물리 문제 해결기

제시된 문제는 지표면에서 던져진 공의 운동을 분석하는 전형적인 포물선 운동 문제입니다. 특정 높이에서의 속도 벡터가 주어졌으므로, 이를 바탕으로 초기 발사 속도를 구하고 운동의 특성들을 계산할 수 있습니다.

[Analysis]

이 문제는 포물선 운동(Projectile Motion) 문제입니다. 공의 가속도는 중력 가속도 g = 9.80 \text{ \frac{m}{s}}^2 (연직 아래 방향)뿐이라고 가정합니다.

1. 주요 원리:

• 수평 방향($\hat{i}$): 가속도가 없으므로 등속 직선 운동을 합니다. 즉, 어느 지점에서나 수평 속도 $v_x$는 일정합니다.

• 수직 방향($\hat{j}$): 중력에 의한 등가속도 직선 운동을 합니다.

2. 사용될 공식:

• 수직 방향 속도와 변위의 관계: $v_y^2 = v_{y0}^2 - 2g(y - y_0)$

• 최대 높이($H$): 수직 속도 $v_y = 0$인 지점.

• 수평 도달 거리($R$): 공이 다시 지면에 닿을 때까지 이동한 수평 거리.

• 속도의 크기와 각도: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right)$

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[Solution]

단계 1: 초기 수직 속도 $v_{y0}$ 구하기
지표면($y_0 = 0$)에서 던져진 공이 $y_1 = 10.5 \text{ m}$ 높이에 도달했을 때의 수직 속도가 v_{y1} = 6.10 \text{ \frac{m}{s}}입니다.
등가속도 운동 공식을 사용하면:
$v_{y1}^2 = v_{y0}^2 - 2gy_1$
$(6.10)^2 = v_{y0}^2 - 2(9.80)(10.5)$
$37.21 = v_{y0}^2 - 205.8$
$v_{y0}^2 = 243.01$
v_{y0} = \sqrt{243.01} \approx 15.59 \text{ \frac{m}{s}}

따라서 초기 속도 벡터는 \vec{v}_0 = (7.60\hat{i} + 15.59\hat{j}) \text{ \frac{m}{s}}입니다.

(a) 공이 도달할 수 있는 최대 높이 $H$
최대 높이에서는 수직 속도 $v_y = 0$이 됩니다.
$0 = v_{y0}^2 - 2gH$
$H = \frac{v_{y0}^2}{2g} = \frac{243.01}{2 \times 9.80} = \frac{243.01}{19.6} \approx 12.398 \text{ m}$
유효숫자 3자리로 나타내면 **$12.4 \text{ m}$**입니다.

(b) 수평 도달 거리 $R$
먼저 공이 지면에 도달할 때까지 걸린 전체 시간 $T$를 구합니다. 지표면에서 던져져 다시 지표면으로 돌아오므로 변위 $y = 0$입니다.
$y = v_{y0}T - \frac{1}{2}gT^2 = 0$
$T = \frac{2v_{y0}}{g} = \frac{2 \times 15.5887}{9.80} \approx 3.181 \text{ s}$
수평 도달 거리는 수평 속도와 시간의 곱입니다.
$R = v_x \times T = 7.60 \times 3.181 \approx 24.178 \text{ m}$
유효숫자 3자리로 나타내면 **$24.2 \text{ m}$**입니다.

(c) 지표면에 부딪치기 직전 속도의 크기 $v_f$
공이 다시 지면으로 돌아올 때, 수평 속도는 일정하고 수직 속도는 방향만 반대가 됩니다.

• 수평 속도: v_x = 7.60 \text{ \frac{m}{s}}

• 수직 속도: v_{yf} = -v_{y0} = -15.59 \text{ \frac{m}{s}}
  속도의 크기는 다음과 같습니다.
  v_f = \sqrt{v_x^2 + v_{yf}^2} = \sqrt{7.60^2 + (-15.59)^2} = \sqrt{57.76 + 243.01} = \sqrt{300.77} \approx 17.34 \text{ \frac{m}{s}}
  유효숫자 3자리로 나타내면 **17.3 \text{ \frac{m}{s}}**입니다.

