수학 문제 해결기

[Problem]
2024년 9월 고2 12번/3점
함수 $f(x)=a\tan\frac{\pi}{4}x$에 대하여 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점 A(3, −2)를 x축 방향으로 6만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점을 A′이라 하자.
점 A′이 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점일 때, $a + b$의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

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[Analysis]
주어진 점 A가 그래프 위에 있으므로 A의 좌표를 대입해 a를 구하고, 이동한 점 A′도 그래프 위에 있다는 조건을 이용해 b를 구한 뒤 a+b를 구한다.

[Solution]

• 점 A(3, −2)를 $y = f(x)$에 대입
  $−2 = a\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}·3\bigr)$
  $\tan\tfrac{3\pi}{4}=-1$ 이므로
  $−2 = a·(−1)\implies a = 2$

• 점 A를 (x축 방향으로 6, y축 방향으로 b)만큼 평행이동한 점 A′는
  A′(3+6,;−2+b)=(9,;−2+b)

• A′도 그래프 위에 있으므로
  $−2 + b = f(9) = a\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}·9\bigr)$
  $=;2·\tan\tfrac{9\pi}{4}$
  $\tfrac{9\pi}{4}=2\pi+\tfrac{\pi}{4}\implies \tan\tfrac{9\pi}{4}=\tan\tfrac{\pi}{4}=1$
  따라서
  $−2 + b = 2·1 = 2\implies b = 4$

• 최종적으로
  $a + b = 2 + 4 = 6$

[Answer]
$6$

[Problem]  
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[Analysis]  
직선 <<|y = x + 1|>> 위의 점 P에 대하여 벡터 <<|\overrightarrow{OP}|>> 의 방위각을 <<|\theta|>>(0<θ<2π)라 할 때    
<<|7\theta|>> 와 <<|\theta|>> 가 동방향이 되려면    
<<|7\theta \equiv \theta \pmod{2\pi}|>> 이어야 함.  
  
[Solution]  
1. 7θ ≡ θ (mod 2π) 이므로    
   <<|6\theta = 2k\pi \quad (k\in\mathbb{Z})|>>    
   <<|\theta = \frac{k\pi}{3}|>>, 0<θ<2π 이므로 k=1,2,3,4,5.  
  
2. 각 θ에서 P의 극좌표 (r, θ) 이고 P는 y=x+1 위에 있으므로    
   <<|r\sin\theta = r\cos\theta + 1 \implies r(\sin\theta - \cos\theta)=1   
     \implies r = \frac{1}{\sin\theta - \cos\theta}|>>    
   x-좌표: <<|x = r\cos\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta}|>>.  
  
3. k=1: θ=π/3    
   <<|\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12|>> 이므로    
   <<|\sin\theta-\cos\theta=\frac{\sqrt3-1}{2}|>>,    
   <<|x = \frac{\frac12}{\frac{\sqrt3-1}{2}} = \frac{1}{\sqrt3-1} = \frac{\sqrt3+1}{2}|>>.  
  
4. k=2,3,4,5 경우는 x≤0 또는 r<0 이므로 배제.  
  
[Answer]  
<<|\frac{\sqrt3+1}{2}|>>  
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[Problem]
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[Analysis]

• 주어진 정보로 CAPM 공식 $E(r_i)-r_f=\beta_i\bigl(E(r_M)-r_f\bigr)$ 을 이용

• • 증권 X로부터 시장포트폴리오의 초과수익률 계산

• • 증권 Y의 균형 기대수익률 계산

• • X, Y 동일비율 포트폴리오의 베타와 기대수익률 계산

• • 시장과 완전상관(ρ=1) 포트폴리오의 표준편차로부터 베타 구하여 초과수익률 계산

[Solution]

• 시장포트폴리오의 기대초과수익률

• 주어진: $E(r_X)-r_f = 20$

• CAPM에 의하면
  E(r_M)-r_f=\frac{E(r_X)-r_f}{\beta_X}=\frac{20%}{1.6}=12.5%

• 증권 Y의 균형 하 기대수익률

• 주어진: $\beta_Y = 0.48,\ r_f = 4$

• 초과수익률: $E(r_Y)-r_f=\beta_Y,(E(r_M)-r_f)=0.48\times12.5$

• 따라서 기대수익률:
  $E(r_Y)=r_f + 6$

• X, Y 동일비율 포트폴리오의 베타 및 기대수익률

• 베타:
  $\beta_P=\tfrac12\beta_X+\tfrac12\beta_Y=\tfrac12\times1.6+\tfrac12\times0.48 = 1.04$

