Mathe-Löser

[Problem]
Gegeben ist ein Haus mit Satteldach, dessen Grundriss eine Länge von 9{,}20 m hat. Die Traufwandhöhe beträgt 3{,}80 m, der horizontale Abstand vom Dachfirst zur Traufe (halbe Dachspannweite mit Dachüberstand) beträgt 4{,}40 m und die Breite der Traufwand beträgt 8{,}50 m.
a) Begründe, warum das Haus ein Prisma ist.
b) Berechne das Volumen des Hauses.

[Image]
Vom Benutzer hochgeladenes Bild eines Hauses mit den Maßen.

[Analysis]
– Der Querschnitt senkrecht zur Hauslängsachse (an der Giebelseite) ist über die gesamte Länge identisch.
– Damit ist das Haus ein Gerades Prisma mit dem Querschnitt als Grundfläche und der Länge 9{,}20 m als Höhe des Prismas.
– Volumen = Grundfläche · Länge. Die Grundfläche besteht aus Rechteck (Wand) plus aufgesetztem Dreieck (Dach).

[Solution]

1. Prisma-Begründung
   <<| Das Querschnittsprofil an der Giebelseite (Rechteck plus Dachdreieck) bleibt entlang der Hauslängsachse unverändert. Daher handelt es sich um ein gerades Prisma. |>

2. Grundfläche berechnen
   2.1 Rechteck (Wand)
   <<| A_{\rm Rechteck}=b\cdot h=8{,}50;\mathrm{m}\times3{,}80;\mathrm{m}=32{,}30;\mathrm{m}^2 |>

2.2 Dachdreieck
– Basis des Dreiecks = Breite der Traufwand = 8{,}50 m
– Höhe des Dreiecks errechnet mit Pythagoras aus horizontalem halben Dachüberstand und halber Traufwand:
<<| h_{\rm Dach}=\sqrt{4{,}40^2-\bigl(\tfrac{8{,}50}{2}\bigr)^2}=\sqrt{19{,}36-18{,}0625}\approx1{,}14;\mathrm{m} |>
– Fläche Dreieck
<<| A_{\rm Dreieck}=\tfrac12;b;h_{\rm Dach}=\tfrac12;\times8{,}50;\mathrm{m}\times1{,}14;\mathrm{m}\approx4{,}84;\mathrm{m}^2 |>

2.3 Gesamt-Grundfläche
<<| A_{\rm Giebelschnitt}=A_{\rm Rechteck}+A_{\rm Dreieck}=32{,}30+4{,}84=37{,}14;\mathrm{m}^2 |>

3. Volumen des Prismas
   <<| V=A_{\rm Giebelschnitt}\times L=37{,}14;\mathrm{m}^2\times9{,}20;\mathrm{m}\approx341{,}1;\mathrm{m}^3 |>

[Answer]
Das Volumen des Hauses beträgt
<<| V\approx341{,}1;\mathrm{m}^3 |>