물리 문제 해결기

제시된 문제는 지표면에서 던져진 공의 운동을 분석하는 전형적인 포물선 운동 문제입니다. 특정 높이에서의 속도 벡터가 주어졌으므로, 이를 바탕으로 초기 발사 속도를 구하고 운동의 특성들을 계산할 수 있습니다.

[Analysis]

이 문제는 포물선 운동(Projectile Motion) 문제입니다. 공의 가속도는 중력 가속도 g = 9.80 \text{ \frac{m}{s}}^2 (연직 아래 방향)뿐이라고 가정합니다.

1. 주요 원리:

• 수평 방향($\hat{i}$): 가속도가 없으므로 등속 직선 운동을 합니다. 즉, 어느 지점에서나 수평 속도 $v_x$는 일정합니다.

• 수직 방향($\hat{j}$): 중력에 의한 등가속도 직선 운동을 합니다.

2. 사용될 공식:

• 수직 방향 속도와 변위의 관계: $v_y^2 = v_{y0}^2 - 2g(y - y_0)$

• 최대 높이($H$): 수직 속도 $v_y = 0$인 지점.

• 수평 도달 거리($R$): 공이 다시 지면에 닿을 때까지 이동한 수평 거리.

• 속도의 크기와 각도: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right)$

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[Solution]

단계 1: 초기 수직 속도 $v_{y0}$ 구하기
지표면($y_0 = 0$)에서 던져진 공이 $y_1 = 10.5 \text{ m}$ 높이에 도달했을 때의 수직 속도가 v_{y1} = 6.10 \text{ \frac{m}{s}}입니다.
등가속도 운동 공식을 사용하면:
$v_{y1}^2 = v_{y0}^2 - 2gy_1$
$(6.10)^2 = v_{y0}^2 - 2(9.80)(10.5)$
$37.21 = v_{y0}^2 - 205.8$
$v_{y0}^2 = 243.01$
v_{y0} = \sqrt{243.01} \approx 15.59 \text{ \frac{m}{s}}

따라서 초기 속도 벡터는 \vec{v}_0 = (7.60\hat{i} + 15.59\hat{j}) \text{ \frac{m}{s}}입니다.

(a) 공이 도달할 수 있는 최대 높이 $H$
최대 높이에서는 수직 속도 $v_y = 0$이 됩니다.
$0 = v_{y0}^2 - 2gH$
$H = \frac{v_{y0}^2}{2g} = \frac{243.01}{2 \times 9.80} = \frac{243.01}{19.6} \approx 12.398 \text{ m}$
유효숫자 3자리로 나타내면 **$12.4 \text{ m}$**입니다.

(b) 수평 도달 거리 $R$
먼저 공이 지면에 도달할 때까지 걸린 전체 시간 $T$를 구합니다. 지표면에서 던져져 다시 지표면으로 돌아오므로 변위 $y = 0$입니다.
$y = v_{y0}T - \frac{1}{2}gT^2 = 0$
$T = \frac{2v_{y0}}{g} = \frac{2 \times 15.5887}{9.80} \approx 3.181 \text{ s}$
수평 도달 거리는 수평 속도와 시간의 곱입니다.
$R = v_x \times T = 7.60 \times 3.181 \approx 24.178 \text{ m}$
유효숫자 3자리로 나타내면 **$24.2 \text{ m}$**입니다.

(c) 지표면에 부딪치기 직전 속도의 크기 $v_f$
공이 다시 지면으로 돌아올 때, 수평 속도는 일정하고 수직 속도는 방향만 반대가 됩니다.

• 수평 속도: v_x = 7.60 \text{ \frac{m}{s}}

• 수직 속도: v_{yf} = -v_{y0} = -15.59 \text{ \frac{m}{s}}
  속도의 크기는 다음과 같습니다.
  v_f = \sqrt{v_x^2 + v_{yf}^2} = \sqrt{7.60^2 + (-15.59)^2} = \sqrt{57.76 + 243.01} = \sqrt{300.77} \approx 17.34 \text{ \frac{m}{s}}
  유효숫자 3자리로 나타내면 **17.3 \text{ \frac{m}{s}}**입니다.

(d) 지표면에 부딪치기 직전의 각도 $\theta$ (수평면 아래 방향)
수평면 아래로 이루는 각도 $\theta$는 다음과 같이 구합니다.
$\tan \theta = \frac{|v_{yf}|}{v_x} = \frac{15.59}{7.60} \approx 2.051$
$\theta = \tan^{-1}(2.051) \approx 64.009^\circ$
유효숫자 3자리로 나타내면 **$64.0^\circ$**입니다.

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[Answer]

(a) 최대 높이: $12.4 \text{ m}$
(b) 수평 도달 거리: $24.2 \text{ m}$
(c) 속도의 크기: 17.3 \text{ \frac{m}{s}}
(d) 각도 (수평면 아래 방향): $64.0^\circ$