Physik-Löser

Analyse

Bei der vorliegenden Aufgabe handelt es sich um eine Fragestellung aus der Bauleitplanung und der Siedlungswasserwirtschaft.

Teil 2 (Bauleitplanung):
Hierbei geht es um die Flächenbilanzierung eines Neubaugebiets. Basierend auf einer Identifikationsnummer (HZ) werden verschiedene Planungsparameter ermittelt.

• Flächenbilanz: Die Gesamtfläche des Neubaugebiets $A_{NBG}$ setzt sich aus der Grundstücksfläche $A_{GR}$, der Verkehrsfläche $A_{VF,abs}$ und der öffentlichen Fläche $A_{ÖF}$ zusammen: $A_{NBG} = A_{GR} + A_{VF,abs} + A_{ÖF}$.
• Bebauungsdichte: Die überbaute Fläche $A_{ÜF}$ ergibt sich aus der Grundflächenzahl $GRZ$. Die Geschossfläche $A_{GF}$ wird über die Anzahl der Vollgeschosse $n_{VG}$ berechnet.
• Einwohnerberechnung: Die Anzahl der Einwohner $E$ wird über die Bewohnungsziffer $BZ$ bezogen auf die Grundstücksfläche ermittelt. Die Einwohnerdichte $ED$ bezieht sich auf die Gesamtfläche.

Teil 3 (Entwässerungsverfahren):
Es werden die grundlegenden Systeme der Stadtentwässerung (Misch- und Trennsystem) hinsichtlich ihrer Vor- und Nachteile bewertet.

Lösung

1. Ermittlung der Parameter aus der HZ (1137813)

• 4. Ziffer: $7$
• 5. Ziffer: $8$
• Größte Ziffer: $8$
• Kleinste Ziffer: $1$
• Letzte Ziffer: $3$

Berechnung der Eingangsgrößen:

• Gesamtfläche $A_{NBG} = 70 + 8 = 78 \text{ ha}$
• Grundflächenzahl $GRZ = 0,4 - (\frac{8}{100}) = 0,32$
• Vollgeschosse $n_{VG} = 2 - (\frac{8}{20}) = 1,6$
• Verkehrsflächenanteil $a_{VF} = 20\% - 1\% = 19\%$
• Öffentliche Fläche $A_{ÖF} = 5 + (\frac{7}{2}) = 8,5 \text{ ha}$
• Bewohnungsziffer BZ = 200 - 3 = 197 \text{ \frac{E}{ha}}

2. Berechnung der gesuchten Werte (Aufgabe 2)

Schritt 1: Grundstücksfläche $A_{GR}$
Die Grundstücksfläche (Netto-Bauland) ist die verbleibende Fläche nach Abzug von Verkehrs- und öffentlichen Flächen.
$A_{VF,abs} = A_{NBG} \cdot a_{VF} = 78 \text{ ha} \cdot 0,19 = 14,82 \text{ ha}$
$A_{GR} = A_{NBG} - A_{VF,abs} - A_{ÖF}$
$A_{GR} = 78 \text{ ha} - 14,82 \text{ ha} - 8,5 \text{ ha} = 54,68 \text{ ha}$

Schritt 2: Überbaute Fläche $A_{ÜF}$
Die überbaute Fläche ergibt sich aus der Grundstücksfläche und der GRZ.
$A_{ÜF} = A_{GR} \cdot GRZ = 54,68 \text{ ha} \cdot 0,32 = 17,4976 \text{ ha}$

Schritt 3: Geschossfläche $A_{GF}$
Die Geschossfläche ist die Summe der Flächen aller Vollgeschosse.
$A_{GF} = A_{ÜF} \cdot n_{VG} = 17,4976 \text{ ha} \cdot 1,6 = 27,99616 \text{ ha}$

Schritt 4: Einwohnerzahl $E$
Die Einwohnerzahl wird mit der Bewohnungsziffer (bezogen auf das Netto-Bauland) berechnet.
E_{roh} = A_{GR} \cdot BZ = 54,68 \text{ ha} \cdot 197 \text{ \frac{E}{ha}} = 10771,96 \text{ E}
Rundung auf 100 Einwohner:
$E \approx 10800 \text{ E}$

Schritt 5: Mittlere Einwohnerdichte $ED$
Bezogen auf die gesamte Fläche des Neubaugebiets $A_{NBG}$.
ED = \frac{E}{A_{NBG}} = \frac{10800 \text{ E}}{78 \text{ ha}} \approx 138,46 \text{ \frac{E}{ha}}

3. Entwässerungsverfahren (Aufgabe 3)

Die zwei grundsätzlich möglichen Entwässerungssysteme sind das Mischsystem und das Trennsystem.

