Statistik-Löser

[Analysis]
Bei nominal-skalierten Variablen liegt keine Metrik vor, daher können klassische Streuungsmaße wie Varianz oder Standardabweichung nicht berechnet werden. Stattdessen kommt als Streuungsmaß einzig ein rein frequenzbasiertes Maß in Betracht.

Zulässiges Streuungsmaß für nominalskalierte Variablen:
– die Variationsquote (engl. Variation Ratio)

[Solution]
Schritt 1 – Definition der Variationsquote
Die Variationsquote misst den Anteil der Beobachtungen, die nicht in der Modal­kategorie liegen.

Schritt 2 – Formel in LaTeX mit $…$
Zu berechnen ist
<<|
VR ;=; 1 ;-; \max_{i} p_{i}
|>>
wobei $p_i$ der relative Häufigkeitsanteil der i-ten Kategorie ist, und $\max_i p_i$ den Anteil der Modal­kategorie darstellt.

Alternativ in absoluten Häufigkeiten:
<<|
VR ;=; 1 ;-; \frac{n_{\text{Modal}}}{N}
|>>
mit $n_{\text{Modal}}$ = Häufigkeit der Modal­kategorie und $N$ = Gesamtzahl der Beobachtungen.

Schritt 3 – Interpretation
– VR = 0 bedeutet perfekte Konzentration auf eine Kategorie (keine Streuung)
– VR → 1 bedeutet maximale Gleichverteilung über alle Kategorien (hohe Streuung)

[Answer]
Als Streuungsmaß für nominalskalierte Variablen kommt die Variationsquote in Betracht:
<<|
VR ;=; 1 ;-; \max_{i} p_{i}
|>>

Analysis
Es handelt sich um die Berechnung der durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate über 10 Jahre auf Basis jährlicher Wachstumsraten. Hierfür verwenden wir das geometrische Mittel der jeweiligen Steigerungsfaktoren.

Vorgehensweise

• Umrechnung der prozentualen Wachstumsraten in Steigerungsfaktoren:
  $f_i = 1 + \tfrac{w_i}{100}$

• Berechnung des geometrischen Mittels der Faktoren:
  $\bar f_{\mathrm{geom}} = \Bigl(\prod_{i = 1}^{10} f_i\Bigr)^{!\frac{1}{10}}$

• Umrechnung zurück in eine jährliche Wachstumsrate:
  $\bar w = (\bar f_{\mathrm{geom}} - 1)\cdot 100$

Solution

• Steigerungsfaktoren
  Jahr 1: $1{,}36$
  Jahr 2: $1{,}28$
  Jahr 3: $0{,}97$
  Jahr 4: $1{,}04$
  Jahr 5: $1{,}04$
  Jahr 6: $1{,}02$
  Jahr 7: $0{,}88$
  Jahr 8: $1{,}01$
  Jahr 9: $1{,}01$
  Jahr 10: $1{,}01$

• Geometrisches Mittel der Faktoren
  $\bar f_{\mathrm{geom}} = \bigl(1{,}36 \cdot 1{,}28 \cdot 0{,}97 \cdot 1{,}04 \cdot 1{,}04 \cdot 1{,}02 \cdot 0{,}88 \cdot 1{,}01 \cdot 1{,}01 \cdot 1{,}01\bigr)^{\frac{1}{10}} \approx 1{,}0538127$

• Durchschnittliche jährliche Wachstumsrate
  $\bar w = (1{,}0538127 - 1)\cdot 100$

Answer
Die durchschnittliche Wachstumsrate der Jahre 1–10 beträgt $5{,}38$.

