Analyse du problème

Il s'agit d'un exercice de chimie sur la combustion du carbone dans le dioxygène. On utilise les notions de réactifs, de produits, le test d'identification du dioxyde de carbone (eau de chaux), l'écriture du bilan chimique et l'équation bilan.

Solution

1) Quel(s) est (sont) le(s) réactif(s) ?

Les réactifs sont les substances présentes avant la réaction et qui disparaissent :
\text{Le carbone (C) et le dioxygène (O_2)}

2) Quel(s) est (sont) le(s) produit(s) ?

Le produit est la substance nouvelle formée lors de la combustion :
\text{Le dioxyde de carbone (CO_2)}

3) Légende du schéma du test avec l'eau de chaux

• Flèche pointant vers le flacon (contenu initial) : eau de chaux (eau de chaux limpide)
• Après l'expérience : l'eau de chaux se trouble, ce qui permet d'identifier le dioxyde de carbone.
• Observation : l'eau de chaux se trouble → permet d'identifier le $CO_2$

4) Représentation de la réaction chimique (bilan en écriture littérale)

$\text{carbone} + \text{dioxygène} \longrightarrow \text{dioxyde de carbone}$

5) Équation bilan

$C + O_2 \longrightarrow CO_2$

Vérification : il y a 1 atome de carbone et 2 atomes d'oxygène de chaque côté → équation équilibrée (loi de conservation de la matière).

6) Pourquoi la combustion est-elle interrompue alors que le charbon n'a pas brûlé complètement ?

La combustion s'arrête parce que le dioxygène du flacon est épuisé (tout le dioxygène a été consommé par la réaction). Or le dioxygène est le comburant nécessaire à la combustion : sans lui, le feu ne peut plus entretenir la réaction, même s'il reste du carbone.

7) Phrase à compléter

• Au cours de la combustion du charbon, du carbone et du dioxygène ont disparu et du dioxyde de carbone est apparu.

Answer (Réponses finales)

1. Réactifs : $C \text{ (carbone)} \text{ et } O_2 \text{ (dioxygène)}$
2. Produit : $CO_2 \text{ (dioxyde de carbone)}$
3. Test : l'eau de chaux se trouble, ce qui permet d'identifier le dioxyde de carbone.
4. $\text{carbone} + \text{dioxygène} \longrightarrow \text{dioxyde de carbone}$
5. $C + O_2 \longrightarrow CO_2$
6. La combustion s'interrompt car le dioxygène est épuisé dans le flacon.
7. Disparition du carbone et du dioxygène ; apparition du dioxyde de carbone.

[Analyse]
Il s'agit d'un problème de dilatation thermique linéaire. La longueur d'une poutre métallique varie avec la température selon la formule :

$L = L_0 \, (1 + \lambda \, \Delta T)$

avec $\lambda = 1{,}85 \times 10^{-5} \ \text{°C}^{-1}$.

Hypothèses : la longueur de référence est $L_0 = 80 \ \text{m}$ à $0 \ \text{°C}$ ; la température varie de $-15 \ \text{°C}$ à $+35 \ \text{°C}$, soit une variation totale de $\Delta T = 50 \ \text{°C}$.

[Solution]

Étape 1 : Calcul de la variation de température

$\Delta T = T_{max} - T_{min} = 35 - (-15) = 50 \ \text{°C}$

Étape 2 : Allongement total entre -15 °C et +35 °C

$\Delta L = L_0 \, \lambda \, \Delta T$

$\Delta L = 80 \times 1{,}85 \times 10^{-5} \times 50$

$\Delta L = 80 \times 9{,}25 \times 10^{-4} = 0{,}074 \ \text{m} = 7{,}4 \ \text{cm}$

Étape 3 : Longueur à -15 °C (contraction)

$L_{-15} = L_0 \, (1 - \lambda \times 15) = 80 \times (1 - 1{,}85 \times 10^{-5} \times 15)$

