Risolutore di Geometria

Risolvo questi problemi di algebra lineare (geometria lineare) passo dopo passo.

Analisi

Questi sono problemi di algebra lineare che riguardano:

• Problema 5: Rappresentazione matriciale di applicazioni lineari rispetto a diverse basi, e studio di iniettività/suriettività

• Problema 6: Autovalori, autovettori e diagonalizzazione di endomorfismi

• Problema 7: Spazi vettoriali, prodotti scalari e complementi ortogonali

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Problema 5

Dati del problema

• $\mathcal{B}_2 = \left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$ (base di $\mathbb{R}^2$)

• $\mathcal{B}_3 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$ (base di $\mathbb{R}^3$)

• $T\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2x_2 \\ 8x_1 - x_2 \\ 4x_1 + x_2 \end{pmatrix}$

Passo 1: Matrice rispetto alle basi canoniche <<| \mathcal{C}_2 |>> e <<| \mathcal{C}_3 |>>

Per trovare la matrice associata a $T$ rispetto alle basi canoniche, applico $T$ ai vettori della base canonica di $\mathbb{R}^2$:

$T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Quindi la matrice è:
$[T]_{\mathcal{C}_2}^{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 8 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$

Passo 2: Matrice rispetto alle basi <<| \mathcal{B}_2 |>> e <<| \mathcal{C}_3 |>>

Devo applicare $T$ ai vettori di $\mathcal{B}_2$:

$T\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-2(1) \\ 8(-1)-1 \\ 4(-1)+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ -3 \end{pmatrix}$

$T\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 16-0 \\ 8+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix}$

Quindi:
$[T]_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -9 & 16 \\ -3 & 8 \end{pmatrix}$

Passo 3: Matrice rispetto alle basi <<| \mathcal{B}_2 |>> e <<| \mathcal{B}_3 |>>

Devo esprimere $T(\mathbf{v}_1)$ e $T(\mathbf{v}_2)$ (dove $\mathbf{v}_i$ sono i vettori di $\mathcal{B}_2$) come combinazioni lineari dei vettori di $\mathcal{B}_3$.

Abbiamo già calcolato:

• $T\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ -3 \end{pmatrix}$

• $T\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix}$

Sia $\mathbf{w}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{w}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{w}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Per il primo vettore $\begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ -3 \end{pmatrix} = a\mathbf{w}_1 + b\mathbf{w}_2 + c\mathbf{w}_3$:

• $3b = -3 \Rightarrow b = -1$

• $b + c = -9 \Rightarrow -1 + c = -9 \Rightarrow c = -8$

• $3a + 3b = -3 \Rightarrow 3a - 3 = -3 \Rightarrow a = 0$

Per il secondo vettore $\begin{pmatrix} 2 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix} = a\mathbf{w}_1 + b\mathbf{w}_2 + c\mathbf{w}_3$:

• $3b = 2 \Rightarrow b = \frac{2}{3}$

• $b + c = 16 \Rightarrow c = 16 - \frac{2}{3} = \frac{46}{3}$

• $3a + 3b = 8 \Rightarrow 3a + 2 = 8 \Rightarrow a = 2$

Quindi:
$[T]_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_3} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & \frac{2}{3} \\ -8 & \frac{46}{3} \end{pmatrix}$

Passo 4: Iniettività e suriettività

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ è un'applicazione lineare da uno spazio di dimensione 2 a uno spazio di dimensione 3.

Iniettività: $T$ è iniettiva se e solo se $\ker(T) = \{0\}$, cioè se il rango della matrice associata è 2 (dimensione del dominio).

La matrice $[T]_{\mathcal{C}_2}^{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 8 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ ha rango 2 (le colonne sono linearmente indipendenti: $\det\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 8 & -1 \end{pmatrix} = -1 + 16 = 15 \neq 0$).

Quindi $T$ è iniettiva.

Suriettività: $T$ è suriettiva se $\text{Im}(T) = \mathbb{R}^3$, cioè se il rango è 3. Ma il rango massimo possibile è 2 (perché il dominio ha dimensione 2), quindi $\dim(\text{Im}(T)) = 2 < 3$.

Quindi $T$ non è suriettiva.

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Problema 6

Dati

$A = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 4 & -8 & 3 \end{pmatrix}$

Passo 1: Calcolo degli autovalori

Il polinomio caratteristico è $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$:

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -3-\lambda & 4 & -2 \\ 0 & -3-\lambda & 0 \\ 4 & -8 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

Sviluppando lungo la seconda riga:
$p(\lambda) = (-3-\lambda) \cdot \det\begin{pmatrix} -3-\lambda & -2 \\ 4 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

$= (-3-\lambda)[(-3-\lambda)(3-\lambda) + 8]$
$= (-3-\lambda)[-9 + 3\lambda - 3\lambda + \lambda^2 + 8]$
$= (-3-\lambda)(\lambda^2 - 1)$
$= (-3-\lambda)(\lambda - 1)(\lambda + 1)$

Gli autovalori sono: $\lambda_1 = -3, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = -1$.

