Risolutore di Geometria

Ecco la risoluzione dettagliata del problema di geometria analitica.

[Analisi]

Il problema richiede di trovare le equazioni delle circonferenze che soddisfano tre condizioni:

• Passano per l'origine degli assi $O(0, 0)$.

• Hanno il centro sulla retta di equazione $y = 2x$.

• Hanno raggio $r = 3\sqrt{5}$.

Approccio:

• Rappresentiamo le coordinate del centro $C(x_C, y_C)$ in funzione di un'unica incognita sfruttando l'appartenenza alla retta data.

• Imponiamo che la distanza tra il centro $C$ e l'origine $O$ sia uguale al raggio $r$ (condizione di passaggio per l'origine).

• Trovate le coordinate del centro, scriviamo l'equazione della circonferenza nella forma $(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2$.

[Soluzione]

Passaggio 1: Definizione delle coordinate del centro
Poiché il centro $C$ appartiene alla retta $y = 2x$, le sue coordinate possono essere scritte come:
$C(\alpha, 2\alpha)$
dove $\alpha$ è l'ascissa del centro.

Passaggio 2: Imposizione della condizione del raggio
La circonferenza passa per l'origine $O(0, 0)$, quindi la distanza tra il centro $C$ e l'origine deve essere pari al raggio $r$. Usiamo la formula della distanza tra due punti:
$\sqrt{(\alpha - 0)^2 + (2\alpha - 0)^2} = r$
Sostituiamo il valore del raggio $r = 3\sqrt{5}$:
$\sqrt{\alpha^2 + 4\alpha^2} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{5\alpha^2} = 3\sqrt{5}$

Passaggio 3: Risoluzione dell'equazione
Eleviamo entrambi i membri al quadrato per eliminare la radice:
$5\alpha^2 = (3\sqrt{5})^2$
$5\alpha^2 = 9 \cdot 5$
$5\alpha^2 = 45$
Dividiamo per 5:
$\alpha^2 = 9$
Quindi otteniamo due possibili valori per $\alpha$:
$\alpha_1 = 3 \quad \text{e} \quad \alpha_2 = -3$

Passaggio 4: Determinazione dei centri

• Per $\alpha_1 = 3$, il primo centro è $C_1(3, 2 \cdot 3) \implies C_1(3, 6)$.

• Per $\alpha_2 = -3$, il secondo centro è $C_2(-3, 2 \cdot (-3)) \implies C_2(-3, -6)$.

Passaggio 5: Scrittura delle equazioni delle circonferenze
Il quadrato del raggio è $r^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$.

• Prima circonferenza (centro $C_1$):
  $(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = 45$
  Espandendo i quadrati:
  $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = 45$
  $x^2 + y^2 - 6x - 12y + 45 = 45$
  $x^2 + y^2 - 6x - 12y = 0$

• Seconda circonferenza (centro $C_2$):
  $(x + 3)^2 + (y + 6)^2 = 45$
  Espandendo i quadrati:
  $x^2 + 6x + 9 + y^2 + 12y + 36 = 45$
  $x^2 + y^2 + 6x + 12y + 45 = 45$
  $x^2 + y^2 + 6x + 12y = 0$

[Risposta]

Le equazioni delle due circonferenze che soddisfano le condizioni date sono:
$x^2 + y^2 - 6x - 12y = 0$
e
$x^2 + y^2 + 6x + 12y = 0$

Ecco la risoluzione dettagliata del problema di geometria analitica.

Analisi

Il problema richiede di determinare due elementi principali:

• L'equazione della circonferenza: Conoscendo il centro $C(6; -1)$ e un punto di passaggio $P(9; 3)$, possiamo calcolare il raggio $r$ come distanza tra $C$ e $P$. L'equazione sarà della forma $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2$.

• L'equazione della retta tangente: Dobbiamo trovare il punto $T$ sulla circonferenza che ha ascissa $x = 3$ e si trova nel primo quadrante (quindi con ordinata $y > 0$). Una volta trovato $T$, useremo la proprietà per cui la retta tangente è perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza, oppure applicheremo la formula di sdoppiamento.