(d) 지표면에 부딪치기 직전의 각도 $\theta$ (수평면 아래 방향)
수평면 아래로 이루는 각도 $\theta$는 다음과 같이 구합니다.
$\tan \theta = \frac{|v_{yf}|}{v_x} = \frac{15.59}{7.60} \approx 2.051$
$\theta = \tan^{-1}(2.051) \approx 64.009^\circ$
유효숫자 3자리로 나타내면 **$64.0^\circ$**입니다.

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[Answer]

(a) 최대 높이: $12.4 \text{ m}$
(b) 수평 도달 거리: $24.2 \text{ m}$
(c) 속도의 크기: 17.3 \text{ \frac{m}{s}}
(d) 각도 (수평면 아래 방향): $64.0^\circ$

[Analysis]

이 문제는 회전 운동(rotational) 요소와 병진 운동(translational) 요소가 기어 및 랙-피니언(rack-and-pinion) 기구로 결합된 복합 시스템의 전달 함수 $G(s) = X(s)/T(s)$를 구하는 문제입니다.

해결 방법은 다음과 같습니다:

• 변위 관계 파악: 각 축의 기어비($N_1, N_2, N_3, N_4$)와 피니언의 반지름($r$)을 이용하여 입력 축의 회전각 $\theta_1$과 출력부의 직선 변위 $x$ 사이의 관계를 설정합니다.

• 임피던스 환산: 시스템의 모든 물리적 파라미터(관성 $J$, 감쇠 $D$, 질량 $M$, 스프링 상수 $K$)를 입력 토크 $T(t)$가 작용하는 입력 축(Shaft 1)으로 환산하여 하나의 등가 시스템으로 통합합니다.

• 전달 함수 도출: 라플라스 변환된 임피던스 방정식을 세우고, 변위 관계식을 대입하여 $X(s)/T(s)$를 계산합니다.

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[Solution]

1단계: 변위 간의 관계식 유도
입력 축의 회전각을 $\theta_1$, 중간 축의 회전각을 $\theta_2$, 출력 피니언 축의 회전각을 $\theta_3$라고 하면, 기어비에 의해 다음과 같은 관계가 성립합니다.

• Shaft 1과 Shaft 2 사이: $\theta_2 = \theta_1 \cdot \frac{N_1}{N_2} = \theta_1 \cdot \frac{10}{20} = 0.5 \theta_1$

• Shaft 2와 Shaft 3 사이: $\theta_3 = \theta_2 \cdot \frac{N_3}{N_4} = \theta_2 \cdot \frac{30}{60} = 0.5 \theta_2 = 0.25 \theta_1$

• 랙의 변위 $x$와 피니언(반지름 $r = 2 \text{ m}$)의 관계 ("Ideal gear 1:1"은 추가적인 비율 변화가 없음을 의미):
  $x = r \theta_3 = 2 \theta_3$
  따라서 $x$와 $\theta_1$의 관계는 다음과 같습니다.
  $x = 2 (0.25 \theta_1) = 0.5 \theta_1 \implies \theta_1 = 2x$ --- (식 1)

2단계: 모든 요소를 입력 축(Shaft 1)으로 환산
각 부분의 임피던스를 입력 축으로 환산하여 등가 임피던스 $Z_{eq}(s)$를 구합니다.

• 병진 운동부(랙)를 Shaft 3로 환산:
  $Z_{3,trans}(s) = (M s^2 + f_v s + K) r^2 = (2 s^2 + 2 s + 3) \cdot 2^2 = 8 s^2 + 8 s + 12$

• Shaft 3의 전체 임피던스 (자체 관성 $J = 3$, 감쇠 $D = 1$ 포함):
  $Z_3(s) = (3 s^2 + 1 s) + (8 s^2 + 8 s + 12) = 11 s^2 + 9 s + 12$

• Shaft 3의 임피던스를 Shaft 2로 환산:
  $Z_{2,ref}(s) = Z_3(s) \cdot \left( \frac{N_3}{N_4} \right)^2 = (11 s^2 + 9 s + 12) \cdot (0.5)^2 = 2.75 s^2 + 2.25 s + 3$

