolo (base e altezza) utilizzando le relazioni fornite (una dimensione è il triplo dell'altra e la loro differenza è 10 cm).
2. Geometria solida: La rotazione completa di un rettangolo attorno a un suo lato genera un cilindro. In questo caso, ruotando attorno al lato maggiore, il lato maggiore diventerà l'altezza del cilindro ($h$), mentre il lato minore diventerà il raggio di base ($r$). Utilizzeremo quindi le formule del cilindro per calcolare l'area laterale ($A_L$), l'area totale ($A_T$) e il volume ($V$).

[Solution]
Passaggio 1: Calcolo delle dimensioni del rettangolo
Siano $b$ e $a$ le due dimensioni del rettangolo. Sappiamo che:
$a = 3b$
$a - b = 10 \text{ cm}$

Sostituiamo la prima relazione nella seconda:
$3b - b = 10$
$2b = 10$
$b = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$

Ora troviamo la dimensione maggiore:
$a = 3 \cdot 5 = 15 \text{ cm}$

Le dimensioni del rettangolo sono quindi $5 \text{ cm}$ e $15 \text{ cm}$.

Passaggio 2: Identificazione delle caratteristiche del cilindro
Facendo ruotare il rettangolo attorno al lato maggiore ($15 \text{ cm}$):

• Il raggio di base del cilindro è $r = 5 \text{ cm}$.
• L'altezza del cilindro è $h = 15 \text{ cm}$.

Passaggio 3: Calcolo dell'area laterale
L'area laterale del cilindro si calcola con la formula $A_L = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$:
$A_L = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 15 = 150\pi \text{ cm}^2$
Utilizzando $\pi \approx 3,14$:
$A_L \approx 150 \cdot 3,14 = 471 \text{ cm}^2$

Passaggio 4: Calcolo dell'area totale
L'area totale è data dalla somma dell'area laterale e delle due aree di base ($A_B = \pi \cdot r^2$):
$A_B = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ cm}^2$
$A_T = A_L + 2 \cdot A_B$
$A_T = 150\pi + 2 \cdot 25\pi = 150\pi + 50\pi = 200\pi \text{ cm}^2$
Utilizzando $\pi \approx 3,14$:
$A_T \approx 200 \cdot 3,14 = 628 \text{ cm}^2$

Passaggio 5: Calcolo del volume
Il volume si calcola con la formula $V = A_B \cdot h$:
$V = 25\pi \cdot 15 = 375\pi \text{ cm}^3$
Utilizzando $\pi \approx 3,14$:
$V \approx 375 \cdot 3,14 = 1177,5 \text{ cm}^3$

[Answer]
I risultati del solido ottenuto (cilindro) sono:

• Area laterale: $150\pi \text{ cm}^2$ (circa $471 \text{ cm}^2$)
• Area totale: $200\pi \text{ cm}^2$ (circa $628 \text{ cm}^2$)
• Volume: $375\pi \text{ cm}^3$ (circa $1177,5 \text{ cm}^3$)

Ecco la risoluzione dettagliata del problema di geometria.

[Problem]
Un cilindro ha l'area laterale di $52\pi$ greco cm² e l'area totale interna di $390\pi$ greco cm². Calcolare il volume del cilindro?

[Analysis]
Per risolvere questo problema, dobbiamo seguire questi passaggi:

1. Trovare l'area delle due basi sottraendo l'area laterale dall'area totale.
2. Determinare l'area di una singola base.
3. Calcolare il raggio della base partendo dalla sua area.
4. Determinare l'altezza del cilindro utilizzando la formula dell'area laterale.
5. Calcolare il volume finale utilizzando l'area della base e l'altezza.

[Solution]
Passaggio 1: Calcolare l'area delle due basi.
L'area totale $A_T$ è la somma dell'area laterale $A_L$ e dell'area delle due basi $2 \cdot A_B$. Quindi:
$2 \cdot A_B = A_T - A_L$
$2 \cdot A_B = 390\pi - 52\pi = 338\pi \text{ cm}^2$

Passaggio 2: Calcolare l'area di una singola base.
Dividiamo l'area delle due basi per due:
$A_B = \frac{338\pi}{2} = 169\pi \text{ cm}^2$

Passaggio 3: Calcolare il raggio della base.
Sapendo che l'area del cerchio è $A_B = \pi \cdot r^2$, ricaviamo il raggio:
$r = \sqrt{\frac{A_B}{\pi}}$
$r = \sqrt{\frac{169\pi}{\pi}} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$

Passaggio 4: Calcolare l'altezza del cilindro.
Usiamo la formula dell'area laterale $A_L = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$ per trovare l'altezza $h$:
$h = \frac{A_L}{2 \cdot \pi \cdot r}$
$h = \frac{52\pi}{2 \cdot \pi \cdot 13} = \frac{52\pi}{26\pi} = 2 \text{ cm}$

Passaggio 5: Calcolare il volume del cilindro.
Il volume $V$ si ottiene moltiplicando l'area della base per l'altezza:
$V = A_B \cdot h$
$V = 169\pi \cdot 2 = 338\pi \text{ cm}^3$

[Answer]
Il volume del cilindro è $338\pi \text{ cm}^3$.