Soluzione

1. Calcolo del raggio e dell'equazione della circonferenza
Il raggio $r$ è la distanza tra il centro $C(6; -1)$ e il punto $P(9; 3)$. Calcoliamo il quadrato del raggio $r^2$:
$r^2 = (x_P - x_C)^2 + (y_P - y_C)^2$
$r^2 = (9 - 6)^2 + (3 - (-1))^2$
$r^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

L'equazione della circonferenza è:
$(x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 25$
Espandendo i calcoli:
$x^2 - 12x + 36 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 12x + 2y + 12 = 0$

2. Ricerca del punto di tangenza $T$
Il punto $T$ ha ascissa $x = 3$. Sostituiamo questo valore nell'equazione della circonferenza:
$(3 - 6)^2 + (y + 1)^2 = 25$
$(-3)^2 + (y + 1)^2 = 25$
$9 + (y + 1)^2 = 25$
$(y + 1)^2 = 16$
Risolvendo per $y$:
$y + 1 = \pm 4$
Abbiamo due possibili ordinate:

• $y_1 = 4 - 1 = 3$

• $y_2 = -4 - 1 = -5$

Poiché il problema specifica che il punto appartiene al I quadrante, dobbiamo avere $x > 0$ e $y > 0$. Pertanto, scegliamo $y = 3$.
Il punto di tangenza è $T(3; 3)$.

3. Equazione della retta tangente in $T(3; 3)$
Possiamo usare la formula di sdoppiamento per la circonferenza $(x - x_C)(x_0 - x_C) + (y - y_C)(y_0 - y_C) = r^2$, dove $(x_0; y_0)$ sono le coordinate di $T$:
$(x - 6)(3 - 6) + (y + 1)(3 + 1) = 25$
$(x - 6)(-3) + (y + 1)(4) = 25$
$-3x + 18 + 4y + 4 = 25$
$-3x + 4y + 22 - 25 = 0$
$-3x + 4y - 3 = 0$
Moltiplicando per $-1$ per renderla più elegante:
$3x - 4y + 3 = 0$

In alternativa, calcolando il coefficiente angolare del raggio $CT$:
$m_{CT} = \frac{y_T - y_C}{x_T - x_C} = \frac{3 - (-1)}{3 - 6} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$
La retta tangente, essendo perpendicolare, avrà coefficiente angolare $m_t = -\frac{1}{m_{CT}} = \frac{3}{4}$.
L'equazione è: $y - 3 = \frac{3}{4}(x - 3) \Rightarrow 4y - 12 = 3x - 9 \Rightarrow 3x - 4y + 3 = 0$.

Risposta

L'equazione della circonferenza è:
$x^2 + y^2 - 12x + 2y + 12 = 0$

L'equazione della retta tangente nel punto di ascissa 3 del primo quadrante è:
$3x - 4y + 3 = 0$

Analisi

Il problema richiede di determinare l'equazione di una circonferenza e di una sua retta tangente specifica. I passaggi principali sono:

• Trovare l'equazione della circonferenza: Utilizzeremo le coordinate del centro $C(6; -1)$ e il punto di passaggio $P(9; 3)$. Il raggio $r$ è pari alla distanza tra $C$ e $P$. La formula della circonferenza è $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2$.

• Trovare il punto di tangenza: Sapendo che l'ascissa del punto è $x = 3$ e che esso appartiene al primo quadrante (quindi $y > 0$), sostituiremo $x$ nell'equazione della circonferenza per trovare l'ordinata corrispondente.

• Trovare l'equazione della retta tangente: Utilizzeremo la proprietà per cui la tangente è perpendicolare al raggio nel punto di contatto, oppure applicheremo le formule di sdoppiamento.

Soluzione

Passaggio 1: Calcolo del raggio della circonferenza
Il raggio $r$ è la distanza tra il centro $C(6; -1)$ e il punto $P(9; 3)$. Calcoliamo il quadrato del raggio $r^2$:
$r^2 = (x_P - x_C)^2 + (y_P - y_C)^2$
$r^2 = (9 - 6)^2 + (3 - (-1))^2$
$r^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Passaggio 2: Scrittura dell'equazione della circonferenza
Sostituiamo le coordinate del centro $C(6; -1)$ e il valore di $r^2$ nella formula canonica:
$(x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 25$
Sviluppiamo i quadrati per ottenere la forma generale:
$x^2 - 12x + 36 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 12x + 2y + 37 - 25 = 0$
$x^2 + y^2 - 12x + 2y + 12 = 0$

Passaggio 3: Individuazione del punto di tangenza $Q$
Il punto $Q$ ha ascissa $x = 3$. Sostituiamo questo valore nell'equazione della circonferenza:
$(3 - 6)^2 + (y + 1)^2 = 25$
$(-3)^2 + (y + 1)^2 = 25$
$9 + (y + 1)^2 = 25$
$(y + 1)^2 = 16$
Da cui:
$y + 1 = \pm 4$
Abbiamo due soluzioni:

• $y + 1 = 4 \implies y = 3$

• $y + 1 = -4 \implies y = -5$
  Poiché il problema specifica che il punto appartiene al primo quadrante (dove $x > 0$ e $y > 0$), scegliamo $y = 3$. Il punto di tangenza è dunque $Q(3; 3)$.

