Buchhaltungs-Löser

Analyse
Die Aufgabe betrifft den Eintritt eines neuen Teilhabers Z in eine Personengesellschaft. Wir müssen

• das Opferungsverhältnis der bisherigen Gesellschafter X und Y bestimmen,

• den stillen Goodwill errechnen, den Z mitbringt,

• die erforderlichen Buchungssätze (insbesondere für Goodwill und die Auflösung des Gewinn- und Verlustkontos) aufstellen.

Vorgehensweise

• Ermittlung der alten und neuen Gewinnanteile von X und Y

• Berechnung des Opferungsverhältnisses

• Bewertung der stillen Reserven (Goodwill), die Z mitbringt

• Auflösung des Gewinn- und Verlustkontos

• Buchung der Kapitaleinlage von Z

• Verteilung des Goodwill auf X und Y nach dem Opferungsverhältnis

Solution

Schritt 1: Alte und neue Gewinnanteile
– Altes Verhältnis X : Y = 1 : 2 →
X alt = $\frac{1}{3}$, Y alt = $\frac{2}{3}$
– Z soll $\tfrac{1}{5}$ erhalten. Also bleibt für X+Y zusammen $\tfrac{4}{5}$.
– Neuer Anteil X = $\tfrac{4}{5}\times \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{15}$,
neuer Anteil Y = $\tfrac{4}{5}\times \tfrac{2}{3} = \tfrac{8}{15}$.

Schritt 2: Opferungsverhältnis
– X opfert = X alt – X neu = $\tfrac{1}{3}-\tfrac{4}{15} = \tfrac{5 - 4}{15} = \tfrac{1}{15}$
– Y opfert = Y alt – Y neu = $\tfrac{2}{3}-\tfrac{8}{15} = \tfrac{10 - 8}{15} = \tfrac{2}{15}$
→ Opferungsverhältnis X : Y = 1 : 2.

Schritt 3: Berechnung des stillen Goodwills
– Bilanzsummen vor Eintritt von Z:
Kapital X + Kapital Y + P & L = 1 300 000 + 2 000 000 + 600 000 = 3 900 000
– Z bringt als Kapitaleinlage 1 200 000 und erhält davon $\tfrac{1}{5}$ vom Gesamtkapital, also einen echten Anteil von
$3 900 000\times\tfrac{1}{5} = 780 000$
– Stillen Goodwill zahlt Z zusätzlich:
$1 200 000 - 780 000 = 420 000$

Schritt 4: Buchungssätze

• Auflösung des Gewinn- und Verlustkontos
  Gewinn- und Verlustkonto an X Kapital 200 000
  Gewinn- und Verlustkonto an Y Kapital 400 000
  (Verteilung des Saldos von 600 000 im Verhältnis 1 : 2)

• Bank und Goodwill-Buchung für Z
  Bank an Z Kapital 1 200 000
  Z Kapital an stiller Goodwill 420 000
  (Z bringt 1 200 000 ein, davon 420 000 Goodwill)

• Verteilung des Goodwill auf X und Y
  Stiller Goodwill an X Kapital 140 000
  Stiller Goodwill an Y Kapital 280 000
  (Goodwill 420 000 im Opferungsverhältnis 1 : 2)

Answer
Die endgültigen Buchungssätze lauten:

<<|
1.\quad Gewinn_u_V Verlustkonto ; an ; X_Kapital ; 200,000 \
\phantom{1.}\quad Gewinn_u_V Verlustkonto ; an ; Y_Kapital ; 400,000 \[1ex]
2.\quad Bank ; an ; Z_Kapital ; 1,200,000 \
\phantom{2.}\quad Z_Kapital ; an ; Stiller_Goodwill ; 420,000 \[1ex]
3.\quad Stiller_Goodwill ; an ; X_Kapital ; 140,000 \
\phantom{3.}\quad Stiller_Goodwill ; an ; Y_Kapital ; 280,000
|>>

Analysis
Wir haben ein klassisches Produktions­programm­problem (lineare Optimierung) mit vier Marmeladensorten, variablen Herstellkosten, Verkaufspreisen und einer Kapazitäts­beschränkung für das Ersatzmittel Guarkernmehl.
Ziel: Maximierung des Deckungsbeitrags (DB) unter Beachtung
• der maximalen Absatzmengen je Sorte
• der Gesamtmenge an verfügbarem Guarkernmehl
Anschließend wird der Gewinn nach Abzug der Fixkosten von 1 500 € ermittelt und der Mindestumsatz für Deckung der Fixkosten berechnet.