Passo 2: Calcolo degli autovettori

Per $\lambda = -3$:
$A + 3I = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & -8 & 6 \end{pmatrix}$

Dal sistema:

• $4x_2 - 2x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 2x_2$

• $4x_1 - 8x_2 + 6x_3 = 0 \Rightarrow 4x_1 - 8x_2 + 12x_2 = 0 \Rightarrow 4x_1 = -4x_2 \Rightarrow x_1 = -x_2$

Autovettore: $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ (o multipli).

Per $\lambda = 1$:
$A - I = \begin{pmatrix} -4 & 4 & -2 \\ 0 & -4 & 0 \\ 4 & -8 & 2 \end{pmatrix}$

Dal sistema:

• $-4x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = 0$

• $-4x_1 - 2x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = -2x_1$

Autovettore: $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Per $\lambda = -1$:
$A + I = \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ 4 & -8 & 4 \end{pmatrix}$

Dal sistema:

• $-2x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = 0$

• $-2x_1 - 2x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = -x_1$

Autovettore: $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Passo 3: Diagonalizzabilità

Poiché abbiamo trovato 3 autovalori distinti, la matrice è diagonalizzabile.

La matrice $P$ ha per colonne gli autovettori:
$P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

La matrice diagonale $D$ è:
$D = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Verifica: $P^{-1}AP = D$.

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Problema 7

Dati

$W = \left\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \mid \begin{cases} 2x_1 + x_2 + 4x_3 = 0 \\ 4x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases} \right\}$

$V = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

$S = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Passo 1: Trovare una base per <<| W |>>

Risolvo il sistema omogeneo:

• $2x_1 + x_2 + 4x_3 = 0$

• $4x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 0$

Dalla prima: $x_2 = -2x_1 - 4x_3$

Sostituendo nella seconda:
$4x_1 - 3(-2x_1 - 4x_3) - 2x_3 = 0$
$4x_1 + 6x_1 + 12x_3 - 2x_3 = 0$
$10x_1 + 10x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_3$

Quindi $x_2 = -2(-x_3) - 4x_3 = 2x_3 - 4x_3 = -2x_3$

Base di $W$: $\mathbf{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, quindi $W = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$.

Passo 2: Complemento ortogonale <<| W_S^\perp |>> rispetto a <<| S |>>

Un vettore $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ è in $W_S^\perp$ se $\mathbf{v}^T S \mathbf{w} = 0$ per ogni $\mathbf{w} \in W$.

Calcolo $S\mathbf{w}$:
$S\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(-1) + 0 + (-2)(1) \\ 0 \\ (-2)(-1) + 0 + 1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

Quindi $\mathbf{v}^T \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$, cioè $-6x + 3z = 0 \Rightarrow z = 2x$.

$W_S^\perp = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ 2x \end{pmatrix} : x, y \in \mathbb{R} \right\} = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

Passo 3: Complemento ortogonale <<| V_S^\perp |>> rispetto a <<| S |>>

$V = \text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$ dove $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Calcolo $S\mathbf{v}_1$ e $S\mathbf{v}_2$:
$S\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 4(-1) + 0 + (-2)(2) \\ 0 \\ (-2)(-1) + 0 + 1(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$

$S\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 4(2) \\ 0 \\ (-2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$

Notiamo che $S\mathbf{v}_2 = -S\mathbf{v}_1$, quindi le condizioni sono ridondanti.

Un vettore $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in V_S^\perp$ se:
$\mathbf{u}^T S\mathbf{v}_1 = 0 \Rightarrow -8x + 4z = 0 \Rightarrow z = 2x$

Quindi $V_S^\perp = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$.

Passo 4: Complementi ortogonali rispetto al prodotto scalare euclideo

Per $W_I^\perp$: $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$ dove $\mathbf{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$-x - 2y + z = 0 \Rightarrow z = x + 2y$

$W_I^\perp = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ x+2y \end{pmatrix} \right\} = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$

Per $V_I^\perp$: deve essere ortogonale a $\mathbf{v}_1$ e $\mathbf{v}_2$.

$-x + 4y + 2z = 0$ (ortogonalità a $\mathbf{v}_1$)
$2x = 0 \Rightarrow x = 0$ (ortogonalità a $\mathbf{v}_2$)

Da $x = 0$: $4y + 2z = 0 \Rightarrow z = -2y$

$V_I^\perp = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\}$

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Risposte Finali

Problema 5

• Rispetto a $\mathcal{C}_2, \mathcal{C}_3$: $[T] = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 8 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$

• Rispetto a $\mathcal{B}_2, \mathcal{C}_3$: $[T] = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -9 & 16 \\ -3 & 8 \end{pmatrix}$

• Rispetto a $\mathcal{B}_2, \mathcal{B}_3$: $[T] = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & \frac{2}{3} \\ -8 & \frac{46}{3} \end{pmatrix}$

• $T$ è iniettiva ma non suriettiva.

