수학 문제 해결기

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    [Problem]
    2024년 9월 고2 12번/3점
    함수 f(x)=atanπ4xf(x)=a\tan\frac{\pi}{4}x에 대하여 함수 y=f(x)y = f(x)의 그래프 위의 점 A(3, −2)를 x축 방향으로 6만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점을 A′이라 하자.
    점 A′이 함수 y=f(x)y = f(x)의 그래프 위의 점일 때, a+ba + b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

    [Image]
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    [Analysis]
    주어진 점 A가 그래프 위에 있으므로 A의 좌표를 대입해 a를 구하고, 이동한 점 A′도 그래프 위에 있다는 조건을 이용해 b를 구한 뒤 a+b를 구한다.

    [Solution]

    • 점 A(3, −2)를 y=f(x)y = f(x)에 대입
      2=atan(π43)−2 = a\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}·3\bigr)
      tan3π4=1\tan\tfrac{3\pi}{4}=-1 이므로
      2=a(1)    a=2−2 = a·(−1)\implies a = 2

    • 점 A를 (x축 방향으로 6, y축 방향으로 b)만큼 평행이동한 점 A′는
      A′(3+6,;−2+b)=(9,;−2+b)

    • A′도 그래프 위에 있으므로
      2+b=f(9)=atan(π49)−2 + b = f(9) = a\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}·9\bigr)
      =;2tan9π4=;2·\tan\tfrac{9\pi}{4}
      9π4=2π+π4    tan9π4=tanπ4=1\tfrac{9\pi}{4}=2\pi+\tfrac{\pi}{4}\implies \tan\tfrac{9\pi}{4}=\tan\tfrac{\pi}{4}=1
      따라서
      2+b=21=2    b=4−2 + b = 2·1 = 2\implies b = 4

    • 최종적으로
      a+b=2+4=6a + b = 2 + 4 = 6

    [Answer]
    66

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    [Problem]  
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    [Analysis]  
    직선 <<|y = x + 1|>> 위의 점 P에 대하여 벡터 <<|\overrightarrow{OP}|>> 의 방위각을 <<|\theta|>>(0<θ<2π)라 할 때    
    <<|7\theta|>> 와 <<|\theta|>> 가 동방향이 되려면    
    <<|7\theta \equiv \theta \pmod{2\pi}|>> 이어야 함.  
      
    [Solution]  
    1. 7θ ≡ θ (mod 2π) 이므로    
       <<|6\theta = 2k\pi \quad (k\in\mathbb{Z})|>>    
       <<|\theta = \frac{k\pi}{3}|>>, 0<θ<2π 이므로 k=1,2,3,4,5.  
      
    2. 각 θ에서 P의 극좌표 (r, θ) 이고 P는 y=x+1 위에 있으므로    
       <<|r\sin\theta = r\cos\theta + 1 \implies r(\sin\theta - \cos\theta)=1   
         \implies r = \frac{1}{\sin\theta - \cos\theta}|>>    
       x-좌표: <<|x = r\cos\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta}|>>.  
      
    3. k=1: θ=π/3    
       <<|\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12|>> 이므로    
       <<|\sin\theta-\cos\theta=\frac{\sqrt3-1}{2}|>>,    
       <<|x = \frac{\frac12}{\frac{\sqrt3-1}{2}} = \frac{1}{\sqrt3-1} = \frac{\sqrt3+1}{2}|>>.  
      
    4. k=2,3,4,5 경우는 x≤0 또는 r<0 이므로 배제.  
      
    [Answer]  
    <<|\frac{\sqrt3+1}{2}|>>  
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    [Problem]
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    [Analysis]

    • 주어진 정보로 CAPM 공식 E(ri)rf=βi(E(rM)rf)E(r_i)-r_f=\beta_i\bigl(E(r_M)-r_f\bigr) 을 이용

      • 증권 X로부터 시장포트폴리오의 초과수익률 계산

      • 증권 Y의 균형 기대수익률 계산

      • X, Y 동일비율 포트폴리오의 베타와 기대수익률 계산

      • 시장과 완전상관(ρ=1) 포트폴리오의 표준편차로부터 베타 구하여 초과수익률 계산

    [Solution]

    • 시장포트폴리오의 기대초과수익률

    • 주어진: E(rX)rf=20E(r_X)-r_f = 20%,\ \beta_X = 1.6

    • CAPM에 의하면
      E(r_M)-r_f=\frac{E(r_X)-r_f}{\beta_X}=\frac{20%}{1.6}=12.5%

    • 증권 Y의 균형 하 기대수익률

    • 주어진: βY=0.48, rf=4\beta_Y = 0.48,\ r_f = 4%

    • 초과수익률: E(rY)rf=βY,(E(rM)rf)=0.48×12.5E(r_Y)-r_f=\beta_Y,(E(r_M)-r_f)=0.48\times12.5%=6%