• Shaft 2의 전체 임피던스 (자체 감쇠 $D_2 = 1$ 포함):
  $Z_2(s) = D_2 s + Z_{2,ref}(s) = 1 s + 2.75 s^2 + 2.25 s + 3 = 2.75 s^2 + 3.25 s + 3$

• Shaft 2의 임피던스를 Shaft 1로 환산:
  $Z_{1,ref}(s) = Z_2(s) \cdot \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 = (2.75 s^2 + 3.25 s + 3) \cdot (0.5)^2 = 0.6875 s^2 + 0.8125 s + 0.75$

• 최종 Shaft 1 등가 임피던스 (자체 관성 $J_1 = 3$ 포함):
  $Z_{eq}(s) = J_1 s^2 + Z_{1,ref}(s) = 3 s^2 + 0.6875 s^2 + 0.8125 s + 0.75 = 3.6875 s^2 + 0.8125 s + 0.75$

3단계: 전달 함수 계산
입력 축에서의 운동 방정식은 $Z_{eq}(s) \Theta_1(s) = T(s)$입니다. (식 1)에서 $\Theta_1(s) = 2 X(s)$를 대입하면:
$(3.6875 s^2 + 0.8125 s + 0.75) \cdot 2 X(s) = T(s)$
$(7.375 s^2 + 1.625 s + 1.5) X(s) = T(s)$
따라서 전달 함수 $G(s)$는 다음과 같습니다.
$G(s) = \frac{X(s)}{T(s)} = \frac{1}{7.375 s^2 + 1.625 s + 1.5}$
분모와 분자에 8을 곱하여 계수를 정수로 정리하면:
$G(s) = \frac{8}{59 s^2 + 13 s + 12}$

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[Answer]

$G(s) = \frac{8}{59 s^2 + 13 s + 12}$

이 문제는 회전 운동 성분과 병진 운동 성분이 기어 및 래크와 피니언(rack and pinion)으로 결합된 복합 기계 시스템의 전달 함수 $G(s) = \frac{X(s)}{T(s)}$를 구하는 문제입니다.

[Analysis]

1. 시스템 분석:

• 샤프트 1 (입력): 토크 $T(t)$가 가해지며, 관성 $J_1 = 3 \, \text{kg - m}^2$과 기어 $N_1 = 10$이 있습니다.

• 샤프트 2 (중간): 기어 $N_2 = 20$과 $N_3 = 30$, 그리고 회전 댐퍼 D_2 = 1 \, \text{N - m-\frac{s}{rad}}가 있습니다.

• 샤프트 3 (출력측 회전): 기어 $N_4 = 60$, 관성 $J_3 = 3 \, \text{kg - m}^2$, 회전 댐퍼 D_3 = 1 \, \text{N - m-\frac{s}{rad}}, 그리고 반경 $r = 2 \, \text{m}$인 피니언이 있습니다.

• 병진 운동 부분: 질량 $M = 2 \, \text{kg}$, 댐퍼 f_v = 2 \, \text{N-\frac{s}{m}}, 스프링 K = 3 \, \text{\frac{N}{m}}이 결합되어 변위 $x(t)$로 운동합니다.

2. 해결 전략:

• 모든 부하(임피던스)를 입력 토크가 있는 샤프트 1로 환산하여 등가 시스템을 구성합니다.

• 기어비 환산 원리: 부하측 임피던스 $Z_L$을 소스측으로 환산할 때, $Z_{reflected} = Z_L \times \left( \frac{N_{source}}{N_{load}} \right)^2$를 사용합니다.

• 병진-회전 환산 원리: 반경 $r$인 피니언에 연결된 병진 임피던스를 회전 임피던스로 환산하면 $J_{eq} = M r^2$, $D_{eq} = f_v r^2$, $K_{eq} = K r^2$이 됩니다.

• 최종 등가 회전 시스템의 운동 방정식을 세우고 라플라스 변환을 통해 전달 함수를 도출합니다.

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[Solution]

Step 1: 병진 운동 성분을 샤프트 3의 회전 성분으로 환산
병진 부하 $M, f_v, K$를 피니언 반경 $r = 2 \, \text{m}$를 이용하여 샤프트 3의 회전 임피던스로 변환합니다.

