Geometrie-Löser

Analyse

Das vorliegende Problem befasst sich mit der Geometrie von sich berührenden Kreisen innerhalb eines größeren Kreises, eine Konfiguration, die oft als Arbelos (Schustermesser) bezeichnet wird.

Gegebene Informationen:

• Ein kleinerer Kreis mit Radius $r_1 = 4 \, \text{cm}$.

• Ein mittlerer Kreis mit Radius $r_2 = 9 \, \text{cm}$.

• Diese beiden Kreise liegen nebeneinander auf dem Durchmesser eines großen umschließenden Kreises.

• Der Radius des großen Kreises $R$ entspricht der Summe der Radien der beiden inneren Kreise: $R = r_1 + r_2 = 4 + 9 = 13 \, \text{cm}$.

• Gesucht ist die Fläche des (rot markierten) Kreises, der tangential zu den beiden inneren Kreisen und dem äußeren Kreis liegt.

Ansatz:
Wir verwenden den Satz von Descartes für vier sich gegenseitig berührende Kreise oder lösen ein Gleichungssystem basierend auf den Abständen der Mittelpunkte. In einem Arbelos ist der Radius $r$ des inneren Kreises, der alle drei Bögen berührt, durch folgende Formel gegeben:
$r = \frac{r_1 \cdot r_2 \cdot (r_1 + r_2)}{r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2}$

Alternativ lässt sich dies über den Satz des Pythagoras herleiten, indem man die Abstände der Mittelpunkte in einem Koordinatensystem betrachtet.

Lösung

Schritt 1: Bestimmung des Radius des markierten Kreises
Wir setzen die gegebenen Werte $r_1 = 4$ und $r_2 = 9$ in die Formel für den Inkreis eines Arbelos ein:

• Berechnung des Zählers:
  $Zähler = r_1 \cdot r_2 \cdot (r_1 + r_2) = 4 \cdot 9 \cdot (4 + 9) = 36 \cdot 13 = 468$

• Berechnung des Nenners:
  $Nenner = r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2 = 4^2 + (4 \cdot 9) + 9^2 = 16 + 36 + 81 = 133$

• Berechnung des Radius $r$:
  $r = \frac{468}{133} \approx 3,5188 \, \text{cm}$

Schritt 2: Berechnung der Kreisfläche
Die Formel für die Fläche eines Kreises lautet $A = \pi \cdot r^2$.

• Einsetzen des Radius:
  $A = \pi \cdot \left( \frac{468}{133} \right)^2$

• Quadrieren des Bruchs:
  $\left( \frac{468}{133} \right)^2 = \frac{219024}{17689} \approx 12,3819$

• Multiplikation mit $\pi$:
  $A \approx 3,14159 \cdot 12,3819 \approx 38,9003 \, \text{cm}^2$

Schritt 3: Rundung auf eine Kommastelle
Das Ergebnis soll auf eine Dezimalstelle genau angegeben werden.
$A \approx 38,9 \, \text{cm}^2$

Antwort

Die Fläche des rot markierten Kreises beträgt:
$A \approx 38,9 \, \text{cm}^2$