• 기대수익률:
  $E(r_X)=r_f + 20$
  $E(r_P)=\tfrac12E(r_X)+\tfrac12E(r_Y)=\tfrac12\times24$

• 시장과 완전상관 포트폴리오의 기대초과수익률

• 주어진: $\sigma_P = 9$

• 베타:
  <<|\beta_P=\frac{\mathrm{Cov}(P,M)}{\sigma_M^2}
  =\frac{\sigma_P\sigma_M\rho_{P,M}}{\sigma_M^2}
  =\frac{9%\times6%\times1}{(6%)^2}
  =1.5|>>

• 시장 초과수익률 $12.5$ 이므로
  $E(r_P)-r_f=\beta_P,(E(r_M)-r_f)=1.5\times12.5$

[Answer]

• 시장포트폴리오 기대초과수익률: $12.5$

• 증권 Y 기대수익률: $10$

• X, Y 동일비율 포트폴리오 베타: $1.04$, 기대수익률: $17$

• 완전상관 포트폴리오 기대초과수익률: $18.75$

[Problem]  
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(사용자 제공 이미지 참조)  
  
[Analysis]  
이 문제는 확률 모형에 따라 주식 A와 시장 포트폴리오의 기대수익률, 분산, 공분산을 계산한 뒤    
CAPM에 기반하여 자본시장선(CML)과 증권시장선(SML)을 도출하고    
주식 A의 베타 및 요구수익률을 구한 후 과대·과소평가 여부를 판단하는 문제이다.    
  
[Solution]  
1. 기대수익률 계산    
   <<|E(r_A)=0.2\times0.3+0.4\times0.1+0.3\times0.25+0.1\times(-0.05)=0.17|>>    
   <<|E(r_m)=0.2\times0.18+0.4\times0.15+0.3\times0.1+0.1\times(-0.1)=0.116|>>    
  
2. 시장 포트폴리오 분산 및 표준편차    
   <<|Var(r_m)=0.2(0.18-0.116)^2+0.4(0.15-0.116)^2+0.3(0.1-0.116)^2+0.1(-0.1-0.116)^2=0.006024|>>    
   <<|\sigma_m=\sqrt{0.006024}\approx0.0776|>>    
  
3. 자본시장선(CML)    
   <<|E(R_p)=r_f+\frac{E(r_m)-r_f}{\sigma_m}\,\sigma_p    
             =0.04+\frac{0.116-0.04}{0.0776}\,\sigma_p    
             =0.04+0.98\,\sigma_p|>>    
  
4. 증권시장선(SML)    
   <<|E(R_i)=r_f+\beta_i\bigl(E(r_m)-r_f\bigr)    
             =0.04+\beta_i\times0.076|>>    
  
5. 공분산 및 베타 계산    
   <<|Cov(r_A,r_m)=\sum p_i\,(r_{A,i}-E(r_A))(r_{m,i}-E(r_m))=0.00508|>>    
   <<|\beta_A=\frac{Cov(r_A,r_m)}{Var(r_m)}=\frac{0.00508}{0.006024}\approx0.8436|>>    
  
6. 주식 A의 요구수익률    
   <<|E(R_A)=0.04+0.076\times0.8436\approx0.1041|>>    
  
7. 과대·과소평가 판단    
   실제 기대수익률 0.17 > 요구수익률 0.1041 이므로    
   주식 A는 시장에서 **과소평가** 되어 있다.    
  
[Answer]  
1) <<|E(R_p)=0.04+0.98\,\sigma_p|>>    
2) <<|E(R_i)=0.04+0.076\,\beta_i|>>    
3) <<|\beta_A\approx0.8436,\ E(R_A)\approx0.1041|>>    
4) 주식 A는 과소평가되어 있다.    
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