• 질량에 의한 등가 관성: $J_{trans,3} = M r^2 = 2 \times 2^2 = 8 \, \text{kg - m}^2$

• 댐퍼에 의한 등가 회전 댐핑: D_{trans,3} = f_v r^2 = 2 \times 2^2 = 8 \, \text{N - m-\frac{s}{rad}}

• 스프링에 의한 등가 회전 강성: K_{trans,3} = K r^2 = 3 \times 2^2 = 12 \, \text{N-\frac{m}{rad}}

Step 2: 샤프트 3의 전체 임피던스 계산
샤프트 3 자체의 관성 $J_3$ 및 댐퍼 $D_3$와 Step 1에서 구한 성분을 합산합니다.

• $J_{total,3} = J_3 + J_{trans,3} = 3 + 8 = 11 \, \text{kg - m}^2$

• D_{total,3} = D_3 + D_{trans,3} = 1 + 8 = 9 \, \text{N - m-\frac{s}{rad}}

• K_{total,3} = 12 \, \text{N-\frac{m}{rad}}

• 샤프트 3의 임피던스 식: $Z_3(s) = 11 s^2 + 9 s + 12$

Step 3: 샤프트 3의 임피던스를 샤프트 2로 환산
샤프트 2와 3 사이의 기어비는 $\frac{N_3}{N_4} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$입니다.

• $Z_{3 \to 2}(s) = Z_3(s) \times \left( \frac{30}{60} \right)^2 = (11 s^2 + 9 s + 12) \times \frac{1}{4} = 2.75 s^2 + 2.25 s + 3$

Step 4: 샤프트 2의 전체 임피던스 계산
샤프트 2 자체의 댐퍼 $D_2 = 1$을 포함합니다.

• $Z_2(s) = Z_{3 \to 2}(s) + D_2 s = 2.75 s^2 + (2.25 + 1) s + 3 = 2.75 s^2 + 3.25 s + 3$

Step 5: 샤프트 2의 임피던스를 샤프트 1로 환산
샤프트 1과 2 사이의 기어비는 $\frac{N_1}{N_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$입니다.

• $Z_{2 \to 1}(s) = Z_2(s) \times \left( \frac{10}{20} \right)^2 = (2.75 s^2 + 3.25 s + 3) \times \frac{1}{4} = 0.6875 s^2 + 0.8125 s + 0.75$

Step 6: 샤프트 1의 최종 등가 임피던스 및 운동 방정식
샤프트 1 자체의 관성 $J_1 = 3$을 합산하여 전체 등가 임피던스 $Z_{eq}(s)$를 구합니다.

• $Z_{eq}(s) = J_1 s^2 + Z_{2 \to 1}(s) = 3 s^2 + 0.6875 s^2 + 0.8125 s + 0.75 = 3.6875 s^2 + 0.8125 s + 0.75$

• 운동 방정식: $T(s) = Z_{eq}(s) \Theta_1(s)$

Step 7: 변위 $X(s)$와 $\Theta_1(s)$의 관계 도출

• 샤프트 1과 샤프트 3의 각도 관계: $\Theta_3(s) = \Theta_1(s) \times \frac{N_1}{N_2} \times \frac{N_3}{N_4} = \Theta_1(s) \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Theta_1(s)$

• 샤프트 3와 병진 변위의 관계: $X(s) = r \Theta_3(s) = 2 \times \frac{1}{4} \Theta_1(s) = \frac{1}{2} \Theta_1(s)$

• 따라서, $\Theta_1(s) = 2 X(s)$ 입니다.

Step 8: 전달 함수 $G(s) = X(s)/T(s)$ 계산
Step 6의 방정식에 Step 7의 관계식을 대입합니다.

