Solveur de Géométrie

Voici une résolution détaillée du problème de géométrie proposé.

Analyse

La pelouse représentée est une figure composée de trois parties distinctes :

• Un quart d'anneau (ou secteur de couronne circulaire) délimité par deux quarts de cercle de même centre $O$.

• Deux rectangles identiques situés aux deux extrémités du quart d'anneau.

Pour calculer la longueur totale de la bordure (le périmètre), nous devons identifier et additionner les longueurs de tous les segments qui composent le contour extérieur et intérieur de la figure :

• Le grand arc de cercle extérieur de rayon $R = 4 \text{ m}$.

• Le petit arc de cercle intérieur de rayon $r = 1 \text{ m}$.

• Les segments droits des deux rectangles. D'après l'énoncé et le codage (les doubles traits), chaque rectangle a une « largeur » (extension) de $1 \text{ m}$. La « longueur » de ces rectangles correspond à la distance entre les deux arcs, soit $4 \text{ m} - 1 \text{ m} = 3 \text{ m}$.

Solution

Étape 1 : Calcul de la longueur du grand arc de cercle
Le grand arc est un quart de cercle. La circonférence d'un cercle complet est donnée par $2 \times \pi \times R$. Pour un quart de cercle de rayon $4 \text{ m}$ :
$L_1 = \frac{1}{4} \times 2 \times \pi \times 4$
$L_1 = 2\pi \text{ m}$

Étape 2 : Calcul de la longueur du petit arc de cercle
Le petit arc est un quart de cercle de rayon $1 \text{ m}$ :
$L_2 = \frac{1}{4} \times 2 \times \pi \times 1$
$L_2 = 0,5\pi \text{ m}$

Étape 3 : Calcul de la longueur des segments droits des rectangles
La bordure de chaque rectangle est composée de trois segments visibles sur le contour :

• Le segment extérieur (prolongement du grand arc) : $1 \text{ m}$.

• Le segment d'extrémité (la largeur de la bande) : $4 - 1 = 3 \text{ m}$.

• Le segment intérieur (prolongement du petit arc) : $1 \text{ m}$.

Puisqu'il y a deux rectangles identiques, la somme des longueurs de ces segments droits est :
$L_3 = 2 \times (1 + 3 + 1)$
$L_3 = 2 \times 5 = 10 \text{ m}$

Étape 4 : Calcul du périmètre total
Le périmètre total $P$ est la somme des longueurs calculées précédemment :
$P = L_1 + L_2 + L_3$
$P = 2\pi + 0,5\pi + 10$
$P = 2,5\pi + 10$

Étape 5 : Calcul de la valeur approchée au centième
En utilisant une valeur approchée de $\pi \approx 3,14159$ :
$P \approx 2,5 \times 3,14159 + 10$
$P \approx 7,85398 + 10$
$P \approx 17,85398 \text{ m}$

En arrondissant au centième près (deux chiffres après la virgule), nous obtenons $17,85$.

Answer

La valeur approchée au centième près de la longueur de la bordure de la pelouse est de $17,85 \text{ m}$.