수학 문제 해결기

[Problem]
2024년 9월 고2 12번/3점
함수 $f(x)=a\tan\frac{\pi}{4}x$에 대하여 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점 A(3, −2)를 x축 방향으로 6만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점을 A′이라 하자.
점 A′이 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점일 때, $a + b$의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

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[Analysis]
주어진 점 A가 그래프 위에 있으므로 A의 좌표를 대입해 a를 구하고, 이동한 점 A′도 그래프 위에 있다는 조건을 이용해 b를 구한 뒤 a+b를 구한다.

[Solution]

• 점 A(3, −2)를 $y = f(x)$에 대입
  $−2 = a\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}·3\bigr)$
  $\tan\tfrac{3\pi}{4}=-1$ 이므로
  $−2 = a·(−1)\implies a = 2$

• 점 A를 (x축 방향으로 6, y축 방향으로 b)만큼 평행이동한 점 A′는
  A′(3+6,;−2+b)=(9,;−2+b)

• A′도 그래프 위에 있으므로
  $−2 + b = f(9) = a\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}·9\bigr)$
  $=\;2·\tan\tfrac{9\pi}{4}$
  $\tfrac{9\pi}{4}=2\pi+\tfrac{\pi}{4}\implies \tan\tfrac{9\pi}{4}=\tan\tfrac{\pi}{4}=1$
  따라서
  $−2 + b = 2·1 = 2\implies b = 4$

• 최종적으로
  $a + b = 2 + 4 = 6$

[Answer]
$6$

[Problem]  
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[Analysis]  
직선 <<\|y = x + 1\|>> 위의 점 P에 대하여 벡터 <<\|\\overrightarrow{OP}\|>> 의 방위각을 <<\|\\theta\|>>(0<θ<2π)라 할 때    
<<\|7\\theta\|>> 와 <<\|\\theta\|>> 가 동방향이 되려면    
<<\|7\\theta \\equiv \\theta \\pmod{2\\pi}\|>> 이어야 함.  
  
[Solution]  
1. 7θ ≡ θ (mod 2π) 이므로    
   <<\|6\\theta = 2k\\pi \\quad (k\\in\\mathbb{Z})\|>>    
   <<\|\\theta = \\frac{k\\pi}{3}\|>>, 0<θ<2π 이므로 k=1,2,3,4,5.  
  
2. 각 θ에서 P의 극좌표 (r, θ) 이고 P는 y=x+1 위에 있으므로    
   <<\|r\\sin\\theta = r\\cos\\theta + 1 \\implies r(\\sin\\theta - \\cos\\theta)=1   
     \\implies r = \\frac{1}{\\sin\\theta - \\cos\\theta}\|>>    
   x-좌표: <<\|x = r\\cos\\theta = \\frac{\\cos\\theta}{\\sin\\theta - \\cos\\theta}\|>>.  
  
3. k=1: θ=π/3    
   <<\|\\sin\\frac{\\pi}{3}=\\frac{\\sqrt3}{2},\\ \\cos\\frac{\\pi}{3}=\\frac12\|>> 이므로    
   <<\|\\sin\\theta-\\cos\\theta=\\frac{\\sqrt3-1}{2}\|>>,    
   <<\|x = \\frac{\\frac12}{\\frac{\\sqrt3-1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt3-1} = \\frac{\\sqrt3+1}{2}\|>>.  
  
4. k=2,3,4,5 경우는 x≤0 또는 r<0 이므로 배제.  
  
[Answer]  
<<\|\\frac{\\sqrt3+1}{2}\|>>  
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[Problem]
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[Analysis]

• 주어진 정보로 CAPM 공식 $E(r_i)-r_f=\beta_i\bigl(E(r_M)-r_f\bigr)$ 을 이용

• • 증권 X로부터 시장포트폴리오의 초과수익률 계산

• • 증권 Y의 균형 기대수익률 계산

• • X, Y 동일비율 포트폴리오의 베타와 기대수익률 계산

• • 시장과 완전상관(ρ=1) 포트폴리오의 표준편차로부터 베타 구하여 초과수익률 계산

[Solution]

• 시장포트폴리오의 기대초과수익률

• 주어진: $E(r_X)-r_f = 20\%,\ \beta_X = 1.6$

• CAPM에 의하면
  $E(r_M)-r_f=\frac{E(r_X)-r_f}{\beta_X}=\frac{20\%}{1.6}=12.5\%$

• 증권 Y의 균형 하 기대수익률

• 주어진: $\beta_Y = 0.48,\ r_f = 4\%$

• 초과수익률: $E(r_Y)-r_f=\beta_Y\,(E(r_M)-r_f)=0.48\times12.5\%=6\%$

• 따라서 기대수익률:
  $E(r_Y)=r_f + 6\%=4\%+6\%=10\%$

• X, Y 동일비율 포트폴리오의 베타 및 기대수익률

• 베타:
  $\beta_P=\tfrac12\beta_X+\tfrac12\beta_Y=\tfrac12\times1.6+\tfrac12\times0.48 = 1.04$