## Analyse    
Es liegen zwei Stichproben mit je zehn Noten vor. Gesucht sind für beide Stichproben Minimum, Maximum, Median, arithmetisches Mittel und Modus. Vorgehensweise:  
  
1. Werte aufsteigend sortieren    
2. Minimum und Maximum ablesen    
3. Arithmetisches Mittel als Summe durch Anzahl berechnen    
4. Median für gerade Beobachtungszahl als Mittelwert der beiden mittleren Werte bestimmen    
5. Modus als häufigsten Wert ermitteln    
  
---  
  
## Lösung  
  
### 1. Werte sortieren    
- Mädchen (aufsteigend):    
  <<|3{,}50,\;3{,}60,\;3{,}70,\;3{,}80,\;3{,}90,\;4{,}10,\;4{,}20,\;4{,}30,\;4{,}40,\;4{,}50|>>    
  
- Jungen (aufsteigend):    
  <<|1{,}00,\;1{,}00,\;3{,}50,\;3{,}80,\;4{,}20,\;4{,}50,\;5{,}00,\;5{,}00,\;6{,}00,\;6{,}00|>>    
  
### 2. Minimum und Maximum    
- Mädchen:    
  <<|x_{\min}=3{,}50|>>, <<|x_{\max}=4{,}50|>>    
  
- Jungen:    
  <<|x_{\min}=1{,}00|>>, <<|x_{\max}=6{,}00|>>    
  
### 3. Arithmetisches Mittel    
- Mädchen:    
  Summe <<|\sum x_i=40{,}0|>>, Anzahl <<|n=10|>>    
  <<|\overline{x}=\frac{40{,}0}{10}=4{,}0|>>    
  
- Jungen:    
  Summe <<|\sum x_i=40{,}0|>>, Anzahl <<|n=10|>>    
  <<|\overline{x}=\frac{40{,}0}{10}=4{,}0|>>    
  
### 4. Median    
Da n gerade ist, ist der Median der Mittelwert der 5ten und 6ten Beobachtung in der sortierten Liste.    
- Mädchen: 5te <<|3{,}90|>>, 6te <<|4{,}10|>>    
  <<|\mathrm{Median}=\frac{3{,}90+4{,}10}{2}=4{,}00|>>    
  
- Jungen: 5te <<|4{,}20|>>, 6te <<|4{,}50|>>    
  <<|\mathrm{Median}=\frac{4{,}20+4{,}50}{2}=4{,}35|>>    
  
### 5. Modus    
- Mädchen: Alle Werte sind unterschiedlich → kein eindeutiger Modus    
- Jungen: Häufigkeiten: 1{,}00; 5{,}00; 6{,}00 jeweils zweimal → drei Modalwerte    
  
---  
  
## Antwort    
  
| Kennzahl          | Mädchen        | Jungen                  |  
|-------------------|----------------|-------------------------|  
| Minimum           | <<|3{,}50|>>   | <<|1{,}00|>>            |  
| Maximum           | <<|4{,}50|>>   | <<|6{,}00|>>            |  
| Median            | <<|4{,}00|>>   | <<|4{,}35|>>            |  
| Arithmetisches Mittel | <<|4{,}00|>>   | <<|4{,}00|>>            |  
| Modus             | keiner         | <<|1{,}00,\;5{,}00,\;6{,}00|>> |  
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## Analysis  
Wir haben eine Korrelationsmatrix mit Pearson-Korrelationen zwischen den Big-Five-Merkmalen der KundInnen und den gewünschten Merkmalen bei TrainerInnen. Gesucht ist der Korrelationskoeffizient zwischen der Offenheit der KundInnen und dem Wunsch nach Offenheit bei den TrainerInnen.    
  
Vorgehensweise:  
1. Bestimme die Zeile und Spalte in der Matrix, die diese beiden Variablen beschreiben.    
2. Lese den entsprechenden Korrelationswert und die Signifikanz ab.    
  
## Solution  
1. Identifiziere die Zeile „KundIn wünscht sich Offenheit bei TrainerIn“.    
2. Gehe in dieser Zeile zur Spalte „KundInnen Offenheit“.    
3. Dort steht der Pearson-Korrelationskoeffizient:    
   <<| r = 0.132 |>>    
4. Die zugehörige Signifikanz (zweiseitig) beträgt p = .007, was auf dem Niveau von 0.01 signifikant ist.    
  
## Answer  
Die korrekte Angabe ist Option D:    
<<| r = 0.132,\;p = 0.007 |>> (signifikant auf dem 1 %-Niveau)
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