Entscheidung und Begründung:
Für ein Neubaugebiet ist das Trennsystem zu wählen.
Begründung: Nach modernen ökologischen Standards und wasserrechtlichen Anforderungen (z.B. WHG) soll Regenwasser möglichst ortsnah bewirtschaftet werden. Das Trennsystem verhindert die hydraulische Überlastung der Kläranlage und minimiert die stoffliche Belastung der Vorfluter durch Mischwasserüberläufe.

Antwort

Die berechneten Werte für das Neubaugebiet lauten:

• Grundstücksfläche: $A_{GR} = 54,68 \text{ ha}$
• Überbaute Fläche: $A_{ÜF} = 17,50 \text{ ha}$
• Geschossfläche: $A_{GF} = 28,00 \text{ ha}$
• Einwohnerzahl: $E = 10800 \text{ E}$
• Mittlere Einwohnerdichte: ED = 138,46 \text{ \frac{E}{ha}}

Für die Entwässerung wird das Trennsystem empfohlen, da es eine ökologisch nachhaltige Trennung von belastetem Abwasser und sauberem Niederschlagswasser ermöglicht.

Analyse des Problems

Bei der vorliegenden Aufgabe handelt es sich um ein Problem der stationären Hydromechanik, speziell um den Abfluss über ein Wehr (Überfall), durch eine Öffnung und unter einem Schütz.

1. Bestimmung der Eingangswerte aus der Hauszahl (HZ = 713484):

• Kleinste Ziffer der HZ: $1$
• Größte Ziffer der HZ: $8$

Daraus ergeben sich die Abmessungen (auf 2 Nachkommastellen gerundet):

• $a = \frac{1 + 1}{20} = 0,10 \, \text{m}$
• $b = \frac{1 + 1}{5} = 0,40 \, \text{m}$
• $c = \frac{1 + 1}{20} = 0,10 \, \text{m}$
• $d = \frac{1 + 1}{5} = 0,40 \, \text{m}$
• $e = \frac{1 + 1}{20} = 0,10 \, \text{m}$
• Überfallbreite $b_{\text{ü}} = \frac{8}{2} = 4,00 \, \text{m}$
• Schützbreite $b_s = \frac{1 + 1}{10} = 0,20 \, \text{m}$
• Gesamtwassertiefe $h = a + b + c + d + e = 1,10 \, \text{m}$

2. Verwendete Formeln und Beiwerte:

• Überfall (rundkronig): Poleni-Formel $Q_{\text{ü}} = \frac{2}{3} \cdot \mu_{\text{ü}} \cdot b_{\text{ü}} \cdot \sqrt{2g} \cdot h_{\text{ü}}^{1,5}$. Für eine rundkronige Schwelle wird oft $\mu_{\text{ü}} \approx 0,55$ angenommen.
• Öffnung (kreisförmig, scharfkantig): $Q_{\text{ö}} = \mu_{\text{ö}} \cdot A \cdot \sqrt{2g \cdot h_{\text{ö}}}$. Mit $A = \frac{\pi \cdot c^2}{4}$ und $\mu_{\text{ö}} \approx 0,60$.
• Schütz (scharfkantig): $Q_s = \mu_s \cdot b_s \cdot e \cdot \sqrt{2g \cdot h_s}$. Mit $\mu_s \approx 0,61$.

Lösung

a) Berechnung der Abflüsse

Schritt 1: Überfall (Weir)
Die Überfallhöhe ist $h_{\text{ü}} = a = 0,10 \, \text{m}$.
$Q_{\text{ü}} = \frac{2}{3} \cdot 0,55 \cdot 4,00 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,81} \cdot 0,10^{1,5}$
$Q_{\text{ü}} \approx 0,66 \cdot 4,429 \cdot 0,03162 \approx 0,186 \, \text{m}^3/\text{s}$

Schritt 2: Öffnung (Orifice)
Die Druckhöhe im Schwerpunkt der Öffnung ist $h_{\text{ö}} = a + b + \frac{c}{2} = 0,10 + 0,40 + 0,05 = 0,55 \, \text{m}$.
Die Fläche ist $A = \frac{\pi \cdot 0,10^2}{4} \approx 0,007854 \, \text{m}^2$.
$Q_{\text{ö}} = 0,60 \cdot 0,007854 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 0,55}$
$Q_{\text{ö}} \approx 0,004712 \cdot 3,285 \approx 0,015 \, \text{m}^3/\text{s}$