• 기대수익률:
  $E(r_X)=r_f + 20\%=24\%,\quad E(r_Y)=10\%$
  $E(r_P)=\tfrac12E(r_X)+\tfrac12E(r_Y)=\tfrac12\times24\%+\tfrac12\times10\%=17\%$

• 시장과 완전상관 포트폴리오의 기대초과수익률

• 주어진: $\sigma_P = 9\%,\ \sigma_M = 6\%,\ \rho_{P,M}=1$

• 베타:
  <<|\beta_P=\frac{\mathrm{Cov}(P,M)}{\sigma_M^2}
  =\frac{\sigma_P\sigma_M\rho_{P,M}}{\sigma_M^2}
  =\frac{9\%\times6\%\times1}{(6\%)^2}
  =1.5|>>

• 시장 초과수익률 $12.5\%$ 이므로
  $E(r_P)-r_f=\beta_P\,(E(r_M)-r_f)=1.5\times12.5\%=18.75\%$

[Answer]

• 시장포트폴리오 기대초과수익률: $12.5\%$

• 증권 Y 기대수익률: $10\%$

• X, Y 동일비율 포트폴리오 베타: $1.04$, 기대수익률: $17\%$

• 완전상관 포트폴리오 기대초과수익률: $18.75\%$

[Problem]  
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(사용자 제공 이미지 참조)  
  
[Analysis]  
이 문제는 확률 모형에 따라 주식 A와 시장 포트폴리오의 기대수익률, 분산, 공분산을 계산한 뒤    
CAPM에 기반하여 자본시장선(CML)과 증권시장선(SML)을 도출하고    
주식 A의 베타 및 요구수익률을 구한 후 과대·과소평가 여부를 판단하는 문제이다.    
  
[Solution]  
1. 기대수익률 계산    
   <<\|E(r_A)=0.2\\times0.3+0.4\\times0.1+0.3\\times0.25+0.1\\times(-0.05)=0.17\|>>    
   <<\|E(r_m)=0.2\\times0.18+0.4\\times0.15+0.3\\times0.1+0.1\\times(-0.1)=0.116\|>>    
  
2. 시장 포트폴리오 분산 및 표준편차    
   <<\|Var(r_m)=0.2(0.18-0.116)^2+0.4(0.15-0.116)^2+0.3(0.1-0.116)^2+0.1(-0.1-0.116)^2=0.006024\|>>    
   <<\|\\sigma_m=\\sqrt{0.006024}\\approx0.0776\|>>    
  
3. 자본시장선(CML)    
   <<\|E(R_p)=r_f+\\frac{E(r_m)-r_f}{\\sigma_m}\\,\\sigma_p    
             =0.04+\\frac{0.116-0.04}{0.0776}\\,\\sigma_p    
             =0.04+0.98\\,\\sigma_p\|>>    
  
4. 증권시장선(SML)    
   <<\|E(R_i)=r_f+\\beta_i\\bigl(E(r_m)-r_f\\bigr)    
             =0.04+\\beta_i\\times0.076\|>>    
  
5. 공분산 및 베타 계산    
   <<\|Cov(r_A,r_m)=\\sum p_i\\,(r_{A,i}-E(r_A))(r_{m,i}-E(r_m))=0.00508\|>>    
   <<\|\\beta_A=\\frac{Cov(r_A,r_m)}{Var(r_m)}=\\frac{0.00508}{0.006024}\\approx0.8436\|>>    
  
6. 주식 A의 요구수익률    
   <<\|E(R_A)=0.04+0.076\\times0.8436\\approx0.1041\|>>    
  
7. 과대·과소평가 판단    
   실제 기대수익률 0.17 > 요구수익률 0.1041 이므로    
   주식 A는 시장에서 **과소평가** 되어 있다.    
  
[Answer]  
1) <<\|E(R_p)=0.04+0.98\\,\\sigma_p\|>>    
2) <<\|E(R_i)=0.04+0.076\\,\\beta_i\|>>    
3) <<\|\\beta_A\\approx0.8436,\\ E(R_A)\\approx0.1041\|>>    
4) 주식 A는 과소평가되어 있다.    
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