    • 따라서 기대수익률:
      E(rY)=rf+6E(r_Y)=r_f + 6%=4%+6%=10%

    • X, Y 동일비율 포트폴리오의 베타 및 기대수익률

    • 베타:
      βP=12βX+12βY=12×1.6+12×0.48=1.04\beta_P=\tfrac12\beta_X+\tfrac12\beta_Y=\tfrac12\times1.6+\tfrac12\times0.48 = 1.04

    • 기대수익률:
      E(rX)=rf+20E(r_X)=r_f + 20%=24%,\quad E(r_Y)=10%
      E(rP)=12E(rX)+12E(rY)=12×24E(r_P)=\tfrac12E(r_X)+\tfrac12E(r_Y)=\tfrac12\times24%+\tfrac12\times10%=17%

    • 시장과 완전상관 포트폴리오의 기대초과수익률

    • 주어진: σP=9\sigma_P = 9%,\ \sigma_M = 6%,\ \rho_{P,M}=1

    • 베타:
      <<|\beta_P=\frac{\mathrm{Cov}(P,M)}{\sigma_M^2}
      =\frac{\sigma_P\sigma_M\rho_{P,M}}{\sigma_M^2}
      =\frac{9%\times6%\times1}{(6%)^2}
      =1.5|>>

    • 시장 초과수익률 12.512.5% 이므로
      E(rP)rf=βP,(E(rM)rf)=1.5×12.5E(r_P)-r_f=\beta_P,(E(r_M)-r_f)=1.5\times12.5%=18.75%

    [Answer]

    • 시장포트폴리오 기대초과수익률: 12.512.5%

    • 증권 Y 기대수익률: 1010%

    • X, Y 동일비율 포트폴리오 베타: 1.041.04, 기대수익률: 1717%

    • 완전상관 포트폴리오 기대초과수익률: 18.7518.75%

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    [Problem]  
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    [Image]  
    (사용자 제공 이미지 참조)  
      
    [Analysis]  
    이 문제는 확률 모형에 따라 주식 A와 시장 포트폴리오의 기대수익률, 분산, 공분산을 계산한 뒤    
    CAPM에 기반하여 자본시장선(CML)과 증권시장선(SML)을 도출하고    
    주식 A의 베타 및 요구수익률을 구한 후 과대·과소평가 여부를 판단하는 문제이다.    
      
    [Solution]  
    1. 기대수익률 계산    
       <<|E(r_A)=0.2\times0.3+0.4\times0.1+0.3\times0.25+0.1\times(-0.05)=0.17|>>    
       <<|E(r_m)=0.2\times0.18+0.4\times0.15+0.3\times0.1+0.1\times(-0.1)=0.116|>>    
      
    2. 시장 포트폴리오 분산 및 표준편차    
       <<|Var(r_m)=0.2(0.18-0.116)^2+0.4(0.15-0.116)^2+0.3(0.1-0.116)^2+0.1(-0.1-0.116)^2=0.006024|>>    
       <<|\sigma_m=\sqrt{0.006024}\approx0.0776|>>    
      
    3. 자본시장선(CML)    
       <<|E(R_p)=r_f+\frac{E(r_m)-r_f}{\sigma_m}\,\sigma_p    
                 =0.04+\frac{0.116-0.04}{0.0776}\,\sigma_p    
                 =0.04+0.98\,\sigma_p|>>    
      
    4. 증권시장선(SML)    
       <<|E(R_i)=r_f+\beta_i\bigl(E(r_m)-r_f\bigr)    
                 =0.04+\beta_i\times0.076|>>    
      
    5. 공분산 및 베타 계산    
       <<|Cov(r_A,r_m)=\sum p_i\,(r_{A,i}-E(r_A))(r_{m,i}-E(r_m))=0.00508|>>    
       <<|\beta_A=\frac{Cov(r_A,r_m)}{Var(r_m)}=\frac{0.00508}{0.006024}\approx0.8436|>>    
      
    6. 주식 A의 요구수익률    
       <<|E(R_A)=0.04+0.076\times0.8436\approx0.1041|>>    
      
    7. 과대·과소평가 판단    
       실제 기대수익률 0.17 > 요구수익률 0.1041 이므로    
       주식 A는 시장에서 **과소평가** 되어 있다.    
      
    [Answer]  
    1) <<|E(R_p)=0.04+0.98\,\sigma_p|>>    
    2) <<|E(R_i)=0.04+0.076\,\beta_i|>>    
    3) <<|\beta_A\approx0.8436,\ E(R_A)\approx0.1041|>>    
    4) 주식 A는 과소평가되어 있다.    

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