Solveur de Physique

Voici la résolution détaillée de l'exercice de chimie sur la détermination des quantités de matière.

[Analysis]

Ce problème porte sur la structure de la matière à l'échelle microscopique et l'introduction de la notion de quantité de matière (la mole). L'approche consiste à :

• Calculer la masse d'une entité unique (l'atome de fer) en utilisant le nombre de nucléons $A$ et la masse d'un nucléon. On néglige la masse des électrons.

• Déterminer le nombre total d'atomes $N$ dans un échantillon macroscopique en effectuant le rapport de la masse totale sur la masse d'un atome : $N = \frac{m_{\text{échantillon}}}{m_{\text{atome}}}$.

• Analyser l'ordre de grandeur du résultat pour justifier la nécessité de regrouper les entités chimiques en "paquets" (moles), par analogie avec des ramettes de papier.

[Solution]

1. Calcul de la masse approchée d'un atome de fer $^{56}_{26}\text{Fe}$

L'atome de fer possède $A = 56$ nucléons. La masse des électrons étant négligeable, la masse de l'atome est environ égale à la somme des masses de ses nucléons.
Formule : $m_{\text{atome}} \approx A \times m_n$
Calcul :
$m_{\text{atome}} \approx 56 \times 1,66 \times 10^{-27} \text{ kg}$
$m_{\text{atome}} \approx 9,296 \times 10^{-26} \text{ kg}$

2. Déduction du nombre $N$ d'atomes de fer présent dans le clou

La masse du clou est $m_s = 100 \text{ mg}$. Convertissons d'abord cette masse en kilogrammes (unité SI) :
$m_s = 100 \times 10^{-3} \text{ g} = 100 \times 10^{-6} \text{ kg} = 10^{-4} \text{ kg}$
Le nombre d'atomes est :
$N = \frac{m_s}{m_{\text{atome}}}$
$N = \frac{10^{-4}}{9,296 \times 10^{-26}}$
$N \approx 1,076 \times 10^{21}$

3. Durée du dénombrement et conclusion

Si l'on compte 1 atome par seconde, la durée $t$ en secondes est égale à $N$.
$t = 1,076 \times 10^{21} \text{ s}$
Convertissons cette durée en années pour mieux se rendre compte de l'échelle (1 an $\approx 3,15 \times 10^7 \text{ s}$) :
$t_{\text{années}} \approx \frac{1,076 \times 10^{21}}{3,15 \times 10^7} \approx 3,4 \times 10^{13} \text{ ans}$
Conclusion : Cette durée est immensément supérieure à l'âge de l'Univers (environ $1,3 \times 10^{10}$ ans). Il est donc rigoureusement impossible de compter les atomes un par un à cause de leur nombre extrêmement élevé et de leur taille minuscule.

4. Étude de l'ensemble de paquets de papier

• 4.1. Calcul du nombre de feuilles dans 5 paquets :
  Chaque paquet contient 500 feuilles.
  $N_{\text{feuilles}} = 5 \times 500 = 2500 \text{ feuilles}$

• 4.2. Remarque :
  On remarque qu'il est beaucoup plus facile et rapide de compter des "paquets" (unités collectives) que de compter chaque feuille individuellement. Cela simplifie la gestion des grandes quantités.

5. Suggestion pour calculer le nombre d'atomes $N$

Pour manipuler des nombres d'atomes aussi grands sans utiliser des puissances de 10 complexes, il est suggéré de regrouper les entités chimiques (atomes, molécules, ions) par "paquets" contenant un nombre fixe et très grand d'entités. En chimie, ce paquet standard est appelé la mole, et le nombre d'entités par paquet est la constante d'Avogadro $N_A \approx 6,02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$.

[Answer]

• La masse d'un atome de fer est $m_{\text{atome}} \approx 9,30 \times 10^{-26} \text{ kg}$.

• Le nombre d'atomes dans le clou est $N \approx 1,08 \times 10^{21}$.

• Le dénombrement durerait environ $3,4 \times 10^{13}$ années. C'est impossible à réaliser à l'échelle humaine.

• Il y a $2500$ feuilles dans 5 paquets. On remarque que le regroupement en paquets facilite le comptage.

• Il est suggéré d'utiliser la mole comme unité de quantité de matière pour regrouper les atomes en paquets standardisés.