• $T(s) = (3.6875 s^2 + 0.8125 s + 0.75) \times 2 X(s)$

• $T(s) = (7.375 s^2 + 1.625 s + 1.5) X(s)$

• $G(s) = \frac{X(s)}{T(s)} = \frac{1}{7.375 s^2 + 1.625 s + 1.5}$
  분자와 분모에 8을 곱하여 정수 계수로 정리하면:

• $G(s) = \frac{8}{59 s^2 + 13 s + 12}$

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[Answer]

최종 전달 함수는 다음과 같습니다.
$G(s) = \frac{X(s)}{T(s)} = \frac{8}{59 s^2 + 13 s + 12}$

[Analysis]

16번 문제는 자유 낙하 하는 물체의 높이에 따른 속력의 비를 구하는 문제입니다. 공기 저항이 없을 때 물체의 역학적 에너지는 보존되므로, 각 지점에서의 위치 에너지와 운동 에너지의 합이 일정하다는 원리를 이용하거나 등가속도 직선 운동 공식을 사용하여 풀이할 수 있습니다.

17번 문제는 마찰이 없는 곡면을 따라 운동하는 물체의 역학적 에너지 보존에 관한 문제입니다. 세 지점 A, B, C에서의 총 역학적 에너지가 모두 같다는 점을 이용하여, 먼저 알려진 정보가 많은 A와 C 지점을 비교해 물리량 사이의 관계식을 구한 뒤 지점 B에서의 속력을 계산합니다.

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[Solution]

16번 풀이

Step 1: 물체를 높이 $h$인 곳에서 자유 낙하시키면 초기 속도는 0입니다. 지면을 기준면으로 할 때, 처음 위치에서의 역학적 에너지는 위치 에너지 $mgh$와 같습니다.

Step 2: 높이가 $\frac{h}{2}$인 지점에서의 속력을 $v_1$이라 하면, 역학적 에너지 보존 법칙에 의해 다음 식이 성립합니다.
$mgh = mg \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2}mv_1^2$
위 식을 정리하면 $\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mgh$ 이므로, $v_1^2 = gh$ 가 되어 $v_1 = \sqrt{gh}$ 입니다.

Step 3: 지면에 닿기 직전의 높이는 0이므로 위치 에너지는 0이 되고 모든 에너지는 운동 에너지로 전환됩니다. 이때의 속력을 $v_2$라 하면 다음 식이 성립합니다.
$mgh = \frac{1}{2}mv_2^2$
따라서 $v_2^2 = 2gh$ 가 되어 $v_2 = \sqrt{2gh}$ 입니다.

Step 4: 두 속력의 비 $v_1 : v_2$를 구합니다.
$v_1 : v_2 = \sqrt{gh} : \sqrt{2gh} = 1 : \sqrt{2}$

17번 풀이

Step 1: 마찰과 공기 저항이 없으므로 물체의 역학적 에너지는 보존됩니다. 지면의 높이를 0으로 설정합니다.

Step 2: 지점 A와 지점 C에서의 역학적 에너지가 같음을 이용하여 식을 세웁니다.
지점 A에서의 에너지: $E_A = mg \cdot 3h + \frac{1}{2}mv^2$
지점 C에서의 에너지: $E_C = mg \cdot 2h + \frac{1}{2}m \cdot \{ 2v \}^2 = 2mgh + 2mv^2$
$E_A = E_C$ 이므로,
$3mgh + \frac{1}{2}mv^2 = 2mgh + 2mv^2$
이 식을 정리하면 $mgh = \frac{3}{2}mv^2$ 라는 관계식을 얻을 수 있습니다.

Step 3: 지점 B에서의 속력을 $v_B$라 할 때, 지점 B는 지면이므로 위치 에너지는 0입니다. 지점 A와 지점 B의 역학적 에너지가 같음을 이용합니다.
$E_B = \frac{1}{2}mv_B^2$
$E_B = E_A$ 이므로,
$\frac{1}{2}mv_B^2 = 3mgh + \frac{1}{2}mv^2$

Step 4: Step 2에서 구한 $mgh = \frac{3}{2}mv^2$를 위 식에 대입합니다.
$\frac{1}{2}mv_B^2 = 3 \cdot \frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{9}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = 5mv^2$
양변에서 $m$을 나누고 2를 곱하면,
$v_B^2 = 10v^2$
따라서 $v_B = \sqrt{10}v$ 입니다.

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[Answer]

16번: $1 : \sqrt{2}$ 정답은 2번입니다.

17번: $\sqrt{10}v$ 정답은 4번입니다.