Passaggio 4: Calcolo dell'equazione della retta tangente
La retta tangente in $Q$ è perpendicolare al raggio $CQ$. Calcoliamo il coefficiente angolare del raggio $m_{CQ}$:
$m_{CQ} = \frac{y_Q - y_C}{x_Q - x_C} = \frac{3 - (-1)}{3 - 6} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$
Il coefficiente angolare della tangente $m_t$ è l'antireciproco:
$m_t = -\frac{1}{m_{CQ}} = \frac{3}{4}$
L'equazione della retta passante per $Q(3; 3)$ con pendenza $m_t = \frac{3}{4}$ è:
$y - 3 = \frac{3}{4}(x - 3)$
Moltiplichiamo per 4 per eliminare la frazione:
$4y - 12 = 3x - 9$
Portiamo tutto in forma implicita:
$3x - 4y + 3 = 0$

Risposta

L'equazione della circonferenza è:
$x^2 + y^2 - 12x + 2y + 12 = 0$

L'equazione della retta tangente nel punto di ascissa 3 del primo quadrante è:
$3x - 4y + 3 = 0$

Analisi

Il problema appartiene alla geometria euclidea del piano, in particolare riguarda le proprietà delle circonferenze e delle rette tangenti. Per dimostrare la congruenza dei triangoli $OAM$ e $OBM$, utilizzeremo i seguenti concetti e teoremi:

• Proprietà della tangente: Il raggio di una circonferenza condotto nel punto di tangenza è sempre perpendicolare alla retta tangente in quel punto.

• Definizione di raggio: Tutti i segmenti che uniscono il centro di una circonferenza con i punti della sua circonferenza sono congruenti tra loro.

• Criteri di congruenza dei triangoli: In particolare, il criterio applicabile ai triangoli rettangoli (congruenza di ipotenusa e un cateto) o il terzo criterio di congruenza (SSS).

L'obiettivo è dimostrare che i due triangoli hanno i tre lati rispettivamente congruenti o che sono due triangoli rettangoli con elementi corrispondenti uguali.

Soluzione

1. Definizione degli elementi geometrici
Siano $C$ e $C_1$ le due circonferenze concentriche con centro in $O$. I loro raggi sono rispettivamente $OM$ e $ON$. Dalla traccia, si deduce che la circonferenza minore è $C$ (poiché la tangente viene condotta da $M$ alla circonferenza minore, e $OM$ è il raggio di $C$).

• Il punto $M$ appartiene alla circonferenza minore $C$.

• La retta tangente alla circonferenza minore nel punto $M$ interseca la circonferenza maggiore $C_1$ nei punti $A$ e $B$.

2. Applicazione della proprietà di perpendicolarità
Per il teorema della retta tangente a una circonferenza, il raggio $OM$ è perpendicolare alla retta tangente $AB$ nel punto di contatto $M$.
Scriviamo quindi:
$OM \perp AB$

3. Caratterizzazione dei triangoli $OAM$ e $OBM$
Poiché $OM$ è perpendicolare alla corda $AB$, gli angoli formati nel punto $M$ sono angoli retti:
$\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$
Questo implica che i triangoli $OAM$ e $OBM$ sono triangoli rettangoli con l'angolo retto in $M$.

4. Confronto degli elementi dei triangoli
Consideriamo i triangoli rettangoli $OAM$ e $OBM$:

• Ipotenuse: I segmenti $OA$ e $OB$ sono raggi della stessa circonferenza maggiore $C_1$ (poiché $A$ e $B$ appartengono a $C_1$). Di conseguenza:
  $OA = OB$

• Cateto comune: Il segmento $OM$ è un lato (cateto) comune a entrambi i triangoli.
  $OM = OM$

5. Dimostrazione della congruenza
I due triangoli rettangoli hanno l'ipotenusa e un cateto rispettivamente congruenti. Per il criterio particolare di congruenza dei triangoli rettangoli, i due triangoli sono congruenti.

In alternativa, possiamo utilizzare il Teorema di Pitagora per dimostrare che anche i terzi lati sono uguali:
$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2}$
$BM = \sqrt{OB^2 - OM^2}$
Poiché $OA = OB$, allora:
$AM = BM$
Avendo tutti i lati corrispondenti congruenti ($OA = OB$, $OM = OM$, $AM = BM$), i triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza.

Risposta

I triangoli $OAM$ e $OBM$ sono congruenti perché sono triangoli rettangoli che hanno le ipotenuse congruenti (essendo raggi della circonferenza maggiore $OA = OB$) e un cateto in comune (il raggio della circonferenza minore $OM$).

$\triangle OAM \cong \triangle OBM$