Wir gehen im Folgenden von einer verfügbaren Gesamtmenge von 1 000 g Guarkernmehl aus (übliches Prüfungsbeispiel).

Solution

Schritt 1: Deckungsbeitrag je Glas berechnen
Erdbeere:
$DB_E = 6{,}00 € - 3{,}50 € = 2{,}50 €$
Himbeere:
$DB_Hi = 7{,}50 € - 3{,}70 € = 3{,}80 €$
Johannisbeere:
$DB_J = 5{,}00 € - 2{,}90 € = 2{,}10 €$
Heidelbeere:
$DB_He = 7{,}50 € - 3{,}90 € = 3{,}60 €$

Schritt 2: DB je Gramm Guarkernmehl
Erdbeere:
$2{,}50 € / 1{,}5 g ≈ 1{,}67 €/g$
Himbeere:
$3{,}80 € / 2{,}0 g = 1{,}90 €/g$
Johannisbeere:
$2{,}10 € / 2{,}4 g ≈ 0{,}88 €/g$
Heidelbeere:
$3{,}60 € / 2{,}0 g = 1{,}80 €/g$

Rangfolge nach Effizienz (DB je g):

• Himbeere (1,90 €/g)

• Heidelbeere (1,80 €/g)

• Erdbeere (1,67 €/g)

• Johannisbeere (0,88 €/g)

Schritt 3: Optimale Produktionsmengen unter Guar-Beschränkung

Bezeichnungen:
$x_E$ = produzierte Gläser Erdbeere ≤180
$x_Hi$ = produzierte Gläser Himbeere ≤180
$x_J$ = produzierte Gläser Johannisbeere ≤200
$x_He$ = produzierte Gläser Heidelbeere ≤200

Guar-Ressourcen­gleichung:
$1{,}5·x_E + 2{,}0·x_Hi + 2{,}4·x_J + 2{,}0·x_He ≤ 1000 g$

Wir füllen in Reihenfolge der Rangfolge auf:

• Himbeere maximal:
  $x_Hi = 180$ → Guar-Verbrauch $2,0 g·180 = 360 g$
  Rest ≙ $1000 - 360 = 640 g$

• Heidelbeere maximal:
  $x_He = 200$ → Guar-Verbrauch $2,0 g·200 = 400 g$
  Rest ≙ $640 - 400 = 240 g$

• Erdbeere so weit möglich:
  Je Glas 1,5 g → maximal $240 \frac{g}{1},5 g = 160$ Gläser
  $x_E = 160$ → Guar-Verbrauch $1,5·160 = 240 g$
  Rest = 0

• Johannisbeere:
  Kein Rest mehr → $x_J = 0$

Schritt 4: Deckungsbeitrag des optimalen Programms

DB gesamt =
$DB_E·x_E + DB_Hi·x_Hi + DB_J·x_J + DB_He·x_He$
= $2,50·160 + 3,80·180 + 2,10·0 + 3,60·200$
= $400 + 684 + 0 + 720$
= $1 804 €$

Schritt 5: Gewinn (nach Abzug der Fixkosten 1 500 €)
Gewinn = DB gesamt − Fixkosten
= $1 804 € − 1 500 € = 304 €$

Schritt 6: Umsatz des optimalen Programms
Umsatz =
$6,00·160 + 7,50·180 + 5,00·0 + 7,50·200$
= $960 + 1 350 + 0 + 1 500$
= $3 810 €$

Schritt 7: Mindestumsatz für positives Ergebnis
Entweder direkt über DB-Quote oder über Fixkosten / DB-Quote:
DB-Quote = DB gesamt / Umsatz
= $1 \frac{804}{3} 810 ≈ 0{,}4736$

Mindestumsatz = Fixkosten / DB-Quote
= $1 500 € / 0{,}4736 ≈ 3 169 €$

Answer

• Optimales Produktionsprogramm:
  • Erdbeere: 160 Gläser
  • Himbeere: 180 Gläser
  • Johannisbeere: 0 Gläser
  • Heidelbeere: 200 Gläser

• Gewinn = $304 €$

• Erzielter Umsatz = $3 810 €$

• Mindestens notwendiger Umsatz für positives Ergebnis ≈ $3 169 €$