$L_{-15} = 80 \times (1 - 2{,}775 \times 10^{-4}) = 80 - 0{,}0222 \approx 79{,}9778 \ \text{m}$

Étape 4 : Longueur à +35 °C (dilatation)

$L_{+35} = L_0 \, (1 + \lambda \times 35) = 80 \times (1 + 1{,}85 \times 10^{-5} \times 35)$

$L_{+35} = 80 \times (1 + 6{,}475 \times 10^{-4}) = 80 + 0{,}0518 \approx 80{,}0518 \ \text{m}$

Vérification : $L_{+35} - L_{-15} = 80{,}0518 - 79{,}9778 = 0{,}074 \ \text{m}$, ce qui correspond bien au résultat de l'étape 2.

[Answer]
Entre -15 °C et +35 °C, la longueur du tablier varie de :

$L_{-15} \approx 79{,}98 \ \text{m} \quad \text{à} \quad L_{+35} \approx 80{,}05 \ \text{m}$

soit une variation totale d'environ $\Delta L = 0{,}074 \ \text{m} = 7{,}4 \ \text{cm}$ (allongement en été d'environ $5{,}2 \ \text{cm}$ par rapport à 0 °C).

[Analysis]
Il s'agit d'un problème de dilatation thermique linéaire. La longueur d'un corps solide varie avec la température selon la formule :

$L = L_0 \, (1 + \lambda \, \Delta T)$

où $L_0$ est la longueur initiale, $\lambda$ le coefficient de dilatation linéaire et $\Delta T$ la variation de température.

Ici, la longueur de référence est 80 m à 0 °C. On cherche la longueur aux deux températures extrêmes : -15 °C et +35 °C. L'écart total entre ces deux températures est de 50 °C.

[Solution]

Étape 1 : Données

• $L_0 = 80 \, m$ à $0 \, ^\circ C$
• $\lambda = 1{,}85 \times 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$
• Températures : $T_1 = -15 \, ^\circ C$ et $T_2 = +35 \, ^\circ C$

Étape 2 : Longueur à -15 °C (contraction)

$\Delta T_1 = -15 - 0 = -15 \, ^\circ C$

$L_1 = L_0 (1 + \lambda \Delta T_1) = 80 \times (1 - 1{,}85 \times 10^{-5} \times 15)$

$L_1 = 80 \times (1 - 2{,}775 \times 10^{-4})$

$L_1 = 80 - 80 \times 2{,}775 \times 10^{-4} = 80 - 0{,}0222$

$L_1 \approx 79{,}9778 \, m$

Étape 3 : Longueur à +35 °C (dilatation)

$\Delta T_2 = 35 - 0 = 35 \, ^\circ C$

$L_2 = 80 \times (1 + 1{,}85 \times 10^{-5} \times 35)$

$L_2 = 80 \times (1 + 6{,}475 \times 10^{-4})$

$L_2 = 80 + 80 \times 6{,}475 \times 10^{-4} = 80 + 0{,}0518$

$L_2 \approx 80{,}0518 \, m$

Étape 4 : Variation totale de longueur

La variation totale de longueur entre -15 °C et +35 °C est :

$\Delta L = L_2 - L_1 = 80{,}0518 - 79{,}9778 = 0{,}074 \, m$

On peut vérifier directement :

$\Delta L = L_0 \, \lambda \, (T_2 - T_1) = 80 \times 1{,}85 \times 10^{-5} \times 50 = 0{,}074 \, m$

soit environ $7{,}4 \, cm$.

[Answer]
Entre -15 °C et +35 °C, la longueur du tablier varie de :

• À -15 °C : $L_1 \approx 79{,}978 \, m$
• À +35 °C : $L_2 \approx 80{,}052 \, m$

La variation totale de longueur est :

$\Delta L \approx 0{,}074 \, m = 7{,}4 \, cm$

Le tablier s'allonge donc d'environ 7,4 cm entre l'hiver (-15 °C) et l'été (+35 °C).