Schritt 3: Schütz (Sluice Gate)
Die Druckhöhe im Schwerpunkt der Schützöffnung ist $h_s = a + b + c + d + \frac{e}{2} = 1,10 - 0,05 = 1,05 \, \text{m}$.
$Q_s = 0,61 \cdot 0,20 \cdot 0,10 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 1,05}$
$Q_s \approx 0,0122 \cdot 4,539 \approx 0,055 \, \text{m}^3/\text{s}$

Schritt 4: Gesamtballast
$Q_{\text{ges}} = Q_{\text{ü}} + Q_{\text{ö}} + Q_s = 0,186 + 0,015 + 0,055 = 0,256 \, \text{m}^3/\text{s}$

b) Berechnung der neuen Fließtiefe h bei 50 % Abflusssteigerung

Der neue Abfluss beträgt $Q_{\text{neu}} = 1,5 \cdot Q_{\text{ges}} = 1,5 \cdot 0,256 = 0,384 \, \text{m}^3/\text{s}$.
Sei $x$ die Erhöhung des Wasserspiegels. Die neuen Druckhöhen sind:

• $h_{\text{ü,neu}} = 0,10 + x$
• $h_{\text{ö,neu}} = 0,55 + x$
• $h_{s,\text{neu}} = 1,05 + x$

Die Gleichung lautet:
$0,384 = \frac{2}{3} \cdot 0,55 \cdot 4,0 \cdot \sqrt{19,62} \cdot (0,1 + x)^{1,5} + 0,6 \cdot 0,00785 \cdot \sqrt{19,62 \cdot (0,55 + x)} + 0,61 \cdot 0,02 \cdot \sqrt{19,62 \cdot (1,05 + x)}$

Durch numerische Lösung (Iteration) ergibt sich:
$x \approx 0,06 \, \text{m}$

Die neue Fließtiefe ist:
$h_{\text{neu}} = h + x = 1,10 + 0,06 = 1,16 \, \text{m}$

Antwort

a) Abflüsse:

• Überfall: $Q_{\text{ü}} = 0,186 \, \text{m}^3/\text{s}$
• Öffnung: $Q_{\text{ö}} = 0,015 \, \text{m}^3/\text{s}$
• Schütz: $Q_s = 0,055 \, \text{m}^3/\text{s}$
• Gesamt: $Q_{\text{ges}} = 0,256 \, \text{m}^3/\text{s}$

b) Neue Fließtiefe:

• Bei $Q_{\text{neu}} = 0,384 \, \text{m}^3/\text{s}$ beträgt die Fließtiefe ca. $h_{\text{neu}} = 1,16 \, \text{m}$.

Dieses Problem befasst sich mit der Hydromechanik, speziell mit dem Abfluss über ein Kombinationsbauwerk bestehend aus einem Überfall, einer Öffnung und einem Schütz.

Analyse

Das Problem erfordert die Berechnung der Einzelabflüsse für drei verschiedene hydraulische Strukturen und deren Summe. Die Abmessungen werden basierend auf der Matrikelnummer (HZ) bestimmt.

• Überfall: Berechnung nach der Poleni-Formel.
• Öffnung: Berechnung als Ausfluss aus einer untergetauchten kreisförmigen Öffnung.
• Schütz: Berechnung als Ausfluss unter einem Schütz.
• Gesamtabfluss: Summe der Einzelabflüsse.
• Teil b: Bestimmung der neuen Fließtiefe $h$ bei einer Erhöhung des Abflusses um 50 %.

Lösung

1. Bestimmung der Eingangswerte aus der HZ 713484

• Kleinste Ziffer der HZ: $1$
• Größte Ziffer der HZ: $8$

Abmessungen (auf 2 Nachkommastellen gerundet):

• $a = \frac{1 + 1}{20} = 0,10 \text{ m}$ (Überfallhöhe $h_ü$)
• $b = \frac{1 + 1}{5} = 0,40 \text{ m}$
• $c = \frac{1 + 1}{20} = 0,10 \text{ m}$ (Durchmesser der Öffnung)
• $d = \frac{1 + 1}{5} = 0,40 \text{ m}$
• $e = \frac{1 + 1}{20} = 0,10 \text{ m}$ (Öffnungshöhe des Schützes)
• $b_ü = \frac{8}{2} = 4,00 \text{ m}$ (Überfallbreite)
• $b_s = \frac{1 + 1}{10} = 0,20 \text{ m}$ (Schützbreite)

