Mathe-Löser

[Problem]
Gegeben ist eine Sequenz von Gitterdiagrammen mit schwarzen Punkten. Welches der Antwortdiagramme (a–e) vervollständigt die Reihe logisch?

[Image]
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[Analysis]
Es handelt sich um eine Abfolge von Mustern mit jeweils fünf Punkten am Rand des Rasters. Die Anordnung wechselt dabei ab zwischen einer horizontalen Reihe oben und einer vertikalen Reihe links.

[Solution]

• $\text{1.\ Diagramm: 5 Punkte horizontal oben}$

• $\text{2.\ Diagramm: 5 Punkte vertikal links}$

• $\text{3.\ Diagramm: 5 Punkte horizontal oben}$

• Die Folge wechselt: horizontal → vertikal → horizontal → vertikal.

• Daher muss das 4.\ Diagramm eine vertikale Anordnung links sein, was Antwort b entspricht.

[Answer]
$\text{b}$

[Problem]    
Sie sehen drei identische 6×6-Gitter.    
Im ersten Gitter sind auf der Oberkante 5 Punkte,    
im zweiten Gitter an der Linkskante 5 Punkte,    
im dritten Gitter wieder auf der Oberkante 6 Punkte.    
Vervollständigen Sie das vierte Gitter.  
  
[Image]    
*Benutzer hat ein Bild eines Gitterrätsels hochgeladen.*  
  
[Analysis]    
Wir haben ein 6×6-Gitter.    
Die Punkte werden abwechselnd auf die Oberkante bzw. Linkskante gesetzt.    
Die Anzahl der Punkte ist in Gitter 1 und 2 jeweils 5, in Gitter 3 bereits 6.    
Daraus ergibt sich der Musterablauf:  
– Position: oben, links, oben, links    
– Anzahl: 5, 5, 6, …  
  
Für Gitter 4 gilt daher: Punkte an der Linkskante, Anzahl 6.  
  
[Solution]    
Schritt 1: Gitter 1 → oben, 5 Punkte    
<<|G_1: \text{oben }=5|>>    
  
Schritt 2: Gitter 2 → links, 5 Punkte    
<<|G_2: \text{links }=5|>>    
  
Schritt 3: Gitter 3 → oben, 6 Punkte    
<<|G_3: \text{oben }=6|>>    
  
Schritt 4: Gitter 4 → links, Anzahl unverändert steigend ⇒ 6 Punkte    
<<|G_4: \text{links }=6|>>    
  
[Answer]    
Das vierte Gitter zeigt auf der linken Seite 6 ausgefüllte Punkte, alle anderen Kanten bleiben leer.    
<<|\text{Gitter 4: 6 Punkte an der Linkskante eines 6×6-Gitters}|>>    
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[Problem]
Gegeben ist ein Haus mit Satteldach, dessen Grundriss eine Länge von 9{,}20 m hat. Die Traufwandhöhe beträgt 3{,}80 m, der horizontale Abstand vom Dachfirst zur Traufe (halbe Dachspannweite mit Dachüberstand) beträgt 4{,}40 m und die Breite der Traufwand beträgt 8{,}50 m.
a) Begründe, warum das Haus ein Prisma ist.
b) Berechne das Volumen des Hauses.

[Image]
Vom Benutzer hochgeladenes Bild eines Hauses mit den Maßen.

[Analysis]
– Der Querschnitt senkrecht zur Hauslängsachse (an der Giebelseite) ist über die gesamte Länge identisch.
– Damit ist das Haus ein Gerades Prisma mit dem Querschnitt als Grundfläche und der Länge 9{,}20 m als Höhe des Prismas.
– Volumen = Grundfläche · Länge. Die Grundfläche besteht aus Rechteck (Wand) plus aufgesetztem Dreieck (Dach).

[Solution]

• Prisma-Begründung
  <<| Das Querschnittsprofil an der Giebelseite (Rechteck plus Dachdreieck) bleibt entlang der Hauslängsachse unverändert. Daher handelt es sich um ein gerades Prisma. |>

• Grundfläche berechnen
  2.1 Rechteck (Wand)
  <<| A_{\rm Rechteck}=b\cdot h=8{,}50;\mathrm{m}\times3{,}80;\mathrm{m}=32{,}30;\mathrm{m}^2 |>

2.2 Dachdreieck
– Basis des Dreiecks = Breite der Traufwand = 8{,}50 m
– Höhe des Dreiecks errechnet mit Pythagoras aus horizontalem halben Dachüberstand und halber Traufwand:
<<| h_{\rm Dach}=\sqrt{4{,}40^2-\bigl(\tfrac{8{,}50}{2}\bigr)^2}=\sqrt{19{,}36-18{,}0625}\approx1{,}14;\mathrm{m} |>
– Fläche Dreieck
<<| A_{\rm Dreieck}=\tfrac12;b;h_{\rm Dach}=\tfrac12;\times8{,}50;\mathrm{m}\times1{,}14;\mathrm{m}\approx4{,}84;\mathrm{m}^2 |>

2.3 Gesamt-Grundfläche
<<| A_{\rm Giebelschnitt}=A_{\rm Rechteck}+A_{\rm Dreieck}=32{,}30+4{,}84=37{,}14;\mathrm{m}^2 |>

• Volumen des Prismas
  <<| V=A_{\rm Giebelschnitt}\times L=37{,}14;\mathrm{m}^2\times9{,}20;\mathrm{m}\approx341{,}1;\mathrm{m}^3 |>

[Answer]
Das Volumen des Hauses beträgt
<<| V\approx341{,}1;\mathrm{m}^3 |>