Problema 6

• Autovalori: $\lambda_1 = -3, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = -1$

• Autovettori: $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

• La matrice è diagonalizzabile con:
  $P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Problema 7

• $W_S^\perp = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

• $V_S^\perp = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

• $W_I^\perp = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$

• $V_I^\perp = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\}$

Analizzo il problema dal testo fornito nell'immagine.

[Analysis]

Il problema 89 riguarda un solido composto formato da due piramidi regolari quadrangolari (a base quadrata) che condividono la stessa base, con i vertici situati da parti opposte rispetto alla base. Questo solido è noto come bipiramide o octaedoide.

Dati del problema:

• Volume totale: $V_{\text{tot}} = 29,952 \, \text{dm}^3$

• Piramide maggiore: apotema $a = 4 \, \text{dm}$, altezza $h_1 = \frac{4}{5} \cdot a$

• Le due piramidi hanno la base in comune (stesso lato di base)

Approccio:

• Calcolare l'altezza della piramide maggiore

• Usare il teorema di Pitagora per trovare il lato della base quadrata (relazione tra apotema, altezza e semi-lato)

• Calcolare il volume della piramide maggiore

• Trovare il volume della piramide minore per differenza

• Calcolare l'altezza della piramide minore

• Trovare l'apotema della piramide minore

• Calcolare l'area superficiale totale (somma delle aree laterali, escludendo la base comune interna)

Formule chiave:

• Volume piramide: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{base}} \cdot h$

• Relazione metrica: $a^2 = h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$ (dove $s$ è il lato della base)

• Area laterale piramide quadrangolare: $A_{\text{lat}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot s \cdot a = 2 \cdot s \cdot a$

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[Solution]

Passo 1: Calcolo dell'altezza della piramide maggiore

$h_1 = \frac{4}{5} \cdot a = \frac{4}{5} \cdot 4 = \frac{16}{5} = 3,2 \, \text{dm}$

Passo 2: Determinazione del lato della base quadrata

Nella piramide regolare quadrangolare, l'apotema $a$, l'altezza $h_1$ e il semi-lato $\frac{s}{2}$ formano un triangolo rettangolo. Per il teorema di Pitagora:

$a^2 = h_1^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$

$4^2 = 3,2^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$

$16 = 10,24 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$

$\left(\frac{s}{2}\right)^2 = 16 - 10,24 = 5,76$

$\frac{s}{2} = \sqrt{5,76} = 2,4 \, \text{dm}$

$s = 4,8 \, \text{dm}$

Passo 3: Calcolo dell'area della base

$A_{\text{base}} = s^2 = 4,8^2 = 23,04 \, \text{dm}^2$

Passo 4: Calcolo del volume della piramide maggiore

$V_1 = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{base}} \cdot h_1 = \frac{1}{3} \cdot 23,04 \cdot 3,2$

$V_1 = 7,68 \cdot 3,2 = 24,576 \, \text{dm}^3$

Passo 5: Calcolo del volume della piramide minore

$V_2 = V_{\text{tot}} - V_1 = 29,952 - 24,576 = 5,376 \, \text{dm}^3$

Passo 6: Calcolo dell'altezza della piramide minore

Usando la formula del volume con la stessa base:

$V_2 = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{base}} \cdot h_2$

$5,376 = \frac{1}{3} \cdot 23,04 \cdot h_2$

$5,376 = 7,68 \cdot h_2$

$h_2 = \frac{5,376}{7,68} = 0,7 \, \text{dm}$

Passo 7: Calcolo dell'apotema della piramide minore

Applicando nuovamente il teorema di Pitagora:

$a_2^2 = h_2^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$

$a_2^2 = 0,7^2 + 2,4^2 = 0,49 + 5,76 = 6,25$

$a_2 = \sqrt{6,25} = 2,5 \, \text{dm}$

Passo 8: Calcolo dell'area superficiale totale del solido composto

Il solido è formato dalle due piramidi unite per la base. La superficie totale esterna è la somma delle superfici laterali delle due piramidi (la base comune è interna e non fa parte della superficie esterna).

Area laterale piramide maggiore:
$A_{\text{lat}_1} = 2 \cdot s \cdot a = 2 \cdot 4,8 \cdot 4 = 38,4 \, \text{dm}^2$

Area laterale piramide minore:
$A_{\text{lat}_2} = 2 \cdot s \cdot a_2 = 2 \cdot 4,8 \cdot 2,5 = 24 \, \text{dm}^2$

Area superficiale totale:
<<| A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}1} + A{\text{lat}_2} = 38,4 + 24 = 62,4 \, \text{dm}^2 |>>

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[Answer]

L'area della superficie del solido composto è:

$A_{\text{superficie}} = 62,40 \, \text{dm}^2$