Gegebene Beiwerte:

• Überfallbeiwert: $\mu_{\ddot{u}} = 0,75$
• Abflussbeiwert Öffnung: $\mu_O = 0,61$
• Abflussbeiwert Schütz: $\mu_S = 0,60$
• Erdbeschleunigung: g \approx 9,81 \text{ \frac{m}{s}}^2

2. Teil a) Berechnung der Abflüsse

A) Überfall (Poleni-Formel):
Die Überfallhöhe ist $h_ü = a = 0,10 \text{ m}$.
$Q_{\ddot{u}} = \frac{2}{3} \cdot \mu_{\ddot{u}} \cdot b_{\ddot{u}} \cdot \sqrt{2g} \cdot h_{\ddot{u}}^{1,5}$
$Q_{\ddot{u}} = \frac{2}{3} \cdot 0,75 \cdot 4,00 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,81} \cdot 0,10^{1,5} \approx 0,2801 \text{ m}^3/\text{s}$

B) Öffnung (kreisförmig):
Die Druckhöhe $h_{s,O}$ bezieht sich auf die Mitte der Öffnung: $h_{s,O} = a + b + \frac{c}{2} = 0,10 + 0,40 + 0,05 = 0,55 \text{ m}$.
Fläche der Öffnung: $A_O = \pi \cdot (\frac{c}{2})^2 = \pi \cdot 0,05^2 \approx 0,007854 \text{ m}^2$.
$Q_O = \mu_O \cdot A_O \cdot \sqrt{2g \cdot h_{s,O}}$
$Q_O = 0,61 \cdot 0,007854 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 0,55} \approx 0,0157 \text{ m}^3/\text{s}$

C) Schütz:
Die Druckhöhe $h_{s,S}$ bezieht sich auf die Mitte der Schützöffnung: $h_{s,S} = a + b + c + d + \frac{e}{2} = 0,10 + 0,40 + 0,10 + 0,40 + 0,05 = 1,05 \text{ m}$.
Fläche der Schützöffnung: $A_S = b_s \cdot e = 0,20 \cdot 0,10 = 0,02 \text{ m}^2$.
$Q_S = \mu_S \cdot A_S \cdot \sqrt{2g \cdot h_{s,S}}$
$Q_S = 0,60 \cdot 0,02 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 1,05} \approx 0,0545 \text{ m}^3/\text{s}$

Gesamtabfluss:
$Q_{ges} = Q_{\ddot{u}} + Q_O + Q_S = 0,2801 + 0,0157 + 0,0545 = 0,3503 \text{ m}^3/\text{s}$

3. Teil b) Berechnung der neuen Fließtiefe <<| h |>>

Der neue Abfluss beträgt $Q_{neu} = 1,5 \cdot Q_{ges} = 1,5 \cdot 0,3503 = 0,5255 \text{ m}^3/\text{s}$.
Da die baulichen Maße $b, c, d, e$ fest sind, ändert sich bei steigendem Wasserspiegel nur die Überfallhöhe $a_{neu}$. Die Gesamttiefe ist $h = a + b + c + d + e$.

Wir suchen ein neues $a_{neu}$, sodass:
$Q(a_{neu}) = \frac{2}{3} \mu_{\ddot{u}} b_{\ddot{u}} \sqrt{2g} a_{neu}^{1,5} + \mu_O A_O \sqrt{2g (a_{neu} + 0,45)} + \mu_S A_S \sqrt{2g (a_{neu} + 0,95)} = 0,5255$

Durch iterative Lösung (z.B. Newton-Verfahren oder Intervallschachtelung) ergibt sich:
$a_{neu} \approx 0,1379 \text{ m}$

Berechnung der neuen Gesamttiefe $h_{neu}$:
$h_{neu} = a_{neu} + b + c + d + e = 0,1379 + 0,40 + 0,10 + 0,40 + 0,10 = 1,1379 \text{ m}$

Antwort

a) Abflüsse:

• Überfall: $Q_{\ddot{u}} \approx 0,280 \text{ m}^3/\text{s}$
• Öffnung: $Q_O \approx 0,016 \text{ m}^3/\text{s}$
• Schütz: $Q_S \approx 0,055 \text{ m}^3/\text{s}$
• Gesamt: $Q_{ges} \approx 0,350 \text{ m}^3/\text{s}$

b) Neue Fließtiefe:
Die neue Fließtiefe beträgt $h_{neu} \approx 1,14 \text{ m}$.